유리수는 우리가 일상에서 자주 접하는 수지만, 그 특성을 제대로 이해하는 것은 쉽지 않습니다. 유리수는 분수로 표현되는 수인데, 그 소수 형태가 유한소수와 무한소수로 나뉘는 사실을 알고 있나요? 특히, 무한소수 중에서도 ‘순환소수’라는 흥미로운 개념이 있다는 사실도 알고 있었을까요? 오늘은 유리수의 소수 표현을 자세히 살펴보면서, 유한소수 조건 순환소수 조건 까지 살펴보도록 하겠습니다.
개요
복습 : 유리수(분수)의 소수 표현
유리수 분수 소수에 대해 학습한 내용을 복습해 봅시다.
유리수 정의
- $\dfrac{b}{a}$ ($a,b :\text{정수},\;a\neq0$)
유리수(분수)의 소수 표현
다음 유리수 $\dfrac{3}{5}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{4}{11}$을 직접 나누어 소수로 계산해 봅시다.
$\dfrac{3}{5}=3\div5 \;\;\rightarrow\;\;
\begin{array}{r}0.6\;\\ 5\enclose{longdiv}{3.0}\\
3\;0\,\\
\hline 0\,
\end{array}$
$\dfrac{2}{3}=2\div3 \;\;\rightarrow\;\;
\begin{array}{r}0.666\cdots \\ 3\enclose{longdiv}{2.000\cdots}\\1\;8\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\
\hline 20\;\;\;\;\;\;\;\\ 18\;\;\;\;\;\;\;\\
\hline 20\;\;\;\;\;\\18\;\;\;\;\;\\
\hline 2\;\;\;\;\;\\
\cdots\;\;\;
\end{array}$
$\dfrac{4}{11}=4\div11 \;\;\rightarrow\;\;
\begin{array}{r}0.3\,6\,3\,6\,\cdots \\ 11\enclose{longdiv}{4.0\,0\,0\,0\cdots}\\
3\;3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\\
\hline 7\,0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\\ 6\,6\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\\
\hline 4\,0\;\;\;\;\;\;\;\;\\3\,3\;\;\;\;\;\;\;\;\\
\hline 7\,0\;\;\;\;\;\,\\ 6\,6\;\;\;\;\;\,\\
\hline 4\;\;\;\;\;\,\\
\cdots\;\;\;
\end{array}$
위의 계산 결과를 정리하면 $\dfrac{3}{5}=0.6, \dfrac{2}{3}=0.666\cdots, \dfrac{4}{11}=0.3636\cdots$ 이고 이를 통해 유리수를 소수로 나타내면 소숫점 아래 $0$이 아닌 수가 유한한수 ($0.6$)와 무한한 수($0.666\cdots, 0.3636\cdots$)가 있음을 알 수 있습니다.
이와 같은 특징을 반영하여 다음과 같이 이름을 붙여 부르기로 하였습니다.
유한소수와 무한소수의 정의
- 유한소수 : 소수점 아래 $0$이 아닌 숫자가 유한개인 소수
- 무한소수 : 소수점 아래 $0$이 아닌 숫자가 무한개인 소수
유한소수 조건
이제 유한소수와 유리수는 어떤 관계가 있는지 정리해 보기로 합시다.
유한소수 $\xrightarrow[]{\text{항상 변형가능}}$ 유리수
모든 유한소수는 분모를 $10$의 거듭제곱으로 두어 유리수로 바꿀 수 있습니다.
$0.7=\dfrac{7}{10}, \; 0.39=\dfrac{39}{100},\; 0.077=\dfrac{77}{1000}$
유리수$\xrightarrow[]{\text{조건필요}}$유한소수
$\dfrac{2}{3}=0.666\cdots$ 처럼 유리수는 항상 유한소수라고 할 수는 없다. 그렇다면 어떤 $\color{blue}{\text{조건}}$을 만족하는 유리수가 유한소수가 될 수 있는지 생각해 보자.
유한소수 : $\color{blue}{\text{분모가}} 10 \color{blue}{\text{의 거듭제곱}}$인 분수 이므로 $\color{blue}{\text{분모를}} 10 \color{blue}{\text{의 거듭제곱}}$으로 나타낼 수 있는 유리수는 유한소수로 나타낼 수 있다.
분모를 $10$의 거듭제곱으로 만들 수 있는 유리수는 분모에 어떤 인수를 가지고 있을지 예를 통해 생각해 보자.
$\dfrac{15}{12}=\dfrac{5}{4}=\dfrac{5\times\color{blue}{5^2}}{4\times \color{blue}{5^2}}=\dfrac{125}{100}=1.25$
이를 정리하면 다음과 같은 결론을 내릴 수 있다.
$10=2\times5$이므로 $\color{red}{\text{기약분수꼴}}$로 나타낸 $\color{blue}{\text{분모의 소인수가 2나 5뿐}}$이면 다음과 같은 변형을 통해 유한소수로 나타낼 수있다.
유한소수 조건
- $\color{red}{\text{기약분수}}$로 나타낼 때 $\color{blue}{\text{분모의 소인수가 2나 5뿐}}$인 유리수
순환소수 조건
무한소수일 조건
위의 사실을 변형하면 유리수가 무한소수가 되는 조건을 다음과 같이 생각할 수 있습니다.
$\color{blue}{\text{분모의 소인수가 2, 5이 외의 소인수}}$를 갖는 $\color{red}{\text{기약분수}}$는 유한소수로 나타 낼 수 없다. 즉 무한소수이다.
예를 들어 기약분수의 분모에 2,5 이외의 소인수가 있는 $\dfrac{2}{3}=0.666\cdots, \dfrac{4}{11}=0.3636\cdots$는 무한소수가 된다.
