실수의 대소관계

수학에서 수를 이해하는 가장 직관적인 방법 중 하나는 수직선을 이용하는 것입니다. 우리가 알고 있는 모든 수는 수직선 위의 한 점으로 나타낼 수 있으며, 반대로 수직선 위의 모든 점도 하나의 실수와 대응됩니다. 즉, 수직선은 유리수와 무리수를 포함한 실수 전체를 표현하는 도구라고 할 수 있습니다.

특히 제곱근과 같은 무리수는 분수나 소수로 정확히 나타낼 수 없기 때문에 처음 배우는 학생들에게는 다소 추상적으로 느껴질 수 있습니다. 하지만 수직선을 이용하면 이러한 수들도 기하적으로 나타내고 위치를 이해할 수 있습니다.

이 글에서는 먼저 실수와 수직선의 관계를 살펴보고, 제곱근을 수직선 위에 작도하는 방법을 정리하고, 제곱근이 포함된 수들의 대소관계를 비교하는 방법, 제곱근표를 이용해 근사값을 계산하는 방법, 대소관계 심화문제 까지 함께 정리해 보겠습니다.

실수와 수직선

실수는 수직선에 존재하는 수를 의미하고, 따라서 모든 유리수와 무리수는 수직선 위에 있다고 할 수 있습니다.

1. 수직선은 실수(유리수, 무리수)로 완전히 채울 수 있다.
2. 모든 실수는 수직선 위의 점과 1:1로 대응한다.
3. 모든 수직선 위의 점은 실수와 1:1로 대응한다.
4. 서로 다른 두 실수 사이에는 무수히 많은 실수가 있다.
5. 수직선을 유리수 또는 무리수 만으로 완전히 채울 수 없다.

수직선에 제곱근 나타내기

$\sqrt{\text{자연수}}$는 제곱수를 이용해 수직선에 작도할 수 있습니다.

$\sqrt{3}$을 수직선에 나타내기

$\sqrt{3}=\sqrt{1^2+1^2+1^2}$이므로 다음과 같이 수직선에 작도할 수 있습니다.

1. $\sqrt{2}$를 수직선에 작도하기(제곱근의 뜻과 표현)
2. $\sqrt{2}$를 이용해 $\sqrt{3}$을 작도하기

확인

$\sqrt{5}$을 수직선에 나타내기

$\sqrt{5}=\sqrt{1^2+2^2}$이므로 다음과 같이 수직선에 작도할 수 있습니다.

확인

실수의 대소관계

실수와 수직선은 서로 1:1로 대응하므로 기본적으로 다음이 성립합니다.

• 수직선에서 오른쪽에 있는 수가 더 크고, 왼쪽에 있는 수는 더 작습니다.

실수는 수직선에 있는 수이기 때문에 크기는 다음과 같이 비교할 수 있습니다.

1. 기본적인 대소관계 판단
   • $(\text{음수})\ <\ 0\ <\ (\text{양수})$
   • 양수끼리: 절댓값이 큰 수가 크다.
   • 음수끼리: 절댓값이 작은 수가 크다.
2. 부호가 같고, 절댓값 비교가 힘들때
   • $a-b>0 \ \Rightarrow \ a>b$
   • $a-b<0 \ \Rightarrow \ a<b$
   • $a-b=0 \ \Rightarrow \ a=b$
3. $a<b$이고 $b<c$이면 $a<c$임을 이용

제곱근이 포함된 $A,\ B$의 크기를 비교할 때는 다음과 같은 방법을 사용할 수 있습니다.

1. $A,\ B$를 제곱근으로 고쳐서 비교
2. $A,\ B$의 제곱근을 제곱근 표를 이용해 소수로 바꾸기
3. $A-B$의 부호 $=$ 두 양수의 뺄셈 부호 $=$ 제곱한 수의 뺄셈 부호(심화)

제곱근표

제곱근표는 제곱근에 해당하는 수를 반올림하여 소숫점 아래 3자리 까지 나타낸 근삿값으로 수학에서는 무리수와 분수로 직접 다루기 때문에 거의 사용하지 않고, 실생활에서 수치를 다룰 때 유용하게 사용하는 표입니다.

