수심의 성질 수족삼각형의 내심과 방심 (원주각 활용)

원주각을 이용하면 수심의 성질을 발견할 수 다. 이 시간에는 수심과 수족 삼각형의 성질에 대해 학습하기로 하자. 본 내용은 중학교 교육과정을 벗어난 내용이다. 하지만 수심의 성질을 발견해 가는 과정은 수학적으로 큰 의미를 가지고 있어 이미 고등학교 모의고사에서 유사한 아이디어를 사용하여 해결하는 문제가 출제된 바가 있다. 수심을 학습하면서 여러가지 수학적 개념을 연결하고 복습하는 좋은 시간이 되길 바란다.

개요

학습목표

삼각형의 수심이 존재함을 논리적으로 설명 할 수 있다.
삼각형에 따른 수심의 위치를 설명할 수 있다.
예각 삼각형의 수심과 둔각 삼각형의 수심이 수족 삼각형의 내심과 방심이 됨을 이해한다.

수심이란?

정의

$\triangle{ABC}$의 꼭짓점 $A,B,C$에서 [ 대변 or 대변의 연장선 ] 에 내린 수선의 교점 (위키백과)

수심의 존재성과 위치

정의에 따르면 수심은 세 꼭짓점에서 대변에 그은 수선의 교점이다. 두 꼭짓점에서 대변에 그은 두 수선이 한 점에서 만나는 것은 당연하다. 하지만 세 수선이 한 점에서 만난다는 것은 너무 억지다. 먼저 세 수선이 한 점에서 만날 수 있는지에 대해 알아보기로 하자.

수심의 존재성 증명

$\triangle{ABC}$의 꼭짓점 $B,C$에서 대변에 내린 수선의 발$P,Q$와 $\overline{BQ},\overline{CQ}$의 교점 $H$에 대하여 $\overline{AH}$의 연장선과 $\overline{BC}$의 교점을 $D$라 할 때, 다음이 성립하면 세 수선은 한 점에서 만난다고 할 수 있다.

$\overline{AD}\perp\overline{BC}$

$\square{APQH},\square{PBCQ}$는 원에 내접한다.

원에 내접하는 사각형 복습링크

$\angle{APH}+\angle{AQH}=180^{\circ}$: $\square{APQH}$는 원에 내접한다.
$\angle{BPC}+\angle{BQC}=90^{\circ}$: $\square{PBCQ}$는 원에 내접한다.

$\triangle{APH}\equiv\triangle{CDH}$

[$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{PH}$의 원주각]: $\angle{PAH}=\angle{PQH}=a$
[$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{PB}$의 원주각]: $\angle{PQB}=\angle{PCB}=a$
$\angle{AHP}=\angle{CHD}$

따라서 $\angle{APH}=\angle{CDH}=90^{\circ}$이고 $\overline{AH}$의 연장선이 $A$에서 $\overline{BC}$에 내린 수선이 된다.

수심의 위치

그렇다면 수심은 어디에 존재하는 것 일까? 수심은 삼각형의 종류에 따라 위치를 살펴보면 다음과 같다.

수족삼각형

정의

$\triangle{ABC}$의 꼭짓점 $A,B,C$에서 [ 대변 or 대변의 연장선 ] 에 내린 수선의 발 $P,Q,R$을 꼭짓 점으로 하는 $\triangle{PQR}$

수족삼각형

예각, 직각, 둔각 삼각형에서 수족 삼각형을 생각해 보면 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다.

수심의 성질

예각삼각형의 수심은 수족삼각형의 내심이다.

$\square{APQH},\square{PBCQ}$는 원에 내접함을 보였다. 동일한 논리에 따라 $\square{ABDQ},\square{QHDC}$도 원에 내접한다. 원주각을 이용하면 다음과 같은 사실을 알 수 있다.

[$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{PH}$의 원주각]: $\angle{PAH}=\angle{PQH}=a$
[$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{PB}$의 원주각]: $\angle{PQB}=\angle{PCB}=a$
[$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{HD}$의 원주각]: $\angle{HCD}=\angle{HQD}=a$

이를 종합하면 $\overline{QH}$는 $\angle{PQD}$의 각의 이등분선이다. 나머지 각에 대해서도 동일한 논리를 적용하면$\triangle{PQR}$에서 각의 이등분선의 교점이 $H$ 임을 알 수 있다. 따라서 $H$는 $\triangle{PQR}$의 내심이다.