수학에서 다루는 수는 학년이 올라갈수록 점차 확장됩니다. 초등학교에서는 자연수를 배우고, 중학교에 들어와서는 정수와 유리수를 배우며 수의 범위가 넓어집니다. 그리고 중학교 3학년에서는 이러한 수들을 모두 포함하는 더 큰 개념인 실수를 학습하게 됩니다.
실수는 수직선 위에 나타낼 수 있는 모든 수를 의미하며, 실제 크기가 존재하는 수라고도 설명할 수 있습니다. 또한 실수는 유한소수 또는 무한소수로 표현할 수 있는 수라는 특징을 가지고 있습니다. 이 과정에서 우리가 이미 알고 있는 유리수와 함께, 순환하지 않는 무한소수로 나타나는 무리수라는 새로운 종류의 수가 등장하게 됩니다.
이 글에서는 실수의 의미를 정리하고, 유리수와 무리수의 차이를 소수 표현을 중심으로 이해해 보겠습니다. 또한 수 체계 속에서 자연수, 정수, 유리수, 무리수가 어떤 구조로 포함되어 있는지도 함께 정리해 보겠습니다.
실수(實數)
실수는 수직선 위에 나타낼 수 있는 수, 실제 크기가 존재하는 수라는 의미이고, 수직선 위의 모든 점은 유한소수 또는 무한소수로 표현할 수 있기 때문에 소수로 표현되는 모든 수를 의미합니다.
- 실수
- 정의1: 수직선 위에 나타낼 수 있는 실제 크기가 존재하는 모든 수
- 정의2: 유한소수 또는 무한소수로 나타낼 수 있는 수
유리수와 무리수
중학교 1학년때 수직선 위에는 유리수($\pm\dfrac{\text{자연수}}{\text{자연수}}, 0$)가 존재하고 있음을 학습하였습니다. 그리고 이어서 중학교 2학년에서는 유리수를 실제로 나누어 소수로 표현해 보고 모든 유리수는 소수로 나타낼 수 있고, 유한 소수로 나타낼 수 없는 유리수는 순환소수가 됨을 학습하였습니다.
중학교 2학년을 기준으로 소수는 다음과 같이 정리할 수 있고, 순환하지 않는 무한소수에 대한 새로운 정의가 필요함을 알 수 있습니다.
$\text{소수(실수)}\begin{cases} \bbox[#dcff8d]{\text{유한소수(유리수)}}\\[1em] \text{무한소수} \begin{cases} \bbox[#dcff8d]{\text{순환소수(유리수)}}\\[1em] \text{순환하지 않는 무한소수= 무리수} \end{cases} \end{cases}$
순환하지 않는 무한소수는 유리수가 아닌 수로 무리수라고 다음과 같이 정의 합니다.
- 유리수: $\dfrac{\text{정수}}{\text{0 아닌 정수}}$
- 무리수: 유리수가 아닌 수, 순환소수가 아닌 무한소수로 나태내어지는 수
유리수(rational number)는 비율이 있는 수라는 의미를 가지고 있지만, rational을 한글로 이성(이치)으로 번역하는 오류가 있어 현재까지 有理數(이성적인 수)로 사용되고 있습니다. 번역을 제대로 했다면 유비수가 되었을 것입니다. 용어에 대한 논의가 계속되고 있어 언젠 가는 유비수(有比數)를 교과서에 볼 수 있으리라 생각해 봅니다.
소수의 정확한 분류(참고)
중학교 2학년 때 $\dfrac{1}{3}=0.\dot{3}$으로 학습했습니다. 양변에 3을 곱하면 $1=0.\dot{9}$가 되고 이는 유한소수($1$)는 9를 이용해 순환소수로 표현할 수 있음을 의미합니다.
- 유한소수 → 뒤에 9가 무한히 반복되는 순환소수로 표현 가능
여기서 $1$을 유한소수로 생각하느냐, 순환소수로 생각하느냐 하는 문제가 발생합니다. 따라서 실수를 무한소수로 정의 하고 유한소수를 순환소수에 포함시켜 분류하는 것이 더 좋은 분류방법이 됩니다.
$\text{실수(무한소수)}\begin{cases} \bbox[#dcff8d]{\text{순환소수(유리수)}} \begin{cases} \text{유한소수 표현 가능}\\[1em] \text{유한소수 표현 불가능}\end{cases}\\[1em] \text{비순환 소수(무리수)} \end{cases}$
실수 체계
지금까지는 실수를 소수를 기준으로 분류해 보았습니다. 실수는 자연수, 정수, 유리수를 포함하는 개념이기 때문에 자연수, 정수, 유리수를 기준으로 다음과 같이 분류하여 정리해 두는 것이 좋습니다.
$\text{실수}\begin{cases} \text{유리수}\begin{cases} \text{정수} \begin{cases} \text{자연수(양의정수)}\\[1em] 0 \\[1em] \text{음의 정수}\end{cases} \\[1em]
\text{정수가 아닌 유리수}\end{cases} \\[1em]
\text{무리수}\end{cases}$