중학교에서 다루는 다항식의 연산은 일차식의 덧셈 뺄셈 곱셈 나눗셈이고, 연산의 원리는 일차식이 아닌 일반적인 다항식에서도 그대로 적용할 수 있다. 이번시간에는 일차식을 중심으로 다항식의 사칙연산에 대해 알아보기로 하자.
개요
다항식 일차식의 곱셈 나눗셈
단항식과 수의 곱셈과 나눗셈
먼저 단항식과 수를 연산하는 방법은 다음과 같다.
- $\text{(단항식)}\times \text{(수)}\rightarrow \begin{cases}\text{숫자 끼리 곱}\\[1em]
\text{숫자를 문자 앞} \end{cases}\\[3em]$
$\begin{align}(2x)\times(-3)=&2\times x\times(-3)\\[1em]
=&\left\{2\times(-3)\right\}\times x\\[1em]
=&-6x\end{align}$ - $\text{(단항식)}\div \bbox[#ffff00]{\text{(수)}} \rightarrow \text{(단항식)}\times \bbox[#ffff00]{\text{(역수)}}\\[1em]$
다항식과 수의 곱셈과 나눗셈
일차식을 예로 설명 하지만, 일반적인 다항식에서도 성립한다는 점을 기억하자.
- $\text{(다항식)}\times \text{(수)}\rightarrow \text{분배법칙}$
다항식에 분배법칙을 적용하는 과정을 더 자세히 살펴 보면 다음과 같다.
$\begin{align} (2x-1)\times(-2)=&(\bbox[#ffff00]{2x}^+\bbox[#dcff8c]{-1})\times(\bbox[#ffc5fd]{-2}) \cdots(1)\\[1em]
=&\bbox[#ffff00]{-4x}^+\bbox[#dcff8c]{+2}\cdots(2)\end{align}$
식 (1)에서 처럼 숫자를 부호까지 분리시켜 정리하고, 항 사이에 연산기호 $+$가 생략된 것으로 생각하자. (2)에서 처럼 분배 법칙의 결과를 부호까지 함께 적어 마무리 한다.
- $\text{(다항식)}\div \bbox[#ffc5fd]{\text{(수)}} \rightarrow \text{(다항식)}\times \bbox[#ffc5fd]{\text{(역수)}}\\[1em]$
나눗셈에 대해서도 예를 들어 살펴보면 다음과 같다.
$\begin{align}(3x&-6)\div \left(\bbox[#ffc5fd]{-\dfrac{3}{2}})\right)\\[1em]
&=(\bbox[#ffff00]{3x}^+\bbox[#dcff8c]{-6})\times\left(\bbox[#ffc5fd]{-\dfrac{2}{3}}\right)\cdots(1)\\[1em]
&=\bbox[#ffff00]{-2x}^+\bbox[#dcff8c]{+4} \end{align}$
나눗셈도 곱셈과 동일하게 항 별로 나누어 연산하고 사이에 덧셈이 있다고 생각한다.
다항식의 연산은 항 별로 나누어 생각하고 사이에 덧셈이 있다고 생각하면 교환, 결합 법칙이 자유롭고 계산이 편해진다.
다항식 일차식의 덧셈 뺄셈
다항식(일차식)의 덧셈과 뺄셈은 분배법칙과 밀접한 관련이 있으므로 분배법칙에 대해 간단히 정리하고 학습을 이어가자.
분배법칙
대부분 학생들이 $(a+b)\times x \rightarrow ax+bx$ 을 분배법칙으로 이해하는 경우가 많다.
하지만 분배법칙은 $(a + b)\times x \bbox[#ffff00]{=} ax + bx$을 의미한다.
- $(a+b)\times x \xrightarrow[]{\text{분배법칙}} ax+bx$
- $(a+b)\times x \xleftarrow[]{\text{분배법칙}} ax+bx$
참고로 분배법칙은 뺄셈에서도 성립하고 다음과 같이 표현하기도 한다.
- $(a \pm b)\times x = ax \pm bx$(복호동순)
복호동순 : 중복된 부호는 동일한 순서
동류항
$3x-2x$에 분배법칙을 적용하면$(3-2)x=x$이다. 이 처럼 문자부분이 동일하면 분배법칙을 이용해 덧셈과 뺄셈을 계산할 수 있다. 이렇게 다항식에서 문자 부분이 동일한 항을 ‘동류항’이라고 한다.
