시험 점수, 신발 판매량, 학급 성적처럼 우리 주변에는 수많은 숫자로 이루어진 자료가 넘쳐납니다. 하지만 수십 개의 숫자를 하나하나 살펴보는 것만으로는 그 자료가 어떤 특징을 가지는지 한눈에 파악하기 어렵습니다. 그래서 통계에서는 자료 전체를 대표할 수 있는 하나의 값, 즉 대푯값을 구해 자료를 간단하고 명확하게 분석합니다. 대푯값에는 우리에게 익숙한 평균 외에도 중앙값과 최빈값이 있는데, 이 세 가지는 각각 다른 상황에서 자료를 더 정확하게 대표합니다. 이번 시간에는 평균·중앙값·최빈값의 뜻과 구하는 방법, 그리고 어떤 상황에서 어떤 대푯값을 선택해야 하는지 함께 알아보겠습니다.
대푯값
대푯값이란 자료 전체의 중심경향이나 특징을 대표적으로 나타내는 값을 의미하고, 대푯값에는 평균, 중앙값, 최빈값이 있습니다. 대푯값과 관련된용어를 간략하게 정리하고 각 대푯값에 대해 살펴 보겠습니다.
관련 용어 정의
- 변량 : 조사의 내용이나 결과를 수량으로 나타낸 것
- 대푯값 : 자료의 중심적인 경향이나 특징을 대표적으로 나타낸 값
- 대푯값의 종류 : 평균, 중앙값, 최빈값
평균
평균에 대한 내용은 이미 학습한 내용이기 때문에 간단히 정리하고 예제를 확인하고 중앙값으로 넘아가도록 하겠습니다.
- 평균 : 변량의 총합을 변량의 개수로 나눈 값
- $(평균)=\dfrac{(변량의 총합)}{(변량의 개수)}$
예제
다음은 학생 $A$의 중간고사 성적이다. 4과목 평균을 구하여라.
- 국어 : 85 , 영어 : 100 , 수학 : 68 , 과학 : 97 , 사회 : 95
풀이
$(평균)=\dfrac{(변량의 총합)}{(변량의 개수)}=\dfrac{85+100+68+97+95}{5}=89$(점)
중앙값
자료의 변량에 극단적인 값이 있을 때는 평균이 자료 전체를 대표하는 값으로 적절하지 않은 경우가 발생할 수 있습니다. 이러한 경우 중앙의 값을 사용하는 것이 자료를 더 잘 대표할 수 있습니다. 먼저 이러한 상황에 대해 살펴봅시다.
- 중앙값 : 자료를 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열 하였을 때 한 가운데 있는 값
- 평균 대신 중앙값을 사용해야 하는 상황: 자료의 변량 중에서 극단적인 값(매우 크거나 작은 값)이 있는 경우
중앙값을 사용해야하는 상황
모든 자료의 특징을 평균으로만 나타낼 수 있다면 다른 대푯값은 필요하지 않을 것이다.
평균이 31점으로 같은 두 학급의 학생 수학 성적이 아래와 같을 때 평균에 맞춰 수업을 하면 안되는 이유에 대해 설명해 봅시다.
- 1반 : 100 , 19 , 13, 12, 11 평균 : 31점
- 2반 : 35 , 34 , 31 , 28 , 27 평균 : 31점
설명
1반은 대부분 10점대 이므로 평균에 맞춰 수업하면 안되고, 10점대 학생들에 맞춰 수업해야 한다. 반면에 2반은 모든 학생의 성적이 고르기 때문에 평균에 맞춰 수업하는 것이 적절합니다.
중앙값 예제
중앙값의 정의는 단순하지만 계산은 정의 만큼 단순하지 않습니다. 다음의 변량에서 중앙값을 계산하는 과정에 대해 생각해 봅시다.
