수학 개념이 어렵게 느껴지는 이유 중 하나는 문제 상황을 식으로 바꾸는 과정이 익숙하지 않기 때문입니다. 특히, 비율과 백분율, 분수와 비례식, 일차식은 일상 속에서도 자주 접하지만 막상 문제로 만나면 어렵게 느껴지곤 하죠. 이 글에서는 문자를 이용해 관계식을 세우는 방법부터 일차식 활용과 관련된 비율과 백분율을 활용한 문제 해결, 소금물 농도 계산, 거리·속력·시간 공식까지 중학교 수학에서 꼭 알아야 할 내용을 하나씩 정리했습니다.
개요
문자를 이용해 관계식 구하기
문자와 식에서는 문자를 이용해 수식을 나타내는 방법에 대해 학습한다. 구체적으로 문자는 아래와 같은 상황에서 사용할 수 있습니다.
- 수량 사이의 관계 표현
예) $5\times \square =10\rightarrow 5\times x=10$ - 일반적인 식 표현
예) (일차식): $ax+b=0\;(a\neq0,\;a,b:\text{유리수 or 실수})$
일차식으로 표현되는 상황에 대해 살펴봅시다.
비율과 백분율(%)
비율
비율은 어떤수에 대한 다른 수의 비의 값을 의미하고 수학적으로 다음과 같이 정의합니다.
- $b$에 대한 $a$의 비율 : $\dfrac{a}{b}$
자주 사용되는 비율은 ‘전체에 대한 부분의 비율’이고 다음과 같습니다.
- 전체에 대한 부분의 비율 : $\dfrac{\text{부분}}{\text{전체}}$
- 1보다 작은 소수
백분율(%)
‘전체에 대한 부분의 비율’은 1보다 작은 소수로 다루기 힘들기 때문에 100을 곱해 정수로 표현하고 이를 ‘백불율’이라 합니다.
\begin{flalign} \text{(백분율)}&=\bbox[#ffff00]{\text{(전체에 대한 부분의 비율)}}\times 100\\[1em]
&=\bbox[#ffff00]{\dfrac{\text{(부분)}}{\text{(전체)}}}\times 100 &&\end{flalign}
위의 비율과 백분율(%)사이의 관계를 정리하면 다음과 같습니다.
- $\text{비율} \xrightarrow[]{\times 100}\text{백분율 %}$
- $\text{비율} \xleftarrow[]{\div 100}\text{백분율 %}$
농도(백분율로 표현)
농도는 일반적으로 백분율로 나타내고 다음과 같이 계산합니다.
\begin{flalign} \text{(농도)}&=\bbox[#ffff00]{\text{(비율)}}\times 100 \\[1em]
\text{(농도)}&=\bbox[#ffff00]{\text{(비율)}}\times 100(%)
분수와 비례식 관계
분수식에 대해 다음이 성립합니다.
$\dfrac{\bbox[#ffff00]{B}}{\bbox[#dcff8c]{A}}=\dfrac{\bbox[#dcff8c]{D}}{\bbox[#ffff00]{C}}\xrightarrow[]{\;\;\;\;} \bbox[#ffff00]{B}\times\bbox[#ffff00]{C}=\bbox[#dcff8c]{A}\times\bbox[#dcff8c]{D}$
(단, $A\neq0, \;C\neq0$)
$\dfrac{B}{A}=\dfrac{D}{C}$꼴의 분수식은 대각곱으로 정리하여 $BC=AD$로 정리할 수 있음을 의미합니다.
[증명]
\begin{flalign}
&\dfrac{\bbox[#ffff00]{B}}{\bbox[#dcff8c]{A}}=\dfrac{\bbox[#dcff8c]{D}}{\bbox[#ffff00]{C}}\\[1em]
&\rightarrow\;\bbox[#ffff00]{B}:\bbox[#dcff8c]{A}=\bbox[#dcff8c]{D}:\bbox[#ffff00]{C}\\[1em]
&\rightarrow\;\bbox[#dcff8c]{A}\times \bbox[#dcff8c]{D}=\bbox[#ffff00]{B}\times\bbox[#ffff00]{C}\\[1em]
&&\end{flalign}
비율을 적용한 일차식 활용
물건을 구매하는 상황
물건을 구매하는 상황을 수식으로 옮기는 방법에 대해 정리해 봅시다. 물건을 구매하는 상황에서도 백분율(할인율, %)이 적용되고 식은 다음과 같습니다.
