복소수는 실수부분과 허수부분으로 이루어져 있으므로 두 복소수가 서로 같기 위해서는 각각의 부분이 일정한 조건을 만족해야 합니다. $a+bi$와 $c+di$가 서로 같다면 실수부분과 허수부분을 각각 비교할 수 있으며, 이 성질은 복소수의 방정식과 켤레복소수, 켤레근을 다룰 때 기본적으로 사용됩니다. 이번 글에서는 복소수의 상등의 뜻을 정리하고, 왜 $a+bi=c+di$이면 $a=c$, $b=d$가 되는지 그 이유와 증명을 살펴보겠습니다.
복소수 상등
$a$, $b$, $c$, $d$가 실수일 때 두 복소수 $a+bi$, $c+di$에 대하여 다음이 성립합니다.
- $a+bi=c+di\Longleftrightarrow a=c,\;b=d$
- $a+bi=0$ $\Longleftrightarrow$ $a=0$, $b=0$
즉, 두 복소수가 서로 같기 위해서는 실수부분끼리 같고 허수부분끼리 같아야 합니다.
1 증명
($\Longrightarrow$)
$a+bi=c+di$을 이항하여 정리하면 다음이 성립합니다.
- $(a-c)=(d-b)i\cdots (1)$
만약 $d-b\ne 0$이면 $i=\dfrac{a-c}{d-b}$입니다. 좌변은 허수이고, 우변은 실수의 나눗셈이므로 실수이므로 모순이기 때문에 $d-b=0$이고, 따라서 $b=d$입니다. 이 결과를 (1)에 대입하면 $a=c$입니다.
따라서 $a=c$, $b=d$이 성립합니다.
($\Longleftarrow$)
반대로 $a=c$, $b=d$이면 $a+bi=c+di$가 성립하는 것은 당연합니다.
2 증명
특히, $a+bi=0$이면 $a+bi=0+0i$으로 생각할 수 있으므로, 복소수 상등에 의해 $a=0$, $b=0$이 성립합니다.
두 복소수 $3+(a-1)i=b+5i$가 서로 같을 때 $a$, $b$의 값을 구해 봅시다.
설명
복소수의 상등에 의해 실수부분과 허수부분을 각각 비교하면 $b=3$, $a-1=5$ 이므로 $a=6$, $b=3$입니다.
복소수의 상등은 $a$, $b$, $c$, $d$가 실수일 때 $a+bi=c+di$이면 $a=c$, $b=d$가 되는 성질입니다. 이는 $i$가 실수가 아니므로 실수부분과 허수부분이 서로 섞여 상쇄될 수 없다는 사실에서 이해할 수 있습니다. 따라서 $A+Bi=0$이면 $A=0$, $B=0$이며, 이러한 성질을 익혀 두면 복소수가 포함된 방정식을 풀거나 실수 계수 이차방정식의 허수 켤레근을 증명하는 데 활용할 수 있습니다.