- 변량 : 2 , 3 , 5 $\rightarrow$ 중앙값 : 3
- 변량 : 2 , 3 , 5 , 6 , 8 $\rightarrow$ 중앙값 : 5
- 변량 : 2 , 3 , 5 , 6 $\rightarrow$ 중앙값 : 4
정의에 따라서 자료의 개수가 홀수개 이면 크기 순서로 나열 했을 때 가운데 위치한 값을 찾으면 그 값이 중앙 값이 됩니다. 하지만 자료의 개수가 짝수개인 경우는 가운데 두 값이 중앙에 남기 때문에 어느 한 값을 선택할 수 없고, 이때는 중앙값의 정의에 따라 두 값에 대한 중앙값 즉 두 값의 평균을 구해야 합니다.
이를 정리하면 다음과 같습니다.
중앙값 계산
변량의 개수가 $n$개인 자료를 크기 순으로 나열하였을 때 변량의 개수에 따라 다음과 같이 중앙값을 계산할 수 있습니다.
- 변량의 개수(n)가 홀수: 한 가운데 있는 값, $\dfrac{n+1}{2}$번째 변량
- 변량의 개수(n)가 짝수: 한 가운데 있는 두 값의 평균, $\dfrac{n}{2}$, $\dfrac{n}{2}+1$번째 변량의 평균
최빈값
숫자의 크기보다 자료의 변량이 가장 많이 나타나는 값이 중요할 때는 최빈값을 대푯값으로 사용합니다. 어떤 상황에서 최빈값을 사용하면 좋을지 생각해 봅시다.
- 최빈값 : 도수가 가장 큰 값이 존재할 때 그 값을 모두 최빈값이라 한다.
최빈값을 사용해야 하는 상황
신발 가게의 판매된 신발 사이즈에 대한 평균과 중앙값을 나타낸 것이다. 새 신발을 대량으로 주문할 때 고려 할 수 있는 값으로 평균과 중앙값이 적절한지 설명해 봅시다.
- 판매 사이즈 : 220, 225, 230, 230, 235, 235, 235, 240, 255, 260, 265, 270, 270, 270, 280
- 평균 : 248, 중앙값 : 240
설명
평균에 따라 245, 250 사이즈를 대량으로 주문하거나, 중앙값인 240 사이즈를 대량으로 주문하는 것은 적절하지 않습니다. 그렇다면 어느 사이즈를 대량으로 주문하는 것이 적절할까요? 너무나 당연하게 판매량이 많은 235, 270 사이즈를 대량으로 주문하는 것이 합리적입니다.
위와 같이 숫자의 크기보다 가장 많이 나타나는 값이 중요한 상황에서는 최빈값을 대푝값으로 사용하는게 좋습니다.
최빈값 계산
최빈값의 정의는 간단 하지만, 계산 시 다음에 주의해야 합니다.
- 도수가 모두 같다면 최빈값은 없다.
- 도수가 가장 큰 값을 전부 최빈값이라고 한다.
[예제] 다음 자료에서 최빈값을 구하여라.
- 자료1 : 1, 1, 2, 3, 5 $\rightarrow$ 최빈값 : 1
- 자료2 : 1, 1, 2, 3, 3 $\rightarrow$ 최빈값 : 1, 3
- 자료3 : 1, 2, 3, 4, 5 $\rightarrow$ 최빈값 : 없음
- 자료4 : 1, 1, 3, 3, 5, 5 $\rightarrow$ 최빈값 : 없음
지금까지 대푯값의 세 종류인 평균, 중앙값, 최빈값에 대해 살펴보았습니다. 평균은 자료 전체의 합을 개수로 나눈 값으로 가장 널리 쓰이지만, 극단적으로 크거나 작은 값이 섞여 있으면 자료를 제대로 대표하지 못할 수 있습니다. 이런 경우에는 크기순으로 나열했을 때 한가운데 위치한 중앙값이 더 적절한 대푯값이 됩니다. 한편 숫자의 크기보다 ‘어떤 값이 가장 많이 나타나는가’가 중요한 상황, 예를 들어 신발 사이즈처럼 재고를 결정해야 할 때는 최빈값이 가장 유용한 정보를 줍니다. 이처럼 같은 자료라도 상황에 따라 적절한 대푯값이 달라진다는 점을 기억하며, 다양한 예제를 통해 세 대푯값을 직접 구해 보고 언제 어떤 값을 사용해야 하는지 판단하는 연습을 해 보시기 바랍니다.