원에 내접하는 사각형이라는 말을 들으면 조금 낯설게 느껴질 수 있지만, 원 위에 네 꼭짓점이 모두 놓인 사각형을 가리키는 아주 간단한 개념입니다. 이런 사각형은 대각선과 대각(마주 보는 두 각) 사이에 특별한 관계를 가지고 있는데, 이 관계를 알면 원과 사각형이 함께 등장하는 도형 문제를 훨씬 수월하게 풀 수 있습니다. 이번 글에서는 원에 내접하는 사각형이 갖는 성질과, 거꾸로 어떤 사각형이 원에 내접하는지 판단하는 조건까지 차례로 살펴보겠습니다.
원에 내접하는 사각형의 성질
원주각 성질
원에 내접하는 $\square ABCD$에 대해 $\overparen{AB}$의 원주각이 같으므로 다음이 성립합니다.
- $\angle ACB=\angle ADB$
대각의 성질
원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180^\circ$입니다.
- $\angle A+\angle C=180^\circ$
- $\angle B+\angle D=180^\circ$
증명
그림에서 $\overparen{BCD}$에 대한 중심각의 크기 $\angle x$와, $\overparen{BAD}$에 대한 중심각의 크기 $\angle y$에 대하여 다음이 성립합니다.
- $\angle A=\dfrac{1}{2}\angle x$
- $\angle C=\dfrac{1}{2}\angle y$
따라서 $\angle A+\angle C$$=\dfrac{1}{2}\angle x+\dfrac{1}{2}\angle y$$=\dfrac{1}{2}(\angle x+\angle y)$$=\dfrac{1}{2}\times 360^\circ$$=180^\circ$
마찬가지 방법으로 $\angle B+\angle D=180^\circ$임을 보일 수 있습니다.
내대각의 성질
한 외각의 내대각은 외각과 이웃하는 내각의 대각을 의미합니다. 원에 내접하는 사각형은 한 외각와 그 내대각의 크기가 같습니다.
원에 내접하는 사각형의 한 외각의 크기는 그 외각에 이웃한 내각에 대한 대각의 크기와 같습니다.
- $\angle DCE=\angle A$
증명
$\square ABCD$의 변 BC의 연장선 위에 점 E를 잡으면 $\square ABCD$가 원에 내접하므로 대각의 합이 $180˚$가 됩니다.
- $\angle A+\angle BCD=180^\circ$ ······ ㉠
- $\angle BCD+\angle DCE=180^\circ$ ······ ㉡
㉠, ㉡에서 $\angle A=\angle DCE$ 을 알 수 있습니다.
지금까지 원에 내접하는 사각형이 가지는 두 가지 성질, 즉 대각의 합이 $180^\circ$라는 것과 외각이 이웃한 내각의 대각과 같다는 것을 확인했습니다. 그렇다면 반대로, 어떤 사각형이 주어졌을 때 그 사각형이 원에 내접하는지는 어떻게 판단할 수 있을까요? 지금부터는 이 두 성질을 거꾸로 이용해 사각형이 원에 내접하기 위한 조건을 알아보겠습니다.
사각형이 원에 내접하기 위한 조건
결론부터 정리하면 위의 성질을 만족하는 사각형은 원에 내접합니다. 이제 하나씩 정리해 보도록 하겠습니다.
원주각 조건
두 점 $C,\ D$가 $\overline{AB}$에 대하여 같은 쪽에 있을 때, $\angle ACB=\angle ADB$이면 네 점 $A,\ B,\ C,\ D$는 한 원 위에 있습니다.
네 점 $A,\ B,\ C,\ D$가 한 원 위에 있다는 것은 $\square ABDC$가 원에 내접하는 사각형이 되는 것을 의미합니다.
증명
세 점 $A,\ B,\ C$가 주어지면 $\triangle ABC$의 외접원 $O$를 생각할 수 있습니다. $\angle ACB=\angle ADB$을 만족하면, 원 $O$ 위에 점 $D$가 있음을 보이면 충분합니다.
(1) $\angle ACB=\angle ADB$이면서, 점 $D$가 원의 내부에 있다고 합시다. 그러면, $\overline{AD}$의 연장선과 원 $O$의 교점을 $D’$라고 둘 수 있습니다.
- $\angle ADB>\angle AD’B$ ($\triangle BDD’$의 외각)
- $\angle AD’B=\angle ACB$
정리하면, $\angle ACB<\angle ADB$이고 이는 $\angle ACB=\angle ADB$과 모순입니다. 따라서 점 $D$가 원의 내부에 있을 수 없습니다.
(2) $\angle ACB=\angle ADB$이면서, 점 $D$가 원의 외부에 있다고 합시다. 그러면 $\overline{AD}$와 원 $O$의 교점을 $D’$이라고 둘 수 있습니다.
- $\angle AD’B>\angle ADB$ ($\triangle BDD’$의 외각)
- $\angle AD’B=\angle ACB$
따라서 $\angle ACB>\angle ADB$이고 이는 $\angle ACB=\angle ADB$과 모순입니다. 따라서 점 $D$는 원의 외부에 있을 수 없습니다.
(1), (2) 를 통해 점 $D$는 $\triangle ABC$의 외접원 $O$ 내부에도 있을 수 없고 외부에도 있을 수 없습니다. 따라서 $D$는 원 위에 있다는 결론을 내릴 수 있습니다.
대각의 합 조건
사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합이 $180^\circ$이면 이 사각형은 원에 내접합니다.
참고: 정사각형, 직사각형, 등변사다리꼴은 모두 한 쌍의 대각의 크기의 합이 $180^\circ$이므로 항상 원에 내접합니다.
증명
$\angle b+\angle d=180˚$인 $\square ABCD$에 대하여, $\triangle{ABC}$의 외접원 $O$를 생각할 수 있습니다.
한 쌍의 대각의 합 $\angle b+\angle d=180˚$를 만족하는 점 $D$가 외접원 $O$의 외부에 있을 때, $\overline{AD}$와 원 $O$의 교점을 $E$에 대하여 다음이 성립합니다.
- $\angle b+\angle e=180˚$
- 따라서 $d=e$
$\angle e$는 $\triangle CDE$의 외각이므로
- $\angle e> \angle d$
$d=e$이면서 $\angle e> \angle d$일 수 없으므로 $D$가 원$O$ 외부에 있지 않습니다.
$\angle{ABC}+\angle{ADC}=b+d=180^{\circ}$이고 $D$가 원$O$ 내부에 있다 해도 말이 안되는 결과가 나옵니다.(직접해보세요) 따라서 $D$는 $\triangle ABC$의 외접원 위에 있게 됩니다.
내대각의 크기 조건
사각형에서 한 외각의 크기가 그 외각에 이웃한 내각에 대한 대각의 크기와 같으면 이 사각형은 원에 내접합니다.
증명
외각의 크기가 이웃하는 내각의 대각과 같다면, 사각형의 대각의 합이 $180˚$가 됩니다. 따라서 이 사각형은 원에 내접하게 됩니다.
정리하면, 원에 내접하는 사각형은 항상 한 쌍의 대각의 합이 $180^\circ$이고 외각이 이웃한 내각의 대각과 같습니다. 그리고 이 두 조건 중 하나만 만족해도 그 사각형은 원에 내접한다고 판단할 수 있습니다. 정사각형, 직사각형, 등변사다리꼴처럼 익숙한 도형들도 모두 이 조건을 만족하기 때문에 항상 원에 내접한다는 사실까지 함께 기억해 두면, 원과 사각형이 얽힌 문제를 훨씬 자신 있게 풀어낼 수 있을 것입니다.