이차함수 $y=ax^2$의 그래프를 일정한 방향으로 평행이동하면 그래프의 모양과 폭은 그대로 유지되지만 꼭짓점과 축의 위치는 달라집니다. 이번 글에서는 $y=ax^2+q$와 $y=a(x-p)^2$의 그래프가 $y=ax^2$의 그래프에서 어떻게 이동하는지 살펴보고, 평행이동에 따른 꼭짓점의 좌표와 축의 방정식을 정리해 보겠습니다.
이차함수의 평행이동
함수의 평행이동이란, 함수의 그래프 모양은 유지한 채 일정한 방향으로 일정한 거리만큼 이동한 것을 의미합니다. 이차함수 $y=ax^2$을 평행이동한 그래프의 관계식은 다음과 같고, 이번 시간에는 이것을 유도하는 과정에 대해 정리해 보도록 하겠습니다.
- $x$축으로 $p$만큼 평행이동: $y=a(x-p)^2$
- $y$축으로 $q$만큼 평행이동: $y=ax^2+q$
$y=ax^2+q$의 그래프
$y=ax^2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $q$만큼 평행이동한 그래프의 성질에 대해 정리해 봅시다.
- 평행이동 관계식: $y=ax^2+q$
- $q>0$이면 $y$축의 양의 방향(위쪽)으로 평행이동
- $q<0$이면 $y$축의 음의 방향(아래쪽)으로 평행이동
- 꼭짓점의 좌표: $(0,q)$
- 축의 방정식: $x=0$ ($y$축)
이차함수 $y=ax^2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 평행이동하여도 그래프의 모양과 폭은 변하지 않는다. 즉, $x^2$의 계수 $a$는 변하지 않습니다.
설명
$\color{#d581a7} x$를 이용해 $\color{#d581a7} y$좌표를 계산하는 식을 구해봅시다.
$\color{#d581a7} x$에서 $\color{#d581a7} y$의 높이는 평행이동 이전 함수인 $y=a{\color{#d581a7} x}^2$의 높이에 ${\color{#52b2b5}q}$를 더한 값과 같습니다.
- ${\color{#d581a7} y\ (높이)}=ax^2+{\color{#52b2b5}q}$
따라서 $y=ax^2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $q$만큼 평행이동한 그래프의 관계식은 ${\color{#d581a7} y}=ax^2+{\color{#52b2b5}q}$는 입니다.
꼭짓점과 축의 방정식도 $y$축의 방향으로 ${\color{#52b2b5}q}$만큼 평행이동이 적용되므로 다음과 같습니다.
- 꼭짓점의 좌표: $(0,q)$
- 축의 방정식: $x=0$ ($y$축)
부호에 따른 이차함수 $y=ax^2+q$의 그래프개형은 다음과 같습니다.
이차함수 $y=x^2-2$를 $y=ax^2$의 평행이동으로 설명하고, 꼭짓점과 축의 방정식을 구해봅시다.
설명
- $y=x^2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $-2$만큼 평행이동한 것이다.
- 꼭짓점의 좌표: $(0,-2)$
- 축의 방정식: $x=0$ ($y$축)
이차함수 $y=-3x^2+2$를 $y=ax^2$의 평행이동으로 설명하고, 꼭짓점과 축의 방정식을 구해봅시다.
설명
- $y=-3x^2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $2$만큼 평행이동한 것이다.
- 꼭짓점의 좌표: $(0,2)$
- 축의 방정식: $x=0$ ($y$축)
이번에는 $x$축 평행이동의 관계식에 대해 정리해 봅시다.
$y=a(x-p)^2$의 그래프
$y=ax^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $p$만큼 평행이동한 그래프의 성질에 대하여 정리해 봅시다.
- 평행이동 관계식: $y=a(x-p)^2$
- $p>0$이면 $x$축의 양의 방향(오른쪽)으로 평행이동
- $p<0$이면 $x$축의 음의 방향(왼쪽)으로 평행이동
- 꼭짓점의 좌표: $(p,0)$
- 축의 방정식: $x=p$
$y$축 평행이동과 마찬가지로, $y=ax^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 평행이동하여도 그래프의 모양과 폭은 변하지 않는다. 즉, $x^2$의 계수 $a$는 변하지 않습니다.
설명
$\color{#d581a7} x$를 이용해 $\color{#d581a7} y$좌표를 계산하는 식을 구해봅시다.
$\color{#d581a7} x$에서 $\color{#d581a7} y$의 높이는 평행이동하기 전 함수인 $y=ax^2$의 ${\color{#d581a7}x}-{\color{#52b2b5}p}$에서 함숫값 $a({\color{#d581a7}x}-{\color{#52b2b5}p})^2$과 같습니다.
- ${\color{#d581a7}y}=a({\color{#d581a7}x}-{\color{#52b2b5}p})^2$
따라서 $y=ax^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $\color{#52b2b5}p$만큼 평행이동한 그래프의 관계식은 ${\color{#d581a7}y}=a({\color{#d581a7}x}-{\color{#52b2b5}p})^2$ 입니다.
꼭짓점과 축의 방정식도 $x$축의 방향으로 $\color{#52b2b5}p$만큼 평행이동이 적용되므로 다음과 같습니다.
- 꼭짓점의 좌표: $(p,0)$
- 축의 방정식: $x=p$
부호에 따른 이차함수 $y=a(x-p)^2$의 그래프 개형을 정리하면 다음과 같습니다.
이차함수 $y=2(x-1)^2$의 그래프를 $y=ax^2$의 평행이동으로 설명하고, 꼭짓점과 축의 방정식을 구해봅시다.
설명
- $y=2x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $1$만큼 평행이동한 것이다.
- 꼭짓점의 좌표: $(1,0)$
- 축의 방정식: $x=1$
이차함수 $y=-3(x+1)^2$의 그래프를 $y=ax^2$의 평행이동으로 설명하고, 꼭짓점과 축의 방정식을 구해봅시다.
설명
- $y=-3x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $-1$만큼 평행이동한 것이다.
- 꼭짓점의 좌표: $(-1,0)$
- 축의 방정식: $x=-1$
$y=ax^2+q$와 $y=a(x-p)^2$의 그래프는 모두 $y=ax^2$의 그래프를 평행이동한 것입니다. $q$는 그래프를 위아래로 이동시키고, $p$는 그래프를 좌우로 이동시키며, 평행이동을 하더라도 계수 $a$가 변하지 않으므로 포물선의 모양과 폭은 그대로 유지됩니다. 특히 꼭짓점의 좌표와 축의 방정식을 함께 확인하면 그래프가 어느 방향으로 얼마나 이동했는지 쉽게 파악할 수 있습니다.