$\sqrt{\bbox[#ffff00]{2.1}\bbox[#dcff8d]{5}}$의 값을 제곱근표를 이용해 읽는 방법은 다음과 같습니다.

1. $\bbox[#ffff00]{2.1}$가 있는 행을 찾는다.
2. $\bbox[#dcff8d]{5}$가 있는 열의 수를 읽는다.
3. $\sqrt{\bbox[#ffff00]{2.1}\bbox[#dcff8d]{5}}=1.466$

제곱근의 연산을 학습하면 $\sqrt{215}$의 값도 제곱근 표를 이용하여 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

정답확인

$\sqrt{100 \times \bbox[#ffff00]{2.1}\bbox[#dcff8d]{5}}=\sqrt{100} \times \sqrt{\bbox[#ffff00]{2.1}\bbox[#dcff8d]{5}}=10\times 1.466=14.66$

1~99까지 제곱근 표는 다음과 같고 이 표의 값에 10의 거듭제곱을 곱하거나 나누면 다양한 거듭제곱의 값을 대략적으로 계산할 수 있습니다.

제곱근표 보기

수	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	1.005	1.01	1.015	1.02	1.025	1.03	1.034	1.039	1.044
1.1	1.049	1.054	1.058	1.063	1.068	1.072	1.077	1.082	1.086	1.091
1.2	1.095	1.1	1.105	1.109	1.114	1.118	1.122	1.127	1.131	1.136
1.3	1.14	1.145	1.149	1.153	1.158	1.162	1.166	1.17	1.175	1.179
1.4	1.183	1.187	1.192	1.196	1.2	1.204	1.208	1.212	1.217	1.221
1.5	1.225	1.229	1.233	1.237	1.241	1.245	1.249	1.253	1.257	1.261
1.6	1.265	1.269	1.273	1.277	1.281	1.285	1.288	1.292	1.296	1.3
1.7	1.304	1.308	1.311	1.315	1.319	1.323	1.327	1.33	1.334	1.338
1.8	1.342	1.345	1.349	1.353	1.356	1.36	1.364	1.367	1.371	1.375
1.9	1.378	1.382	1.386	1.389	1.393	1.396	1.4	1.404	1.407	1.411
2	1.414	1.418	1.421	1.425	1.428	1.432	1.435	1.439	1.442	1.446
2.1	1.449	1.453	1.456	1.459	1.463	1.466	1.47	1.473	1.476	1.48
2.2	1.483	1.487	1.49	1.493	1.497	1.5	1.503	1.507	1.51	1.513
2.3	1.517	1.52	1.523	1.526	1.53	1.533	1.536	1.539	1.543	1.546
2.4	1.549	1.552	1.556	1.559	1.562	1.565	1.568	1.572	1.575	1.578
2.5	1.581	1.584	1.587	1.591	1.594	1.597	1.6	1.603	1.606	1.609
2.6	1.612	1.616	1.619	1.622	1.625	1.628	1.631	1.634	1.637	1.64
2.7	1.643	1.646	1.649	1.652	1.655	1.658	1.661	1.664	1.667	1.67
2.8	1.673	1.676	1.679	1.682	1.685	1.688	1.691	1.694	1.697	1.7
2.9	1.703	1.706	1.709	1.712	1.715	1.718	1.72	1.723	1.726	1.729
3	1.732	1.735	1.738	1.741	1.744	1.746	1.749	1.752	1.755	1.758
3.1	1.761	1.764	1.766	1.769	1.772	1.775	1.778	1.78	1.783	1.786
3.2	1.789	1.792	1.794	1.797	1.8	1.803	1.806	1.808	1.811	1.814
3.3	1.817	1.819	1.822	1.825	1.828	1.83	1.833	1.836	1.838	1.841
3.4	1.844	1.847	1.849	1.852	1.855	1.857	1.86	1.863	1.865	1.868
3.5	1.871	1.873	1.876	1.879	1.881	1.884	1.887	1.889	1.892	1.895
3.6	1.897	1.9	1.903	1.905	1.908	1.91	1.913	1.916	1.918	1.921
3.7	1.924	1.926	1.929	1.931	1.934	1.936	1.939	1.942	1.944	1.947
3.8	1.949	1.952	1.954	1.957	1.96	1.962	1.965	1.967	1.97	1.972
