수학에서 등호는 단순히 두 식이 같다는 것을 나타내는 기호처럼 보이지만, 항등식과 방정식에서는 그 의미와 사용 방법에 차이가 있습니다. 특히 항등식은 문자에 어떤 값을 대입해도 항상 참이 되는 등식이고, 방정식은 특정한 값에서만 참이 되는 등식이므로 두 개념을 정확히 구분해야 합니다. 이번 글에서는 등식의 기본 용어부터 항등식과 방정식의 차이, 해와 방정식을 푼다는 의미, 그리고 등호를 올바르게 사용하는 방법까지 차례로 정리해 보겠습니다.
등식의 정의와 용어
등식의 성질에 대해 학습하기 전에 등식의 뜻과 종류에 대해 살펴보면 다음과 같습니다.
- 등식 : 등호를 사용해 나타낸 식, 등식에서 등호가 성립할 때 참 성립하지 않을 때 거짓이라고 합니다.
- 항등식 : 미지수에 관계없이 항상 등호가 $\bbox[#ffff00]{\text{참}}$이 되는 등식
- 방정식 : 미지수에 따라 등호가 $\bbox[#ffff00]{\text{참}}$ 또는 $\bbox[#94feff]{\text{거짓}}$이 되는 등식
등식에서 자주 등장하는 좌변, 우변, 양변에 대해 정리하면 다음과 같습니다.
- 좌변: 등식에서 등호의 왼쪽 부분
- 우변: 등식에서 등호의 오른쪽 부분
- 양변: 등식에서 좌변과 우변을 통틀어 양변
등식에는 항등식과 방정식이 있고 둘을 구별하는 것은 수학을 학습하는데 매우 중요합니다.
항등식과 방정식
앞서서 등식은 항등식과 방정식으로 구분됨을 정리하였습니다. 이제 항등식과 방정식에 대해 더 자세히 정리해 보도록 하겠습니다.
1. 항등식
중학교 에서 자주 등장하는 미지수 $x$에 대한 항등식에 대해 정리해 보도록 하겠습니다.
- $x$에 대한 항등식 : 미지수$x$에 어떤 수를 대입해도 항상 참이 되는 등식
- 항등식과 관련된 표현: $x$에 관계없이, 모든 $x$에 대하여, 항상 등식이 성립한다.
간단한 예를 통해 정리해 보겠습니다.
예
등식 $3(x-2)+4=3x-2$는 에서 좌변을 연산법칙을 이용해 정리한 결과 입니다. 따라서 $x$에 어떤 값을 넣어도 등식이 성립합니다.
- $3(x-2)+4\xrightarrow[=]{\text{분배법칙}} 3x-6+4\xrightarrow[=]{\text{결합법칙}}3x-2$
항등식에서 사용되는 등호는 결합, 교환, 분배법칙을 통해 식을 정리하는 과정에 사용되는 등호와 같음을 알 수 있습니다.
항등식의 성질
$ax+b=cx+d$ ($a,\ b,\ c,\ d$는 주어진 상수)에 대하여 다음과 같은 결론 을 내릴 수 있습니다.
- $a=c,\ b=d$이면 $ax+b=cx+d$는 $x$에 대한 항등식 ($x$값에 어떤 값이 와도 등호가 성립)
- $ax+b=cx+d$는 $x$에 대한 항등식 이면 $a=c,\ b=d$이다.
1에 대한 내용은 정의에 의해 당연한 결과 입니다. 1번과 달리 2번의 경우 조금 더 신중히 생각할 필요가 있습니다. 이 부분은 앞으로 학습할 방정식에 대한 기본적인 이해가 필요하므로 처음 학습하는 학생은 나중에 다시 정리해 주길 바랍니다.
2증명
$ax+b=cx+d$는 $x$에 대한 항등식 이므로 $x=0$, $x=1$을 대입해도 등호가 성립합니다. 따라서 등식의 성질을 적용해
- $x=0$을 대입하면 등호가 성립하므로 $b=d$
- $ax+b=cx+d$에 $x=1$을 대입하면 $a+b=c+d$이고 양변에 $-b$를 더하면 $a=c$
따라서 $a=c,\ b=d$이고, 이는 항등식이면 동류항의 계수가 같음을 의미합니다.
이제 방정식에 대해 정리해 보도록 하겠습니다.
2. 방정식
방정식도 항등식과 마찬가지로 중학교에서 자주 사용하는 미지수$x$에 대한 방정식을 중심으로 방정식에 대해 정리해 보겠습니다.
- $x$에 대한 방정식: $x$의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식
- 방정식의 해 (근): 방정식을 참이 되게 하는 미지수의 값
- 방정식을 푼다: 방정식의 해(근)를 모두 구하는것
간단한 예를 통해 방정식에 대해 살펴보겠습니다.
예시
$3x+4=10$에서 사용된 등호는 연산 법칙으로 정리해서 얻어진 결과가 아닙니다. 따라서 항등식이 될 수 없습니다. 좌변은 문자가 있지만 우변에는 문자가 없기 때문에 좌변은 문자에 따라 값이 변하고 따라서 특정한 값에서만 등호가 성립함을 알 수 있습니다.