- 동류항 : 문자의 $\bbox[#ffff00]{\text{종류}},\;\bbox[#dcff8c]{\text{개수}}$가 같은 항
상수항은 문자가 0개 곱해진 항으로 취급하고,상수항은 서로 동류항이다.
| 동류항 여부 | |
|---|---|
| $3x\;,\;2z$ | $\times$ |
| $\dfrac{a}{2}\;,\;3a$ | $\bigcirc$ |
| $\dfrac{3}{a}\;,\;2a$ | $\times \;\;\left( \because \dfrac{3}{a}: \text{ 항}\times \right) $ |
| $2x^2\;,\;-x$ | $\times$ |
| $-\dfrac{1}{2}\;,\;4$ | $\bigcirc$ 상수항은 서로 동류항 |
다항식 일차식의 덧셈과 뺄셈
다항식에 괄호가 없으면 동류항 끼리 분배법칙으로 정리한다. 분배법칙을 적용하는 방법은 다음과 같다.
- $3\bbox[#ffff00]{x}-2\bbox[#ffff00]{x}=(3-2)\bbox[#ffff00]{x}=x$
두 다항식 $2x-4\; -3x+6$의 합을 계산하는 요령에 대해 간단히 정리하고 다음으로 넘어가자.
- $\begin{align}2x&-4-3x+6\\[1em]
&=\bbox[#ffff00]{2x}^+\bbox[#dcff8c]{-4}^+\bbox[#ffff00]{-3x}^+\bbox[#dcff8c]{+6}\cdots(1)\\[1em]
&=\{\bbox[#ffff00]{2x}^+\bbox[#ffff00]{-3x}\}^+\{\bbox[#dcff8c]{-4}^+\bbox[#dcff8c]{+6}\}\cdots(2)\\[1em]
&=\bbox[#ffff00]{-x}^+\bbox[#dcff8c]{+2}\end{align}$
식(1)에서 처럼 항은 부호까지 고려하여 생각하고 항 사이를 덧셈으로 연결하여 생각하자. 덧셈은 교환과 결합법칙이 성립하므로 (2)와 같이 정리 할 수 있다. 마지막으로 동류항을 계산하여 정리하면 된다.
$-2(x+1)+(-x+2)$와 같이 괄호가 있는 다항식의 연산은 다음과 같은 과정으로 간단히 할 수 있다.
- 괄호 풀기 : 분배법칙
- 동류항 계산 : 분배법칙 (공통인수로 묶기)
$\begin{align}-2&(x+1)+(-x+3)\\[1em]
&=\bbox[#ffc5fd]{-2}(\bbox[#ffff00]{x}^+\bbox[#dcff8c]{+1})^+\bbox[#ffc5fd]{+1}(\bbox[#ffff00]{-x}^+\bbox[#dcff8c]{+3})\cdots(1)\\[1em]
&=\bbox[#ffff00]{-2x}^+\bbox[#dcff8c]{-2}^+\bbox[#ffff00]{-x}^+\bbox[#dcff8c]{+3}\cdots(2)\\[1em]
&=\{\bbox[#ffff00]{-2x}^+\bbox[#ffff00]{-x}\}^+\{\bbox[#dcff8c]{-2}^+\bbox[#dcff8c]{+3}\}\cdots(3)\\[1em]
&=\bbox[#ffff00]{-3x}^+\bbox[#dcff8c]{+1} \end{align}$
괄호가 있는 다항식을 정리할 때는 부호까지 분배법칙을 적용하고 항이 구분되도록 (2)와 같이 정리한다. 부호까지 하나의 항으로 구분짓고 교환법칙과 결합법칙을 적용(3)하고 식을 정리하면 된다.
위의 학습한 내용은 일차식에 대하여 정리하였지만, 일반적인 다항식에서도 동일하게 적용할 수 있음을 다시 한 번 기억하자.
이상으로 다항식, 일차식의 덧셈 뺄셈 곱셈 나눗셈에 대한 학습을 마무리 하도록 하겠습니다.