3.9	1.975	1.977	1.98	1.982	1.985	1.987	1.99	1.992	1.995	1.997
4	2	2.002	2.005	2.007	2.01	2.012	2.015	2.017	2.02	2.022
4.1	2.025	2.027	2.03	2.032	2.035	2.037	2.04	2.042	2.045	2.047
4.2	2.049	2.052	2.054	2.057	2.059	2.062	2.064	2.066	2.069	2.071
4.3	2.074	2.076	2.078	2.081	2.083	2.086	2.088	2.09	2.093	2.095
4.4	2.098	2.1	2.102	2.105	2.107	2.11	2.112	2.114	2.117	2.119
4.5	2.121	2.124	2.126	2.128	2.131	2.133	2.135	2.138	2.14	2.142
4.6	2.145	2.147	2.149	2.152	2.154	2.156	2.159	2.161	2.163	2.166
4.7	2.168	2.17	2.173	2.175	2.177	2.179	2.182	2.184	2.186	2.189
4.8	2.191	2.193	2.195	2.198	2.2	2.202	2.205	2.207	2.209	2.211
4.9	2.214	2.216	2.218	2.22	2.223	2.225	2.227	2.229	2.232	2.234
5	2.236	2.238	2.241	2.243	2.245	2.247	2.249	2.252	2.254	2.256
5.1	2.258	2.261	2.263	2.265	2.267	2.269	2.272	2.274	2.276	2.278
5.2	2.28	2.283	2.285	2.287	2.289	2.291	2.293	2.296	2.298	2.3
5.3	2.302	2.304	2.307	2.309	2.311	2.313	2.315	2.317	2.319	2.322
5.4	2.324	2.326	2.328	2.33	2.332	2.335	2.337	2.339	2.341	2.343
5.5	2.345	2.347	2.349	2.352	2.354	2.356	2.358	2.36	2.362	2.364
5.6	2.366	2.369	2.371	2.373	2.375	2.377	2.379	2.381	2.383	2.385
5.7	2.387	2.39	2.392	2.394	2.396	2.398	2.4	2.402	2.404	2.406
5.8	2.408	2.41	2.412	2.415	2.417	2.419	2.421	2.423	2.425	2.427
5.9	2.429	2.431	2.433	2.435	2.437	2.439	2.441	2.443	2.445	2.447
6	2.449	2.452	2.454	2.456	2.458	2.46	2.462	2.464	2.466	2.468
6.1	2.47	2.472	2.474	2.476	2.478	2.48	2.482	2.484	2.486	2.488
6.2	2.49	2.492	2.494	2.496	2.498	2.5	2.502	2.504	2.506	2.508
6.3	2.51	2.512	2.514	2.516	2.518	2.52	2.522	2.524	2.526	2.528
6.4	2.53	2.532	2.534	2.536	2.538	2.54	2.542	2.544	2.546	2.548
6.5	2.55	2.551	2.553	2.555	2.557	2.559	2.561	2.563	2.565	2.567
6.6	2.569	2.571	2.573	2.575	2.577	2.579	2.581	2.583	2.585	2.587
6.7	2.588	2.59	2.592	2.594	2.596	2.598	2.6	2.602	2.604	2.606
6.8	2.608	2.61	2.612	2.613	2.615	2.617	2.619	2.621	2.623	2.625
6.9	2.627	2.629	2.631	2.632	2.634	2.636	2.638	2.64	2.642	2.644
7	2.646	2.648	2.65	2.651	2.653	2.655	2.657	2.659	2.661	2.663
7.1	2.665	2.666	2.668	2.67	2.672	2.674	2.676	2.678	2.68	2.681
7.2	2.683	2.685	2.687	2.689	2.691	2.693	2.694	2.696	2.698	2.7
7.3	2.702	2.704	2.706	2.707	2.709	2.711	2.713	2.715	2.717	2.718
7.4	2.72	2.722	2.724	2.726	2.728	2.729	2.731	2.733	2.735	2.737
7.5	2.739	2.74	2.742	2.744	2.746	2.748	2.75	2.751	2.753	2.755
7.6	2.757	2.759	2.76	2.762	2.764	2.766	2.768	2.769	2.771	2.773
7.7	2.775	2.777	2.778	2.78	2.782	2.784	2.786	2.787	2.789	2.791
