원주각을 이용하면 수심의 성질을 발견할 수 다. 이 시간에는 수심과 수족 삼각형의 성질에 대해 학습하기로 하자. 본 내용은 중학교 교육과정을 벗어난 내용이다. 하지만 수심의 성질을 발견해 가는 과정은 수학적으로 큰 의미를 가지고 있어 이미 고등학교 모의고사에서 유사한 아이디어를 사용하여 해결하는 문제가 출제된 바가 있다. 수심을 학습하면서 여러가지 수학적 개념을 연결하고 복습하는 좋은 시간이 되길 바란다.
개요
학습목표
- 삼각형의 수심이 존재함을 논리적으로 설명 할 수 있다.
- 삼각형에 따른 수심의 위치를 설명할 수 있다.
- 예각 삼각형의 수심과 둔각 삼각형의 수심이 수족 삼각형의 내심과 방심이 됨을 이해한다.
수심이란?
정의
$\triangle{ABC}$의 꼭짓점 $A,B,C$에서 [ 대변 or 대변의 연장선 ] 에 내린 수선의 교점 (위키백과)
수심의 존재성과 위치
정의에 따르면 수심은 세 꼭짓점에서 대변에 그은 수선의 교점이다. 두 꼭짓점에서 대변에 그은 두 수선이 한 점에서 만나는 것은 당연하다. 하지만 세 수선이 한 점에서 만난다는 것은 너무 억지다. 먼저 세 수선이 한 점에서 만날 수 있는지에 대해 알아보기로 하자.
수심의 존재성 증명
$\triangle{ABC}$의 꼭짓점 $B,C$에서 대변에 내린 수선의 발$P,Q$와 $\overline{BQ},\overline{CQ}$의 교점 $H$에 대하여 $\overline{AH}$의 연장선과 $\overline{BC}$의 교점을 $D$라 할 때, 다음이 성립하면 세 수선은 한 점에서 만난다고 할 수 있다.
- $\overline{AD}\perp\overline{BC}$
$\square{APQH},\square{PBCQ}$는 원에 내접한다.
- $\angle{APH}+\angle{AQH}=180^{\circ}$: $\square{APQH}$는 원에 내접한다.
- $\angle{BPC}+\angle{BQC}=90^{\circ}$: $\square{PBCQ}$는 원에 내접한다.
$\triangle{APH}\equiv\triangle{CDH}$
- [$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{PH}$의 원주각]: $\angle{PAH}=\angle{PQH}=a$
- [$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{PB}$의 원주각]: $\angle{PQB}=\angle{PCB}=a$
- $\angle{AHP}=\angle{CHD}$
따라서 $\angle{APH}=\angle{CDH}=90^{\circ}$이고 $\overline{AH}$의 연장선이 $A$에서 $\overline{BC}$에 내린 수선이 된다.
수심의 위치
그렇다면 수심은 어디에 존재하는 것 일까? 수심은 삼각형의 종류에 따라 위치를 살펴보면 다음과 같다.
수족삼각형
정의
$\triangle{ABC}$의 꼭짓점 $A,B,C$에서 [ 대변 or 대변의 연장선 ] 에 내린 수선의 발 $P,Q,R$을 꼭짓 점으로 하는 $\triangle{PQR}$
수족삼각형
예각, 직각, 둔각 삼각형에서 수족 삼각형을 생각해 보면 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다.
수심의 성질
예각삼각형의 수심은 수족삼각형의 내심이다.
$\square{APQH},\square{PBCQ}$는 원에 내접함을 보였다. 동일한 논리에 따라 $\square{ABDQ},\square{QHDC}$도 원에 내접한다. 원주각을 이용하면 다음과 같은 사실을 알 수 있다.
- [$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{PH}$의 원주각]: $\angle{PAH}=\angle{PQH}=a$
- [$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{PB}$의 원주각]: $\angle{PQB}=\angle{PCB}=a$
- [$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{HD}$의 원주각]: $\angle{HCD}=\angle{HQD}=a$
이를 종합하면 $\overline{QH}$는 $\angle{PQD}$의 각의 이등분선이다. 나머지 각에 대해서도 동일한 논리를 적용하면$\triangle{PQR}$에서 각의 이등분선의 교점이 $H$ 임을 알 수 있다. 따라서 $H$는 $\triangle{PQR}$의 내심이다.
둔각삼각형의 수심은 수족삼각형의 방심이다.
원에 내접하는 사각형 찾기
- $\square{APCR}, \square{QPBH}, \square{ABRQ}, \square{QCRH}$는 원에 내접하는 사각형이다.
원주각 성질 적용
- [$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{PC}$의 원주각]: $\angle{PAC}=\angle{PQC}=a$
- [$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{PB}$의 원주각]: $\angle{PQB}=\angle{PHB}=a$
- [$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{CR}$의 원주각]: $\angle{CHR}=\angle{CQR}=a$
$\overline{QH}$는 $\angle{RQS}$의 이등분선이다.
- $\angle{CQH}=90^{\circ}$ 이므로 $\angle{RQH}=90^{\circ}-a$이다.
- $\angle{RQS}=180-2a$ 이므로 $\angle{HQS}=\angle{RQH}=90^{\circ}-a$이다.
이를 종합하면 $H$는 $\triangle{ABC}$의 한 내각의 이등분선과 두 외각의 이등분선의 교점이다. 따라서 $H$는 $\triangle{ABC}$의 방심이다.
정리
위의 내용을 정리하면 다음과 같다.
