이차방정식 풀이 방법 세가지, 연습문제 정답

이번 시간에는 이차방정식 풀이 방법에 대해 더 자세히 학습해 보려고 한다. 전 시간에 학습했듯이 이차방정식은 다양한 형태를 가지고 있으며 형태에 따라 풀이 방법이 달랐다. 이번 시간에는 이차방정식의 다양한 풀이 방법에 대해 더 자세히 학습하고 연습문제를 통해 풀이방법을 익혀보기로 하자.

학습지 다운로드

개요

학습목표

이차방정식의 세가지 풀이방법으로 풀 수 있다.

학습의 편의를 위해 학습지 링크를 올려두었으니 필요하다면 다운받아 이용하길 바란다. 전 시간 내용에 이어진 학습지 이므로 이전시간 학습지를 가지고 있다면 이어서 학습하길 바란다.

이차방정식 풀이 방법

$a(x+p)^2=q$꼴 : 제곱근 풀이
$ax^2+bx+c=0$ 꼴
- 인수분해 가능 : 인수분해 풀이
- 인수분해 불가능 : 제곱근 풀이, 근의 공식

$a(x+p)^2=q$ 꼴 : 제곱근 풀이

완전제곱식과 상수 형태로 정리된 이차방정식은 제곱근의 정의를 이용해 풀이하는 것이 가장 간단하다.

$(4x-3)^2=12$
$4x-3=\pm \sqrt{12}\; \; \; (\because \; 제곱근\; 정의\;)$
$4x=3\pm \sqrt{12}$
$x=\dfrac{3\pm \sqrt{12}}{4}$

$ax^2+bx+c=0$ 꼴

이차방정식이 $ax^2+bx+c=0$과 같이 일반형으로 주어진 경우 인수분해가 가능한 경우 인수분해를 이용하고, 인수분해 불가능한 경우 근의 공식을 이용해 풀이 할 수 있다.

$ax^2+bx+c$ : 인수분해 가능한 경우

먼저 인수분해 가능한 식인지 판단하는 방법에 대해 먼저 정리해 보기로 하자.

$ax^2+bx+c$ 인수분해 가능성 판단 논리

이차항 상수항 부호가 같을 때

이차항과 상수항의 인수를 아래와 같이 찾고 대각곱의 합이 일차항이 나오도록 맞춘다.

$2x^2-5x+3=0$
$\begin{pmatrix} 2x& \;\;& 3\\x& \;\;&1\\\end{pmatrix}$ 부호 상관없이 대각곱의 합을 $5x$로 맞춘다.
$\begin{pmatrix} 2x& & -3\\x& &-1\\\end{pmatrix}$ 부호 조합으로 $-5x$를 맞춘다.
$(2x-3)(x-1)=0\;\; \therefore x=\dfrac{3}{2} \;또는\;\; x=1$

이차항 상수항 부호가 다를 때

이차항과 상수항의 인수를 아래와 같이 찾고 대각곱의 차이가 일차항이 나오도록 맞춘다.

$2x^2-5x-3=0$
$\begin{pmatrix} 2x& \;\;& 1\\x& \; \;& 3\\\end{pmatrix}$ 부호 상관없이 대각곱의 차이를 $5x$로 맞춘다.
$\begin{pmatrix} 2x& & -1\\x& &-3\\\end{pmatrix}$ 부호 조합으로 $-5x$를 맞춘다.
$(2x-1)(x-3)=0\;\; \therefore x=\dfrac{1}{2} \;또는\;\; x=3$

인수분해를 이용한 이차방정식 풀이

$3x^2+5x+2=0\;$
$\begin{pmatrix} 3x& \;\;& 2\\ x& \;\;&1\\\end{pmatrix}$ 인수분해 가능
$(3x+1)(x+2)=0$
$x=-\dfrac{1}{3}\;또는 \; \;x=-2$
$2x^2-5x-3=0\;$
$\begin{pmatrix} 2x& \;\;& 1\\ x& \;\;&-3\\\end{pmatrix}$ 인수분해 가능
$(2x+1)(x-3)=0$
$x=-\dfrac{1}{2} \; 또는\;\; x=3$

$ax^2+bx+c$ : 인수분해 불가능한 경우

$ax^2+bx+c$ 부분이 인수분해 불가능 한 경우에는 완전제곱식변형을 통해 제곱근풀이를 적용하거나 근의 공식에 대입하여 풀이할 수 있다.

완전제곱식, 제곱근 풀이

완전제곱식과 제곱근을 이용한 풀이는 다음의 2단계로 풀이 할 수 있다. 이 과정은 전 시간에 다루었으므로 간단히 요약하고 문제를 풀어보자.

$ax^2+bx+c \; \rightarrow \; (완전제곱식\;) + (상수\;)$
$(완전제곱식\;)=(상수\;) \; \rightarrow \; 제곱근풀이$

위의 내용이 잘 기억나지 않는다면 바로 아래 링크를 이용해 복습하길 바란다.

이차방정식 풀이방법

[문제1] $x^2-2x-4=0$을 완전제곱식과 제곱근을 이용해 풀이하여라.

$x^2-2x-4=(x^2-2x+1)-4-1=(x-1)^2-5$
$(x-1)^2=5$
$x-1=\pm \sqrt{5}$
$x=1\pm\sqrt{5}$

[문제2] $3x^2+12x+4=0$을 완전제곱식과 제곱근을 이용해 풀이하여라.

$3x^2+12x+4=3(x^2+4x+ 4)+4-12=3(x+2)^2-8$
$3(x+2)^2-8=0$
$3(x+2)^2=8$
$(x-2)^2=\dfrac{8}{3}$
$x-2=\pm \sqrt{\dfrac{8}{3}}$
$x=2\pm \dfrac{2\sqrt{6}} {3}$

근의공식

$ax^2+bx+c=0 \; (aneq0)$에 대한 근의 공식은 다음과 같다. 이번 시간에는 이를 변형한 짝수공식에 대해서 정리해 보기로 하자.

$x=\dfrac {-b \pm \sqrt{b^2-4ac}} {2a}$

위 내용이 생각 나지 않는다면 아래 링크를 통해 이전 시간 정리한 내용을 확인 하길 바란다.

근의공식 유도

짝수공식 유도

근의 공식의 분모와 분자에 $\dfrac{1}{2}$을 곱하면 아래와 짝수 공식을 유도할 수 있다.

$\begin{align}
x&= \dfrac {-b \pm \sqrt{b^2-4ac}} {2a}\\
&=\dfrac {-\dfrac{b}{2} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4}-ac}} {a} \; \left(\because \dfrac {분모 \times \dfrac{1}{2}}{분모 \times \dfrac{1}{2}}\right) \\
&=\dfrac {-\dfrac{b}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{b}{2}\right)^2-ac}} {a} \end{align}$