7.8	2.793	2.795	2.796	2.798	2.8	2.802	2.804	2.805	2.807	2.809
7.9	2.811	2.812	2.814	2.816	2.818	2.82	2.821	2.823	2.825	2.827
8	2.828	2.83	2.832	2.834	2.835	2.837	2.839	2.841	2.843	2.844
8.1	2.846	2.848	2.85	2.851	2.853	2.855	2.857	2.858	2.86	2.862
8.2	2.864	2.865	2.867	2.869	2.871	2.872	2.874	2.876	2.877	2.879
8.3	2.881	2.883	2.884	2.886	2.888	2.89	2.891	2.893	2.895	2.897
8.4	2.898	2.9	2.902	2.903	2.905	2.907	2.909	2.91	2.912	2.914
8.5	2.915	2.917	2.919	2.921	2.922	2.924	2.926	2.927	2.929	2.931
8.6	2.933	2.934	2.936	2.938	2.939	2.941	2.943	2.944	2.946	2.948
8.7	2.95	2.951	2.953	2.955	2.956	2.958	2.96	2.961	2.963	2.965
8.8	2.966	2.968	2.97	2.972	2.973	2.975	2.977	2.978	2.98	2.982
8.9	2.983	2.985	2.987	2.988	2.99	2.992	2.993	2.995	2.997	2.998
9	3	3.002	3.003	3.005	3.007	3.008	3.01	3.012	3.013	3.015
9.1	3.017	3.018	3.02	3.022	3.023	3.025	3.027	3.028	3.03	3.032
9.2	3.033	3.035	3.036	3.038	3.04	3.041	3.043	3.045	3.046	3.048
9.3	3.05	3.051	3.053	3.055	3.056	3.058	3.059	3.061	3.063	3.064
9.4	3.066	3.068	3.069	3.071	3.072	3.074	3.076	3.077	3.079	3.081
9.5	3.082	3.084	3.085	3.087	3.089	3.09	3.092	3.094	3.095	3.097
9.6	3.098	3.1	3.102	3.103	3.105	3.106	3.108	3.11	3.111	3.113
9.7	3.114	3.116	3.118	3.119	3.121	3.122	3.124	3.126	3.127	3.129
9.8	3.13	3.132	3.134	3.135	3.137	3.138	3.14	3.142	3.143	3.145
9.9	3.146	3.148	3.15	3.151	3.153	3.154	3.156	3.158	3.159	3.161
10	3.162	3.178	3.194	3.209	3.225	3.24	3.256	3.271	3.286	3.302
11	3.317	3.332	3.347	3.362	3.376	3.391	3.406	3.421	3.435	3.45
12	3.464	3.479	3.493	3.507	3.521	3.536	3.55	3.564	3.578	3.592
13	3.606	3.619	3.633	3.647	3.661	3.674	3.688	3.701	3.715	3.728
14	3.742	3.755	3.768	3.782	3.795	3.808	3.821	3.834	3.847	3.86
15	3.873	3.886	3.899	3.912	3.924	3.937	3.95	3.962	3.975	3.987
16	4	4.012	4.025	4.037	4.05	4.062	4.074	4.087	4.099	4.111
17	4.123	4.135	4.147	4.159	4.171	4.183	4.195	4.207	4.219	4.231
18	4.243	4.254	4.266	4.278	4.29	4.301	4.313	4.324	4.336	4.347
19	4.359	4.37	4.382	4.393	4.405	4.416	4.427	4.438	4.45	4.461
20	4.472	4.483	4.494	4.506	4.517	4.528	4.539	4.55	4.561	4.572
21	4.583	4.593	4.604	4.615	4.626	4.637	4.648	4.658	4.669	4.68
22	4.69	4.701	4.712	4.722	4.733	4.743	4.754	4.764	4.775	4.785
23	4.796	4.806	4.817	4.827	4.837	4.848	4.858	4.868	4.879	4.889
24	4.899	4.909	4.919	4.93	4.94	4.95	4.96	4.97	4.98	4.99
25	5	5.01	5.02	5.03	5.04	5.05	5.06	5.07	5.079	5.089
26	5.099	5.109	5.119	5.128	5.138	5.148	5.158	5.167	5.177	5.187