- $x=2$일 때 $(좌변)=3 \times 2 +4=10$, 따라서 (좌변)$=$(우변)이고, 참
- $x=4$일 때 $(좌변)=3 \times 4 +4=16$, 따라서 (좌변)$\ne$(우변)이고, 거짓
따라서 등식 $3x+4=10$은 $x=2$일 때, 참이므로 해는 $x=2$입니다.
방정식을 푼다
다음 예를 통해 ‘방정식을 푼다’라는 용어를 중학교 2학년 기준으로 정리해 보겠습니다.
예제
연필과 지우개를 각 각 $x. y$개 구매한 후에 전체 개수를 세어 보니 3개 였다. 연필과 지우개를 한 개 이상 구매 하였다고 할 때 $x, \;y$를 구하는 방정식을 세우고 방정식을 풀어라.
설명(중2)
연필의 개수를 $x$, 지우개 개수를 $y$라고 두고 주어진 상황을 방정식으로 나타내면 다음과 같다.
$x+y=3 \; (\text{조건: }x\geq1, \; y\geq1)$
이제 위의 $\bbox[#ffc5fd]{\text{방정식을 풀자}}$ .
위의 방정식을 풀면 “$x=1\; \text{일 때 }y=2$” 가 해(근) 임을 알 수 있다. 그렇다면 $x=1,\; y=2$가 정답일까? 결론부터 말하면 정답이 아니다.
$\bbox[#ffc5fd]{\text{방정식을 푼다}}$”라는 의미는 해를 $\bbox[#ffc5fd]{\text{모두}}$구하는 것을 의미하므로 아래와 같이 $\bbox[#ffc5fd]{\text{모든 해}}$를 구해야 정답이다.
$x+y=3 \begin{cases} x=1\; \text{일 때 }y=2\\[1em]
x=2\; \text{일 때 }y=1\end{cases}$
따라서 방정식을 풀 때는 해를 하나면 구하는 것이 아니고, 모든 해를 구해야 합니다.
방정식의 등호
방정식과 같이 대부분의 상황에서 $\bbox[#94feff]{\text{거짓}}$이 될 수 있는 식에 등호를 사용하는 것이 이상하다고 생각할 수 있습니다. 따라서 항등식의 등호와 달리 방정식의 등호는 정확하게 사용할 필요가 있습니다.
- 방정식을 사용하는 경우
- 주어진 수식 또는 상황에서만 방정식을 세운다.
- 등식의 성질로 방정식을 변형하여 세울 수 있다.
- 주의사항
- 주어지지 않은 방정식은 사용하지 않는다.
- 방정식의 등호는 (식)=(식)=(식) 과 같이 연결해서 사용하지 않는다.
방정식은 거짓을 포함한 수식이기 때문에 항등식(연산법칙)처럼 자유롭게 사용해선 안됩니다. 꼭 위의 규칙을 잘 지켜서 사용하길 바랍니다.
등호사용 예시
항등식과 방정식에서 등호를 사용하는 방법이 다르고 이를 반드시 지켜야 한다. 아래의 예를 통해 등호 사용법을 정확히 이해하도록 하자.
$3(x-2)+4\bbox[#94feff]{=}7$이라는 방정식을 간단히 하는 과정을 통해 등호의 사용에 대해 학습해 봅시다.
- 잘못된 사용: $3(x-2)+4=3x-6+4=3x-2=7$
- 바른 사용: $3(x-2)+4=3x-6+4=3x-2$ 이므로 $3x-2=7$
잘못된 등호사용
처음 식에서 항등식의 등호($\bbox[#ffff00]{=}$)와 방정식의 등호 $\bbox[#94feff]{=}$를 따로 표시하면 아래와 같습니다.
- $3(x-2)+4\bbox[#ffff00]{=} 3x-6+4\bbox[#ffff00]{=}3x-2\bbox[#94feff]{=}7$
처음 사용된 등호는 연산법칙을 적용한 것이므로 항등식의 등호이고, 마지막 등호는 일차식과 상수를 연결하는 방정식의 등호 입니다. 방정식의 등호사용법에 따라서 방정식은 따로 등식을 작성해야 정확한 표현입니다.
바른 등호사용
$3(x-2)+4\bbox[#ffff00]{=} 3x-6+4\bbox[#ffff00]{=}3x-2$
$3x-2\bbox[#94feff]{=}7$
등식은 항등식과 방정식으로 나뉘며, 두 식은 모두 등호를 사용하지만 그 의미는 서로 다릅니다. 항등식에서는 연산법칙에 따라 식을 정리하는 과정에서 등호를 자유롭게 사용할 수 있지만, 방정식의 등호는 주어진 조건이나 등식의 성질에 따라 정확하게 사용해야 합니다. 또한 방정식을 푼다는 것은 해 하나를 찾는 것이 아니라 주어진 조건을 만족하는 모든 해를 구하는 것을 의미합니다. 이러한 차이를 이해해 두면 이후 항등식의 성질, 미정계수법, 일차방정식과 연립방정식을 학습할 때 식의 의미를 더욱 정확하게 해석할 수 있습니다.