직선의 방정식을 이용한 연립방정식 풀이

연립일차방정식을 풀 때, 단순히 계산만으로 접근하는 것보다 직선의 방정식으로 이해하면 훨씬 직관적이고 명확합니다.

이 글에서는 연립일차방정식을 두 직선의 교점 문제로 바꾸어 해석하고, 기울기와 y절편을 활용해 해의 개수를 그래프로 판정하는 방법을 자세히 살펴봅니다. 또한, 축에 평행한 직선이 포함된 경우의 예외 상황까지 함께 다루어 헷갈릴 수 있는 개념을 명확히 정리했습니다.

개념을 시각적으로 익히고 싶거나, 연립방정식을 그래프와 연결 지어 풀고 싶은 분이라면 이 글이 큰 도움이 될 것입니다. 지금부터 차근차근 함께 살펴보세요!

일차함수와 직선의 방정식(복습)

일차함수 위치관계 판정

두 일차함수 $y=ax+b,\;y’=a’x+b’$의 위치관계를 관계식을 이용해 판정하는 방법은 다음과 같습니다.

1. 기울기($a$)가 다르면 두 직선은 한 점에서 만난다.
   • 한 점에서 만날 조건: $a \neq a’$
2. 기울기가 같은($a=a’$) 두 직선은 평행하거나 일치한다.
   • 평행한 조건: $a=a’,\;b\neq b’$
   • 일치할 조건: $a=a’,\;b=b’$

직선의 방정식

$ax+by+c=0$꼴의 일차방정식은 다음과 같이 분류하고 $a,\;b$가 동시에 $0$인 경우는 일차식이 아니므로 이를 제외하면 좌표평면의 모든 직선을 표현할 수 있음을 학습하였습니다.

	$a=0$	$a\neq0$
$b=0$	$0x+0b+c=0$ 일차방정식 아님 ($\bbox[#ffc5fd]{\text{제외}}$)	$ax+0y+c=0$ $x=(\text{상수})$ $y$축과 평행한 직선
$b\neq0$	$0x+by+c=0$ $y=(\text{상수})$ $x$축과 평행한 직선	$ax+by+c=0$ 미지수가 2개인 일차방정식 $y=-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}$ 일차함수

일차방정식과 직선의 방정식

일차방정식 $ax+by+c=0$은 차수가 1이기 때문에 $a,\;b$가 동시에 $0$이 될 수 없습니다. 따라서 일차방정식 $ax+by+c=0$은 직선의방정식과 같고, 다음과 같이 해석할 수 있음을 학습하였습니다.

• $\bbox[#ffff00]{\text{일차}}$방정식 $ax+by+c=0$: 직선의 방정식
  1. $ax+by+c=0$ ($a\neq0$ $\bbox[#ffff00]{\text{또는}}$ $b\neq0$)

직선의 방정식과 연립방정식

미지수가 2개인 연립일차방정식은 다음과 같이 일반화 하여 생각할 수 있습니다.

• 미지수가 2개인 연립일차방정식
  • $\begin{cases} ax+by+c=0\\a’x+b’y+c’=0\end{cases}$
    (단, $a\neq0,\;b\neq0,\;a’\neq0,\;b’\neq0$)

미지수가 2개인 연립일차방정식의 조건 $a\neq0,\;b\neq0,\;a’\neq0,\;b’\neq0$을 제거하면 더 일반적인 연립일차방정식에 대하여 생각해 볼 수 있습니다

• 연립일차방정식: $\begin{cases} ax+by+c=0\cdots ㄱ \\a’x+b’y+c’=0\cdotsㄴ \end{cases}$

연립일차방정식의 두 일차방정식은 직선의 방정식이고 따라서 연립일차방정식을 직선의 방정식의 그래프를 이용해 해를 구할 수 있습니다.

연립방정식의 해

연립일차방정식 $\begin{cases} ax+by+c=0\\a’x+b’y+c’=0\end{cases}$의 해는 두 가지 방법으로 생각할 수 있습니다.

1. 가감법, 대입법을 이용한 연립방정식의 해
2. 두 직선의 방정식의 교점 좌표 $(\triangle,\;\square)$

예제

연립방정식 $\begin{cases}2x+y=4\cdotsㄱ\\x-y=-1\cdotsㄴ \end{cases}$을 다음 두 가지 방법으로 풀어봅시다.

1. 가감법
2. 직선의방정식 그래프

가감법을 이용한 풀이

$\begin{align} &2x+y=4\\
+)&\;x-y=-1\\
\hline
&\quad \;\;3x=3\end{align}$

따라서 연립방정식의 해는 $x=1, \; y=2$입니다.

직선의방정식 그래프를 이용한 풀이

$2x+y=4$와 $x-y=-1$의 그래프를 그리는 과정은 다음과 같습니다.