27	5.196	5.206	5.215	5.225	5.235	5.244	5.254	5.263	5.273	5.282
28	5.292	5.301	5.31	5.32	5.329	5.339	5.348	5.357	5.367	5.376
29	5.385	5.394	5.404	5.413	5.422	5.431	5.441	5.45	5.459	5.468
30	5.477	5.486	5.495	5.505	5.514	5.523	5.532	5.541	5.55	5.559
31	5.568	5.577	5.586	5.595	5.604	5.612	5.621	5.63	5.639	5.648
32	5.657	5.666	5.675	5.683	5.692	5.701	5.71	5.718	5.727	5.736
33	5.745	5.753	5.762	5.771	5.779	5.788	5.797	5.805	5.814	5.822
34	5.831	5.84	5.848	5.857	5.865	5.874	5.882	5.891	5.899	5.908
35	5.916	5.925	5.933	5.941	5.95	5.958	5.967	5.975	5.983	5.992
36	6	6.008	6.017	6.025	6.033	6.042	6.05	6.058	6.066	6.075
37	6.083	6.091	6.099	6.107	6.116	6.124	6.132	6.14	6.148	6.156
38	6.164	6.173	6.181	6.189	6.197	6.205	6.213	6.221	6.229	6.237
39	6.245	6.253	6.261	6.269	6.277	6.285	6.293	6.301	6.309	6.317
40	6.325	6.332	6.34	6.348	6.356	6.364	6.372	6.38	6.387	6.395
41	6.403	6.411	6.419	6.427	6.434	6.442	6.45	6.458	6.465	6.473
42	6.481	6.488	6.496	6.504	6.512	6.519	6.527	6.535	6.542	6.55
43	6.557	6.565	6.573	6.58	6.588	6.595	6.603	6.611	6.618	6.626
44	6.633	6.641	6.648	6.656	6.663	6.671	6.678	6.686	6.693	6.701
45	6.708	6.716	6.723	6.731	6.738	6.745	6.753	6.76	6.768	6.775
46	6.782	6.79	6.797	6.804	6.812	6.819	6.826	6.834	6.841	6.848
47	6.856	6.863	6.87	6.877	6.885	6.892	6.899	6.907	6.914	6.921
48	6.928	6.935	6.943	6.95	6.957	6.964	6.971	6.979	6.986	6.993
49	7	7.007	7.014	7.021	7.029	7.036	7.043	7.05	7.057	7.064
50	7.071	7.078	7.085	7.092	7.099	7.106	7.113	7.12	7.127	7.134
51	7.141	7.148	7.155	7.162	7.169	7.176	7.183	7.19	7.197	7.204
52	7.211	7.218	7.225	7.232	7.239	7.246	7.253	7.259	7.266	7.273
53	7.28	7.287	7.294	7.301	7.308	7.314	7.321	7.328	7.335	7.342
54	7.348	7.355	7.362	7.369	7.376	7.382	7.389	7.396	7.403	7.409
55	7.416	7.423	7.43	7.436	7.443	7.45	7.457	7.463	7.47	7.477
56	7.483	7.49	7.497	7.503	7.51	7.517	7.523	7.53	7.537	7.543
57	7.55	7.556	7.563	7.57	7.576	7.583	7.589	7.596	7.603	7.609
58	7.616	7.622	7.629	7.635	7.642	7.649	7.655	7.662	7.668	7.675
59	7.681	7.688	7.694	7.701	7.707	7.714	7.72	7.727	7.733	7.74
60	7.746	7.752	7.759	7.765	7.772	7.778	7.785	7.791	7.797	7.804
61	7.81	7.817	7.823	7.829	7.836	7.842	7.849	7.855	7.861	7.868
62	7.874	7.88	7.887	7.893	7.899	7.906	7.912	7.918	7.925	7.931
63	7.937	7.944	7.95	7.956	7.962	7.969	7.975	7.981	7.987	7.994
64	8	8.006	8.012	8.019	8.025	8.031	8.037	8.044	8.05	8.056
65	8.062	8.068	8.075	8.081	8.087	8.093	8.099	8.106	8.112	8.118
