유리수 정의, 소수 (유한소수 무한소수)

유리수는 두 정수의 비로 표현되는 수지만, 소수로 나타내면 유한소수와 무한소수로 나뉩니다. 그런데 1이 무한소수 $0.999\cdots$로도 표현된다는 사실, 알고 있었나요? 이 글에서 유리수 정의, 유리수와 소수, 유한소수 무한소수에 대해 정확히 정리해 드립니다.

개요

유리수 정의

먼저 중학교 1학년에서 배운 유리수 정의와 중학교 2학년에서 배우는 유리수 정의를 비교하고 그 의미를 생각해 봅시다.

중학교 1학년 유리수 정의

중학교 1학년에서 초등학교 분수를 유리수로 확장하여 다음과 같이 유리수를 정의 하였습니다.

$+\dfrac{\text{자연수}}{\text{자연수}}$, $-\dfrac{\text{자연수}}{\text{자연수}}$, 0

초등학교 분수 $\dfrac{\text{자연수}}{\text{자연수}}$를 $+\dfrac{\text{자연수}}{\text{자연수}}$로, 이 분수와 크기가 같고 반대의 성질을 갖는 분수를 $-\dfrac{\text{자연수}}{\text{자연수}}$로 표기하기로 하고, $(\bbox[#ffc5fd]{+\dfrac{3}{2}})+(\bbox[#94feff]{-\dfrac{3}{2}})$와 같이 크기가 같고 성질이 반대되는 분수를 더하면 아무것도 남지 않으며, 이를 $0$으로 표현 하기로 약속하였습니다.

중학교 2학년 유리수 정의

정수의 곱셈과 나눗셈, 나눗셈의 생략(분수)을 학습한 다음에는 유리수를 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

$\dfrac{\text{정수}}{\text{0이 아닌 정수}}$

두 정의 비교

유리수의 두 정의가 정확히 동일한 의미를 가지는지 확인하기 위해 중학교 3학년 유리수 정의인 $\dfrac{\text{정수}}{\text{0이 아닌 정수}}$의 분자와 분모를 표를 이용해 정리해 볼 필요가 있습니다.

	분자가 양의정수	분자가 0	분자가 음의정수
분모양의정수	$\dfrac{\text{양의정수}}{\text{양의정수}}$ $=\bbox[#ffff00]{+\dfrac{\text{자연수}}{\text{자연수}}}$	$\dfrac{0}{\text{양의정수}}$ $=\bbox[#94feff]{0}$	$\dfrac{\text{음의정수}}{\text{양의정수}}$ $=\bbox[#ffc5fd]{-\dfrac{\text{자연수}}{\text{자연수}}}$
분모음의정수	$\dfrac{\text{양의정수}}{\text{음의정수}}$ $=\bbox[#ffc5fd]{-\dfrac{\text{자연수}}{\text{자연수}}}$	$\dfrac{0}{\text{음의정수}}$ $=\bbox[#94feff]{0}$	$\dfrac{\text{음의정수}}{\text{음의정수}}$ $=\bbox[#ffff00]{+\dfrac{\text{자연수}}{\text{자연수}}}$

가로축 (분자) 세로축 (분모) 유리수

표의 각 부분을 살펴보면 중학교 1학년에 학습한 유리수가 맞다는 것을 알 수 있습니다.

논리 심화 (고등)

엄밀히 말하자면 위의 과정은 다음과 같은 사실을 보인 것입니다.

$\dfrac{\text{정수}}{\text{0이 아닌 정수}}$ $\bbox[#ffff00]{\Rightarrow}$ $+\dfrac{\text{자연수}}{\text{자연수}}$or $-\dfrac{\text{자연수}}{\text{자연수}}$ or $0$

이 과정만 가지고 두 유리수 정의가 같다는 사실을 보이는데 충분 하지 않고 다음과 같은 사실을 보여야 합니다.

$+\dfrac{\text{자연수}}{\text{자연수}}$or $-\dfrac{\text{자연수}}{\text{자연수}}$ or $0$ $\bbox[#ffff00]{\Rightarrow}$ $\dfrac{\text{정수}}{\text{0이 아닌 정수}}$

유리수 정의

중학교 2학년에 배우는 유리수는 비율(理)이 있는(有) 수(數)를 의미하고 다음과 같이 수학적인 용어로 설명할 수 있습니다.

유리수(有理數, rational number) : 두 정수의 비율 또는 분수의 형식으로 나타낼 수 있는 수 (단, 분모는 0이 아님)

유리수의 정의는 다음과 같이 문자로 서술하는 경우가 많으므로 꼭 기억해 두길 바랍니다.

$\dfrac{b}{a}$ ($a,b :\text{정수},\;a\neq0$)

유리수와 소수

초등학교에서 분수를 나눗셈으로 계산하여 소수로 나타낸 것 처럼 다음 유리수 $\dfrac{3}{5}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{4}{11}$을 직접 나누어 소수로 계산하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

$\dfrac{3}{5}=3\div5 \;\;\rightarrow\;\;
\begin{array}{r}0.6\;\\ 5\enclose{longdiv}{3.0}\\
3\;0\,\\
\hline 0\,
\end{array}$

$\dfrac{2}{3}=2\div3 \;\;\rightarrow\;\;
\begin{array}{r}0.666\cdots \\ 3\enclose{longdiv}{2.000\cdots}\\1\;8\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\
\hline 20\;\;\;\;\;\;\;\\ 18\;\;\;\;\;\;\;\\
\hline 20\;\;\;\;\;\\18\;\;\;\;\;\\
\hline 2\;\;\;\;\;\\
\cdots\;\;\;
\end{array}$

$\dfrac{4}{11}=4\div11 \;\;\rightarrow\;\;
\begin{array}{r}0.3\,6\,3\,6\,\cdots \\ 11\enclose{longdiv}{4.0\,0\,0\,0\cdots}\\
3\;3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\\
\hline 7\,0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\\ 6\,6\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\\
\hline 4\,0\;\;\;\;\;\;\;\;\\3\,3\;\;\;\;\;\;\;\;\\
\hline 7\,0\;\;\;\;\;\,\\ 6\,6\;\;\;\;\;\,\\
\hline 4\;\;\;\;\;\,\\
\cdots\;\;\;
\end{array}$

위의 계산 결과를 정리하면 $\dfrac{3}{5}=0.6, \dfrac{2}{3}=0.666\cdots, \dfrac{4}{11}=0.3636\cdots$ 이고 이를 통해 유리수를 소수로 나타내면 소숫점 아래 $0$이 아닌 수가 유한한수 ($0.6$)와 무한한 수($0.666\cdots, 0.3636\cdots$)가 있음을 알 수 있습니다.