이차방정식의 두 근이 양수인지 음수인지 알아보기 위해 항상 근의 공식을 사용하여 두 근을 직접 구할 필요는 없습니다. 두 근의 곱을 이용하면 두 근의 부호가 같은지 서로 다른지를 판단할 수 있고, 두 근의 부호가 같다면 합의 부호를 이용하여 모두 양수인지 모두 음수인지 구분할 수 있습니다. 이때 근의 부호를 비교하려면 먼저 근이 실수라는 조건도 함께 확인해야 합니다. 이번 글에서는 판별식과 근과 계수의 관계를 이용하여 두 실근의 부호를 판단하는 원리를 단계적으로 정리하고, 부호가 다른 두 근의 절댓값 관계까지 살펴보겠습니다.
이차방정식의 실근의 부호
이차방정식의 두 근이 실근이면 이차방정식의 두 근을 직접 구하지 않고도 판별식과 근과 계수의 관계를 이용하여 두 실근의 부호를 쉽게 알 수 있습니다.
부호가 같거나 서로 다를 조건
이차방정식 $ax^2+bx+c=0$ ($a$, $b$, $c$는 실수)의 두 실근$\alpha$, $\beta$, 판별식을 $D=b^2-4ac$에 대하여 두 실근의 부호가 같을 조건과 다를 조건은 다음과 같습니다.
- 부호가 같을 조건
- 두 실근의 부호가 같을 조건: $\alpha\beta>0$, $D\ge0$
- 서로 다른 두 실근의 부호가 같을 조건: $\alpha\beta>0$, $D>0$
- 부호가 다를 조건: $\alpha\beta<0$
두 근의 곱이 음수인 이차방정식에 대한 정리를 이용하면 다음과 같이 증명할 수 있습니다.
설명
부호가 같을 조건
먼저 두 실근 또는 서로 다른 두 실근의 부호가 같을 조건은 두 실근의 부호가 $\alpha>0$, $\beta>0$ 또는 $\alpha<0$, $\beta<0$일 조건과 같고 일단, $\alpha\beta>0$을 만족해야 함을 알 수 있습니다.
- $\alpha\beta>0$ $\xrightarrow[\ (ㄱ)\ ]{?}$ $\alpha>0$, $\beta>0$ 또는 $\alpha<0$, $\beta<0$
이제 이 조건만으로 충분한지 생각해 보아야 합니다. 위의 명제는 실수에서는 항상 성립하는 명제 이므로 이차방정식의 허근을 가지고 반례를 찾아보아야 합니다.
ㄱ의 반례
이차방정식의 두 근이 허근 인 경우 두 근은 켤레 복소수이고 항상 $\alpha \beta>0$입니다. $\alpha \beta>0$ 이지만, $\alpha$, $\beta$는 크기가 없기 때문에 (ㄱ)의 반례가 됩니다.
- $\alpha=2+i$, $\beta=2-i$인 경우 $\alpha \beta=(2+i)(2-i)=5$
조건 수정
두 실근 또는 서로 다른 두 실근 조건에 따라 $D\ge0$ 또는 $D>0$를 추가하면 크기 관계를 알 수 없는 허근이 제외 되고, 크기 관계가 성립하는 범위에서는 (ㄱ)이 반드시 성립하게 됩니다. 따라서 조건은 다음과 같습니다.
- $\alpha\beta>0$ + ($D\ge0$ 또는 $D>0$)
부호가 다를 조건
먼저 두 실근 또는 서로 다른 두 실근의 부호가 다를 조건은 두 실근의 부호가 $\alpha>0$, $\beta<0$ 또는 $\alpha<0$, $\beta>0$일 조건과 같습니다. 일단, $\alpha\beta<0$을 만족해야 함을 알 수 있습니다.
- $\alpha\beta<0$ $\xrightarrow[\ (ㄴ)\ ]{?}$ $\alpha>0$, $\beta<0$ 또는 $\alpha<0$, $\beta>0$
(ㄴ)은 실수 범위에서 항상 성립하므로, 허근에서 반례가 있는지 확인해 보아야 합니다. 판별식을 통해 $\alpha\beta<0$이면 $D>0$이므로 허근이 존재하지 않으므로 이런 반례는 없습니다. 따라서 (ㄴ)은 추가적인 조건 없이 성립합니다.
모두 양수(음수)일 조건
이차방정식 $ax^2+bx+c=0$ ($a$, $b$, $c$는 실수)의 두 실근$\alpha$, $\beta$, 판별식을 $D=b^2-4ac$에 대하여 두 실근이 모두 양수(음수)일 조건은 다음과 같습니다.
- 모두 양수일 조건: $\alpha\beta>0$, $\alpha+\beta>0$, ($D\ge0$ 또는 $D>0$)
- 모두 음수일 조건: $\alpha\beta>0$, $\alpha+\beta<0$, ($D\ge0$ 또는 $D>0$)
두 실근 조건인 경우 $D\ge0$, 서로 다른 두 실근 조건이 주어진 경우 $D>0$를 이용합니다.
설명
$\alpha\beta>0$ ($D\ge0$ 또는 $D>0$)이면 두 근의 부호가 같습니다. $\alpha>0$, $\beta>0$인 경우와 $\alpha<0$, $\beta<0$인 경우 뿐이므로 두 경우를 판정할 수 있는 $\alpha+\beta$의 부호 조건을 추가하면 충분합니다.
- 모두 양수일 조건: $\alpha+\beta>0$ 추가
- 모두 음수일 조건: $\alpha+\beta<0$ 추가
부호가 다른 두근의 절댓값
이차방정식 $ax^2+bx+c=0$ ($a$, $b$, $c$는 실수)의 두 실근$\alpha$, $\beta$, 판별식을 $D=b^2-4ac$에 대하여
- 두 근의 절댓값이 같고 부호가 반대일 조건: $\alpha+\beta=0$, $\alpha\beta<0$
- 음수인 근의 절댓값이 양수인 근의 절댓값보다 클 조건: $\alpha+\beta<0$, $\alpha\beta<0$
- 양수인 근의 절댓값이 음수인 근의 절댓값보다 클 조건: $\alpha+\beta>0$, $\alpha\beta<0$
설명
$\alpha\beta<0$이면 두 근의 부호가 서로 반대인 실근을 가지므로, 여기에 $\alpha+\beta$의 부호 조건만 추가하면 충분합니다.
- 절댓값이 같을 조건: $\alpha+\beta=0$ 추가
- $\l|음수근\r|>\l|양수근\r|$일 조건: $\alpha+\beta<0$ 추가
- $\l|양수근\r|>\l|음수근\r|$일 조건: $\alpha+\beta>0$ 추가
이차방정식의 두 실근의 부호는 두 근을 직접 구하지 않고도 판별식과 두 근의 합과 곱을 이용하여 판단할 수 있습니다. 먼저 $\alpha\beta>0$이면 두 근의 부호가 같고, $\alpha\beta<0$이면 두 근의 부호가 서로 다릅니다. 두 근의 부호가 같은 경우에는 $\alpha+\beta$의 부호를 추가로 확인하여 모두 양수인지 모두 음수인지 구분할 수 있습니다. 또한 $\alpha\beta<0$이면 자동으로 $D>0$이 되어 서로 다른 두 실근을 가지므로 판별식 조건을 따로 확인할 필요가 없습니다. 결국 실근의 부호에 관한 문제는 실근 여부는 판별식, 같은 부호인지 다른 부호인지는 곱, 모두 양수인지 모두 음수인지는 합이라는 흐름으로 정리하면 쉽게 이해할 수 있습니다.