66	8.124	8.13	8.136	8.142	8.149	8.155	8.161	8.167	8.173	8.179
67	8.185	8.191	8.198	8.204	8.21	8.216	8.222	8.228	8.234	8.24
68	8.246	8.252	8.258	8.264	8.27	8.276	8.283	8.289	8.295	8.301
69	8.307	8.313	8.319	8.325	8.331	8.337	8.343	8.349	8.355	8.361
70	8.367	8.373	8.379	8.385	8.39	8.396	8.402	8.408	8.414	8.42
71	8.426	8.432	8.438	8.444	8.45	8.456	8.462	8.468	8.473	8.479
72	8.485	8.491	8.497	8.503	8.509	8.515	8.521	8.526	8.532	8.538
73	8.544	8.55	8.556	8.562	8.567	8.573	8.579	8.585	8.591	8.597
74	8.602	8.608	8.614	8.62	8.626	8.631	8.637	8.643	8.649	8.654
75	8.66	8.666	8.672	8.678	8.683	8.689	8.695	8.701	8.706	8.712
76	8.718	8.724	8.729	8.735	8.741	8.746	8.752	8.758	8.764	8.769
77	8.775	8.781	8.786	8.792	8.798	8.803	8.809	8.815	8.82	8.826
78	8.832	8.837	8.843	8.849	8.854	8.86	8.866	8.871	8.877	8.883
79	8.888	8.894	8.899	8.905	8.911	8.916	8.922	8.927	8.933	8.939
80	8.944	8.95	8.955	8.961	8.967	8.972	8.978	8.983	8.989	8.994
81	9	9.006	9.011	9.017	9.022	9.028	9.033	9.039	9.044	9.05
82	9.055	9.061	9.066	9.072	9.077	9.083	9.088	9.094	9.099	9.105
83	9.11	9.116	9.121	9.127	9.132	9.138	9.143	9.149	9.154	9.16
84	9.165	9.171	9.176	9.182	9.187	9.192	9.198	9.203	9.209	9.214
85	9.22	9.225	9.23	9.236	9.241	9.247	9.252	9.257	9.263	9.268
86	9.274	9.279	9.284	9.29	9.295	9.301	9.306	9.311	9.317	9.322
87	9.327	9.333	9.338	9.343	9.349	9.354	9.359	9.365	9.37	9.375
88	9.381	9.386	9.391	9.397	9.402	9.407	9.413	9.418	9.423	9.429
89	9.434	9.439	9.445	9.45	9.455	9.46	9.466	9.471	9.476	9.482
90	9.487	9.492	9.497	9.503	9.508	9.513	9.518	9.524	9.529	9.534
91	9.539	9.545	9.55	9.555	9.56	9.566	9.571	9.576	9.581	9.586
92	9.592	9.597	9.602	9.607	9.612	9.618	9.623	9.628	9.633	9.638
93	9.644	9.649	9.654	9.659	9.664	9.67	9.675	9.68	9.685	9.69
94	9.695	9.701	9.706	9.711	9.716	9.721	9.726	9.731	9.737	9.742
95	9.747	9.752	9.757	9.762	9.767	9.772	9.778	9.783	9.788	9.793
96	9.798	9.803	9.808	9.813	9.818	9.823	9.829	9.834	9.839	9.844
97	9.849	9.854	9.859	9.864	9.869	9.874	9.879	9.884	9.889	9.894
98	9.899	9.905	9.91	9.915	9.92	9.925	9.93	9.935	9.94	9.945
99	9.95	9.955	9.96	9.965	9.97	9.975	9.98	9.985	9.99	9.995

대소관계 심화

제곱근 표를 이용하지 않고 $A=2+\sqrt{3},\ B=1+\sqrt{5}$의 크기를 비교하여라.

풀이

1. $A-B =1+\sqrt{3}-\sqrt{5}$의 부호결정
2. $\bbox[#ffff00]{1+\sqrt{3}}-\bbox[#dcff8d]{\sqrt{5}}$을 두 양수의 뺄셈으로 생각
   • 두 양수의 뺄셈의 부호: 제곱한 수의 뺄셈과 부호가 동일
   • $(\bbox[#ffff00]{1+\sqrt{3}})^2-(\bbox[#dcff8d]{\sqrt{5}})^2=2\sqrt{3}-1>0$
3. $A-B>0$이고 따라서 $A>B$