이번 시간은 문자와 식의 첫 시간으로 소금물의 농도, 거리 속력 시간 상황에서 수량 사이의 관계를 문자를 사용한 식으로 나타내는 방법에 대해 살펴보고, 수학과 과학의 기본이 되는 단위 표기 방법에 대해 알아보기로 하자.
먼저 어떤 상황에서 문자를 사용하는지에 대해 정리해 보자
개요
문자를 이용해 관계식 구하기
문자와 식에서는 문자를 이용해 수식을 나타내는 방법에 대해 학습한다. 구체적으로 문자는 아래와 같은 상황에서 사용할 수 있다.
- 수량 사이의 관계 표현
예) $5\times \square =10\rightarrow 5\times x=10$ - 일반적인 식 표현
예) (일차식): $ax+b=0\;(a\neq0,\;a,b:\text{유리수 or 실수})$
먼저 수량 사이의 관계를 식으로 표현하는 방법에 대해 정리해 보자.
비율과 %
비율은 전체와 부분의 비 ($\dfrac{\text{부분}}{\text{전체}}$)를 소수로 나타낸 값을 의미한다. 이 때 항상 전체가 부분보다 크기 때문에 소수는 항상 1보다 작고 간단한 정수로 다루기 힘들다. 따라서 비율을 더 쉽게 다루기 위해 100을 곱해 소숫점을 2칸 이동시켜 표현하여 다루고, 이를 퍼센트라고 한다. 100을 곱했다는 표현으로 단위를 %로 표기한다.
- $\bbox[#ffff00]{\text{(비율)}}=\dfrac{\text{(부분)}}{\text{(전체)}}$
- $\text{(농도)}=\bbox[#ffff00]{\text{(비율)}}\times 100$(%)
위의 비율과 백분율(%)사이의 관계를 정리하면 다음과 같다.
- $\text{비율} \xrightarrow[]{\times 100}\text{백분율 %}$
- $\text{비율} \xleftarrow[]{\div 100}\text{백분율 %}$
분수와 비례식 관계
분수식에 대해 다음이 성립한다.
$\dfrac{\bbox[#ffff00]{B}}{\bbox[#dcff8c]{A}}=\dfrac{\bbox[#dcff8c]{D}}{\bbox[#ffff00]{C}}\xrightarrow[]{\;\;\;\;} \bbox[#ffff00]{B}\times\bbox[#ffff00]{C}=\bbox[#dcff8c]{A}\times\bbox[#dcff8c]{D}$
(단, $A\neq0, \;C\neq0$)
$\dfrac{B}{A}=\dfrac{D}{C}$꼴의 분수식은 대각곱으로 정리하여 $BC=AD$로 정리할 수 있음을 의미한다.
[증명]
\begin{flalign}
&\dfrac{\bbox[#ffff00]{B}}{\bbox[#dcff8c]{A}}=\dfrac{\bbox[#dcff8c]{D}}{\bbox[#ffff00]{C}}\\[1em]
&\rightarrow\;\bbox[#ffff00]{B}:\bbox[#dcff8c]{A}=\bbox[#dcff8c]{D}:\bbox[#ffff00]{C}\\[1em]
&\rightarrow\;\bbox[#dcff8c]{A}\times \bbox[#dcff8c]{D}=\bbox[#ffff00]{B}\times\bbox[#ffff00]{C}\\[1em]
&&\end{flalign}
물건을 구매하는 상황
- ($\bbox[#ffff00]{\text{물건가격}}$)$=$(1개 가격)$\times$(물건개수)
- (거스름돈)$=$(지불금액)$-$($\bbox[#ffff00]{\text{물건가격}}$)
- 정가 $x$원인 물건을 $a$% 할인가격
$(\bbox[#ffce8a]{\text{할인금액}})=(\text{정가})\times(\bbox[#dcff8c]{\text{할인율}})=x\times\bbox[#dcff8c]{\dfrac{a}{100}}\\[2em]$
$\begin{align}\therefore (\text{할인가격})&=(\text{정가})-(\bbox[#ffce8a]{\text{할인금액}})\\
&=x-\bbox[#ffce8a]{x\times\dfrac{a}{100}}
\end{align}$
소금물의 농도
소금물의 농도는 소금의 비율을 백분율%로 표현한 값이다.
