다항식 용어 정의 항 계수 차수 일차식 일반형

이번 시간에는 다항식과 관련된 용어인 항, 계수, 차수, 일차식과 일차식의 일반형에 대해 정리해 보기로 하자.

다항식 용어 정의

다항식은 ‘많을다(多)’와 ‘항’과 ‘식’의 합성어 이다. 용어 자체로 보면 항이 많은 식으로 오해 할 수 있다. 하지만 다항식의 뜻은 다음과 같다.

• 다항식: $\bbox[#ffff00]{\text{항}}$으로만 이루어진 $\bbox[#ffff00]{\text{식}}$
  (주의) 항이 한개만 있어도 다항식이다.
• 단항식: 항 한 개로 이루어진 식

따라서 항이 하나인 단항식도 ‘다항식’이라고 할 수 있다.

항

다항식과 단항식에서 언급했던 항이란 무엇인지에 대해 정리해 보자.

• 항: $\bbox[#ffff00]{\text{수 또는 문자}}$의 $\bbox[#ffc5fd]{\text{곱}}$ 으로만 이루어진 식
  • $\bbox[#ffff00]{\text{수 또는 문자}}$의 $\bbox[#ffc5fd]{\text{곱}}$
    • (수)$\times$(수) : $3=3\times1\;\rightarrow \; \bbox[#dcff8c]{\text{상수항}}$
    • (수)$\times$(문자) : $(-2)\times a=-2a$
    • (문자)$\times$(문자) : $x\times x\times y=x^2y$

항의 계수

• 항의 계수 : 문자에 곱해진 수
  • $3x$의 계수 : $3$
  • 상수항의 계수 : 자신

상수항에는 문자가 없지만, 문자가 0개 곱해진 것으로 간주한다.

항의 차수

• 항의 차수 : 문자가 곱해진 개수
  • $4x^2$의 차수 : 이차
  • 상수항의 차수 : 영차

마찬 가지로 상수항은 문자가 없지만, 문자가 0개 곱해진 것으로 간주한다.

용어 적용

	$a^2$	$3x$	$-5$	$\dfrac{3}{x}$	$\dfrac{x}{2}$	$\dfrac{5}{2}$
항	$\bigcirc$	$\bigcirc$	$\bigcirc$	$\times$	$\bigcirc$	$\bigcirc$
계수	$1$	$3$	$-5$	$\bbox[#ffff00]{3}$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{2}{5}$
차수	이차	일차	영차	$\bbox[#ffff00]{-1}$차	일차	영차

$\bbox[#ffff00]{\text{수 또는 문자}}$의 $\bbox[#ffc5fd]{\text{곱}}$으로 이루어져야 항이다. 이는 곱셈으로 나타낼 수 없는 식은 항이 아니라는 의미이다.

• $\dfrac{3}{x}=3\div x= 3\times\dfrac{1}{x}$

따라서 위의 식은 항이 아니다. 반면에 아래와 같은 식들은 다음의 이유로 항이 될 수 있다.

• $-5=(-5)\times 1\\[1em]$
• $\dfrac{x}{2}=x\div2=x\times \dfrac{1}{2}\\[1em]$
• $\dfrac{5}{2}=5\div2=5\times \dfrac{1}{2}$

다항식 차수 일차식 일반형

다항식의 차수와 일차식에 대해 정리하기 전에 다시 다항식의 정의에 대해 복습하고 가자.

• 다항식: 전부 $\bbox[#ffff00]{\text{다}}$ $\bbox[#ffff00]{\text{항}}$으로만 이루어진 $\bbox[#ffff00]{\text{식}}$

다항식의 차수에 대해 여섯 글자로 간단히 정리하면 다음과 같다.

• 다항식의 차수: 항의 최대 차수
• $\bbox[#ffff00]{\text{일차}}\bbox[#dcff8c]{\text{식}}\begin{cases}\bbox[#ffff00]{\text{일차}}:\text{ 다항식의 차수}\\[1em]
  \bbox[#dcff8c]{\text{식}}: \text{ 다항식}\end{cases}$

다음의 예를 통해 다항식의 차수를 더 정확히 표현해 보기로 하자.

• 문자가 하나 인 경우
  • $-4x+1$: 일차식
  • $8y$: 일차식
  • $0\times x+3$: 영차식
• 문자가 둘 이상인 경우
  • $2xy^2-3y+4\begin{cases} \text{문자 }x\text{에 대한 일차식}\\[1em]
    \text{문자 }y\text{에 대한 이차식}\end{cases}$

다항식의 차수는 문자에 대해 정확히 서술하는 것이 원칙이다. 위의 예시 처럼 문자가 하나인 경우 문자에 대한 언급을 생략 할 수 있다.

문자 $x$에 대한 일차식 일반형

문자는 정해져 있지 않는 미지수를 표현할 때 사용하고, 다양한 식의 일반적인 표현을 위해 사용하기도 한다. 문자를 이용해 ‘문자 $x$에 대한 일차식의 일반형’에 대해 살펴 보기로 하자.

문자 $\bbox[#ffff00]{x}$에 대한 일차식의 일반형

$ax+b\;\;(a,\;b : \text{상수},\;a\neq0)$

위 식의 문자에 대한 용어를 정리하면 다음과 같다.

• $\bbox[#ffff00]{x}:\text{ 미지수}$
• $\bbox[#dcff8c]{a,\;b}: \text{ 상수(=유리수)} \begin{cases}a:\text{ 일차항 계수}\\[1em] b:\text{ 상수항}\end{cases}$

$x$는 정해지지 않은 미지의 수를 대신하는 문자라는 의미로 미지수라고 한다. 반면에$a,\;b$는 다양한 상황을 일반적으로 표현하기 위해 수를 대신하는 문자이다.

실제 수식에서 $a,\;b$는 $\bbox[#dcff8c]{\text{항상 수}}$로 취급 하기 때문에 $\bbox[#dcff8c]{\text{상수}}$라고 한다. 상수의 범위는 중학교 1학년에서 유리수, 중학교 3학년에서 실수, 고등학교 1학년에서는 복소수 까지 확장하여 생각할 수 있다.

이상으로 다항식에 대한 기본적인 용어정리를 마무리 하도록 하겠습니다.