- ($\bbox[#ffff00]{\text{물건가격}}$)$=$(1개 가격)$\times$(물건개수)
- (거스름돈)$=$(지불금액)$-$($\bbox[#ffff00]{\text{물건가격}}$)
- 정가 $x$원인 물건을 $a$% 할인할 때 판매가격
$(\bbox[#ffce8a]{\text{할인금액}})=(\text{정가})\times(\bbox[#dcff8c]{\text{할인율}})=x\times\bbox[#dcff8c]{\dfrac{a}{100}}\\[2em]$
$\begin{align}\therefore (\text{판매가격})&=(\text{정가})-(\bbox[#ffce8a]{\text{할인금액}})\\
&=x-\bbox[#ffce8a]{x\times\dfrac{a}{100}}
\end{align}$
소금물의 농도
소금물의 농도를 구하는 과정에서도 백분율(% 소금물 농도)이 사용되고 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
소금의 비율 : $\dfrac{\bbox[#dcff8c]{\text{(소금의 양)}}}{\bbox[#ffff00]{\text{(소금물의 양)}}}=\dfrac{\bbox[#ffff00]{\text{(소금물 농도)}}}{\bbox[#dcff8c]{100}}\cdots(3)$
비례식을 이용하면 대각선으로 곱해 다음이 변형식을 유도할 수 있습니다.
\begin{flalign}
\bbox[#dcff8c]{100}\times&\bbox[#dcff8c]{(\text{소금의 양})}=\\[1em]
& \bbox[#ffff00]{(\text{소금물 농도})}\times\bbox[#ffff00]{(\text{소금물의 양})}
&&\end{flalign}
위 식을 이용하면 다음과 같은 식을 유도할 수 있습니다.
$(\text{소금의 양})=\text{(소금물의 양)}\times\dfrac{\text{(소금물의 농도)}}{100}$
일차식 활용 문제
다음으로 계산 결과가 일차식으로 유도되는 문제상황에 대해 정리해 보기로 합시다. 이 상황은 앞으로 학습할 다음 단원에서 사용되기 때문에 반드시 심화 학습까지 학습하는 것이 좋습니다.
- 중1 : 일차방정식
- 중2
- 일차부등식
- 일차연립방정식
- 일차함수
거리 속력 시간
속력은 시간당 이동한 거리를 의미한다. 따라서 시간당 100km를 달리는 자동차는 2시간에 200km를 가고, 3시간에는 300km를 이동한다. 이를 통해 이동거리를 구하는 식을 정리 하면 다음과 같습니다.
- $(\text{거리})=(\text{속력})\times(\text{시간})\\[2em]$
이를 이용해 속력과 시간을 구하는 식을 분수로 표현하면 아래와 같다.
- $(\text{속력})=\text{(거리)}\div\text{(시간)}=\dfrac{\text{(거리)}}{\text{(시간)}}\\[2em]$
- $(\text{시간})=\text{(거리)}\div\text{(속력)}=\dfrac{\text{(거리)}}{\text{(속력)}}\\[2em]$
자릿수 표현
백의 자리 숫자가 $a$, 십의 자리 숫자가 $b$, 일의 자리 숫자가 $c$인 세 자리 자연수를 문자로 표현하면 다음과 같습니다.
- $a^\text{백}b^\text{십}c^\text{일}=100\times a+10\times b+1\times c$
연속하는 정수, 자연수
연속하는 자연수나 정수에 관한 문제는 다음과 같이 미지수를 정하는 것이 편리합니다.
- 연속하는 두 정수
$\bbox[#ffff00]{x,\;x+1}$ 또는 $x-1,\;x$ - 연속하는 세 정수
$x,\;x+1,\;x+2$ 또는 $\bbox[#dcff8c]{x-1,\;x,\;x+1}$ - 연속하는 두 짝수(홀수)
$\bbox[#ffff00]{x,\;x+2}$ 또는 $x-2,\;x$ - 연속하는 세 짝수(홀수)
$x,\;x+2,\;x+4$ 또는 $\bbox[#dcff8c]{x-2,\;x,\;x+2}$
음영으로 표시된 부분의 식을 주로 사용하고 특히 연두색으로 표시된 식을 사용하면 값이 $+;-$값이 상쇄되어 식을 간단히 정리 할 수 있음을 기억합시다.
단위 정리
수학과 과학에서 자주 사용하는 단위를 정리하고 학습을 마무리 하도록 하겠습니다.
| 기본 | 킬로 $k$ | 밀리 $m$ | 마이크로 $\mu$ | 나노 $n$ | |
| 질량 | $g$ | $1kg=10^3g$ | $1mg=\dfrac{1}{10^3}g$ | $1\mu g=\dfrac{1}{10^6}g$ | $1ng=\dfrac{1}{10^9}g$ |
| 부피 | $l$ | $1kl=10^3l$ | $1ml=\dfrac{1}{10^3}l$ | $1\mu l=\dfrac{1}{10^6}l$ | $1ng=\dfrac{1}{10^9}l$ |
| 거리 | $m$ | $1km=10^3m$ | $1mm=\dfrac{1}{10^3}m$ | $1\mu m=\dfrac{1}{10^6}m$ | $1nm=\dfrac{1}{10^9}m$ |
이상으로 학습을 마무리 하도록 하겠습다.
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