1. $2x+y=4 \rightarrow {\color{red}y=-2x+4}$
   • $x=0$일 때 $y$절편: $4$
   • $y=0$일 때 $x$절편: $2$
   • $(0,4),\;(2,0)$을 지나는 직선
2. $x-y=-1\rightarrow {\color{blue}y=x+1}$
   • $x=0$일 때 $y$절편: $1$
   • $y=0$일 때 $x$절편: $-1$
   • $(0,1),\;(-1,0)$을 지나는 직선

위의 사실을 이용해 그래프를 그리면 다음과 같습니다.

연립방정식의 해는 그래프의 교점을 의미하고 따라서 해는 $(1,2)$입니다.

연립일차방정식의 해의 개수 판정

다시 정리하면 연립일차방정식 $\begin{cases} ax+by+c=0\cdots ㄱ \\a’x+b’y+c’=0\cdotsㄴ \end{cases}$의 해는 다음과 같은 의미를 갖습니다.

1. 연립일차방정식의 의 해의 순서쌍
2. 두 직선의 방정식 ($ㄱ,\;ㄴ$)의 교점의 좌표

이제 연립일차방정식의 해의 개수를 판정하는 방법에 대해 살펴봅시다.

미지수가 2개인 연립일차방정식

미지수가 2개인 연립일차방정식은 다음과 같고, 이 두 방정식은 일차함수로 표현할 수 있습니다.

1. 미지수가 2개인 연립일차방정식
   • $\begin{cases} ax+by+c=0\\a’x+b’y+c’=0\end{cases}$
     (단, $a\neq0,\;b\neq0,\;a’\neq0,\;b’\neq0$)
2. 일차함수
   • $\begin{cases} y=\bbox[#ffff00]{-\dfrac{a}{b}}x\bbox[#dcff8c]{-\dfrac{c}{b}}\\y=\bbox[#ffff00]{-\dfrac{a’}{b’}}x\bbox[#dcff8c]{-\dfrac{c’}{b’}}\end{cases}$

일차함수의 교점의 개수가 연립방정식의 해의 개수와 같고 따라서 다음과 같이 해를 판정할 수 있습니다.

연립일차방정식 해의 개수 판정

위의 식을 토대로 해의 개수를 판정하는 방법을 정리하면 아래와 같습니다.

1. 한 점에서 만날 조건: $\bbox[#ffff00]{\text{기울기}}$가 다르다.
   • 함수 판정: $\dfrac{a}{b} \bbox[#ffff00]{\neq}\dfrac{a’}{b’}$
   • 연립방정식 판정: $\dfrac{a}{a’} \neq\dfrac{b}{b’}$
2. 평행할 조건: $\bbox[#ffff00]{\text{기울기}}$가 같고, $\bbox[#dcff8c]{y\text{절편}}$이 다르다.
   • 함수 판정: $\dfrac{a}{b}\bbox[#ffff00]{=}\dfrac{a’}{b’}$, $\dfrac{c}{b}\bbox[#dcff8c]{\neq}\dfrac{c’}{b’}$
   • 연립방정식 판정: $\dfrac{a}{a’} = \dfrac{b}{b’}\neq \dfrac{c}{c’}$
3. 일치할 조건: $\bbox[#ffff00]{\text{기울기}}$가 같고, $\bbox[#dcff8c]{y\text{절편}}$이 같다.
   • 함수 판정: $\dfrac{a}{b}\bbox[#ffff00]{=}\dfrac{a’}{b’}$, $\dfrac{c}{b}\bbox[#dcff8c]{=}\dfrac{c’}{b’}$
   • 연립방정식 판정: $\dfrac{a}{a’} = \dfrac{b}{b’} = \dfrac{c}{c’}$

연립방정식의 해의 개수를 판정하는 방법에 대해서는 다음 링크를 통해 확인하실 수 있습니다.

• 연립방정식의 해의 개수 판정

축과 평행한 직선 포함된 경우

축과 평행한 직선이 포함된 연립방정식은 다음과 같이 그래프를 이용해 해의 개수를 판단할 수 있습니다.

1. $x$축에 평행한 $\color{red}y=2$가 포함된 연립방정식
   • $\color{magenta}ax+by+c=0,\;(a\neq0,b\neq0)$: 해가 한개
   • $x=\triangle$꼴: 해가 한개
   • $\color{green}y=a,\;(a\neq2)$: 해가 없다.
   • $\color{blue}y=2$: 해가 무수히 많다.
2. $y$축에 평행한 $\color{red}x=1$이 포함된 연립방정식
   • $\color{magenta}ax+by+c=0,\;(a\neq0,b\neq0)$: 해가 한개
   • $y=\triangle$꼴: 해가 한개
   • $\color{green}x=a,\;(a\neq1)$: 해가 없다.
   • $\color{blue}x=1$: 해가 무수히 많다.