무한소수로 표현되는 유리수의 특징
유리수를 나눗셈으로 계산한 결과가 무한소수일 때 다음과 같은 특징을 확인할 수 있습니다.
- 유리수를 나눈 결과가 무한소수이면 반드시 무한소수는 항상 순환 한다.
그렇다면 모든 무한소수로 표현되는 유리수들이 모두 순환 할까? 실제로 무한소수로 표현되는 유리수는 반드시 순환소수임이 알려져 있다. 이제 이 사실을 정리해 보기로 하자.
$\color{blue}{\text{분모의 소인수가 2, 5이 외의 소인수}}$를 갖는 $\color{red}{\text{기약분수}}$는 순환하는 무한 소수이다.
검증
일반적인 증명은 이해하기 어렵기 때문에 앞선 나눗셈을 예로 구조를 이해하는 수준에서 정당화 하고 학습을 마무리 하도록 하자.
$\dfrac{4}{11}$을 소수로 계산하는 과정을 살펴보자.
$\begin{array}{r}0.3\,6\,3\,6\,\cdots \\ 11\enclose{longdiv}{4.0\,0\,0\,0\cdots}\\
3\;3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\\
\hline \color{blue}{7}\,\color{black}{0}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\\ 6\,6\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\\
\hline \color{blue}{4}\,\color{black}{0}\;\;\;\;\;\;\;\;\\3\,3\;\;\;\;\;\;\;\;\\
\hline \color{blue}{7}\,\color{black}{0}\;\;\;\;\;\,\\ 6\,6\;\;\;\;\;\,\\
\hline \color{blue}{4}\;\;\;\;\;\,\\
\cdots\;\;\;
\end{array}$
주어진 수는 유한소수가 아니다. 따라서 $11$로 나눈 $\color{blue}{\text{나머지 자리}}$에 $0$이 올 수없다. 따라서 $\color{blue}{\text{나머지 자리}}$에는 $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$이 올 수 있다. 나누어 떨어지지 않으므로 나눗셈은 무한번 진행되고 $\color{blue}{\text{나머지 자리}}$도 무한개가 만들어진다.
$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$이 $\color{blue}{\text{나머지 자리}}$에 들어가면 최초로 나머지로 중복되는 수($\color{blue}{7}$)이 존재한다.
최초로 중복되는 나머지($\color{blue}{7}$)이 등장하면, 그 후로는 ‘$\color{red}{\text{나눗셈 연산이 반복}}$’되고 ‘$\color{red}{\text{몫은 순환}}$’하게 된다.
순환소수 정의, 표기법
$\color{blue}{\text{분모의 소인수가 2, 5이 외의 소인수}}$를 갖는 $\color{red}{\text{기약분수}}$를 소수로 나타내면 ‘몫’은 무한 소수이고 순환한다. 이러한 성질을 갖는 무한소수를 ‘$\color{red}{\text{순환소수}}$’로 정의 하기로 하자.
- 순환소수 : 소숫점 아레의 어떤 자리에서부터 일정한 숫자의 배열이 한없이 되풀이되는 소수
- 순환마디 : 소숫점 아래 일정한 숫자의 배열이 한없이 되풀이되는 부분
- 처음으로 반복되는 부분이 순환마디
- 순환마디 숫자 개수에 따른 표기법
- 숫자 1개 : $0.\bbox[#ffff00]{3}33\cdots=0.\dot{3}$
- 숫자 2개 : $0.\bbox[#ffff00]{35}3535\cdots=0.\dot{3}\dot{5}$
- 숫자 3개 : $0.3\bbox[#ffff00]{456}456456\cdots=0.3\dot{4}5\dot{6}$
순환소수 조건
$\color{red}{\text{기약분수}}$로 나타낼 때 $\color{blue}{\text{분모의 소인수가 2, 5이 외의 소인수}}$를 갖는 유리수
유리수의 분류
중학교 1학년
$\text{유리수}\rightarrow\begin{cases}
\text{정수}\rightarrow \begin{cases} \text{양수}\\[1em] 0 \\[1em] \text{음수} \end{cases} \\[2em]
\text{정수가 아닌 유리수}
\end{cases}$
중학교 1학년 에서는 정수를 기준으로 유리수를 정수와 정수가 아닌 유리수로 분류 했다면 중학교 2학년에서는 유리수 $\dfrac{b}{a}$를 $b\div a$로 직접 나누어 소수로 표현하는 방법에 대해 배웁니다.
중학교 2학년
학습한 내용을 토대로 기약분수로 나타낸 유리수는 다음 두 가지 경우로 나누어 정리 할 수 있다.
- $\color{blue}{\text{분모의 소인수가 2나 5뿐}}$인 $\color{red}{\text{기약분수}}$ $\rightarrow $ 유한소수
- $\color{blue}{\text{분모의 소인수가 2, 5이 외의 소인수}}$를 갖는 $\color{red}{\text{기약분수}}$ $\rightarrow$ 순환소수
따라서 유리수는 유한소수와 순환소수로 다음과 같이 정확히 둘로 분류할 수 있다.
$\text{유리수}\begin{cases}
\text{유한소수}
\begin{pmatrix} \color{blue}{\text{기약분수로 표현시 분모}}\\
\color{blue}{\text{소인수 2,5 뿐}}\end{pmatrix} \\[1em]
\text{순환소수}
\begin{pmatrix} \color{blue}{\text{기약분수로 표현시 분모}}\\
\color{blue}{\text{2,5 이외의 소인수}}\end{pmatrix} \\[1em]
\end{cases}$