- $\text{(소금의 비율)}=\dfrac{\text{(소금의 양)}}{\text{(소금물의 양)}}\cdots(1)\\[2em]$
- $\text{(소금의 비율)}=\dfrac{\text{소금물의 농도}}{100}\cdots(2)\\[2em]$
(1)과 (2)식의 결과를 종합하여 소금의 비율에 대한 등식을 세우면 다음과 같다.
- $\dfrac{\bbox[#ffff00]{\text{(소금물의 농도)}}}{\bbox[#dcff8c]{100}}=\dfrac{\bbox[#dcff8c]{\text{(소금의 양)}}}{\bbox[#ffff00]{\text{(소금물의 양)}}}\cdots(3)$
비례식을 이용하면 대각선으로 곱해 다음이 성립함을 알 수 있다.(아래의 분수와 비례식 관계 참고)
\begin{flalign}
\bbox[#dcff8c]{100}\times&\bbox[#dcff8c]{(\text{소금의 양})}=\\[1em]
& \bbox[#ffff00]{(\text{소금물의농도})}\times\bbox[#ffff00]{(\text{소금물의 양})}
&&\end{flalign}
위 식을 이용해 소금의 양을 구하면 다음과 같다.
$(\text{소금의 양})=\text{(소금물의 양)}\times\dfrac{\text{(소금물의 농도)}}{100}$
거리 속력 시간
속력은 시간당 이동한 거리를 의미한다. 따라서 시간당 100km를 달리는 자동차는 2시간에 200km를 가고, 3시간에는 300km를 이동한다. 이를 통해 이동거리를 구하는 식을 정리 하면 다음과 같다.
- $(\text{거리})=(\text{속력})\times(\text{시간})\\[2em]$
이를 이용해 속력과 시간을 구하는 식을 분수로 표현하면 아래와 같다.
- $(\text{속력})=\text{(거리)}\div\text{(시간)}=\dfrac{\text{(거리)}}{\text{(시간)}}\\[2em]$
- $(\text{시간})=\text{(거리)}\div\text{(속력)}=\dfrac{\text{(거리)}}{\text{(속력)}}\\[2em]$
자릿수 표현
백의 자리 숫자가 $a$, 십의 자리 숫자가 $b$, 일의 자리 숫자가 $c$인 세 자리 자연수를 문자로 표현하면 다음과 같다.
- $a^\text{백}b^\text{십}c^\text{일}=100\times a+10\times b+1\times c$
연속하는 정수, 자연수
연속하는 자연수나 정수에 관한 문제는 다음과 같이 미지수를 정하는 것이 편리하다.
- 연속하는 두 정수
$\bbox[#ffff00]{x,\;x+1}$ 또는 $x-1,\;x$ - 연속하는 세 정수
$x,\;x+1,\;x+2$ 또는 $\bbox[#dcff8c]{x-1,\;x,\;x+1}$ - 연속하는 두 짝수(홀수)
$\bbox[#ffff00]{x,\;x+2}$ 또는 $x-2,\;x$ - 연속하는 세 짝수(홀수)
$x,\;x+2,\;x+4$ 또는 $\bbox[#dcff8c]{x-2,\;x,\;x+2}$
음영으로 표시된 부분의 식을 주로 사용하고 특히 연두색으로 표시된 식을 사용하면 값이 $+;-$값이 상쇄되어 식을 간단히 정리 할 수 있음을 기억하자.
단위 정리
수학과 과학에서 자주 사용하는 단위를 정리하고 학습을 마무리 하도록 하자.
| 기본 | 킬로 $k$ | 밀리 $m$ | 마이크로 $\mu$ | 나노 $n$ | |
| 질량 | $g$ | $1kg=10^3g$ | $1mg=\dfrac{1}{10^3}g$ | $1\mu g=\dfrac{1}{10^6}g$ | $1ng=\dfrac{1}{10^9}g$ |
| 부피 | $l$ | $1kl=10^3l$ | $1ml=\dfrac{1}{10^3}l$ | $1\mu l=\dfrac{1}{10^6}l$ | $1ng=\dfrac{1}{10^9}l$ |
| 거리 | $m$ | $1km=10^3m$ | $1mm=\dfrac{1}{10^3}m$ | $1\mu m=\dfrac{1}{10^6}m$ | $1nm=\dfrac{1}{10^9}m$ |
이상으로 학습을 마무리 하도록 하겠습다.