경우의 수 공식 (순서가 있는 경우, 없는 경우)

경우의 수를 공부할 때 학생들이 가장 많이 하는 질문은 “순서가 있을 때와 순서가 없을 때 경우의 수를 어떻게 구하나요?”, “배열과 선택은 왜 계산이 달라지나요?” 입니다.

특히 중학생들은 순서가 중요한지 아닌지, 뽑는 사람들의 자격이 같은지 다른지, 중복을 제거해야 하는 상황인지 판단하는 데서 어려움을 겪곤 합니다.

그래서 이번 글에서는 순서가 있는 배열과 없는 배열의 경우의 수 공식부터 이웃 배열, 숫자 배열, 대표 뽑기 유형까지 시험에서 바로 사용할 수 있도록 핵심만 정리했습니다. 글을 읽고 나면 조건이 달라질 때 계산이 어떻게 변하는지 흐름이 명확해져 경우의 수 문제가 한결 쉽게 느껴질 것입니다.

경우의 수 계산 방법

경우의 수는 다음과 같이 계산할 수 있음을 정리했습니다. (경우의 수 계산) 아래의 빨간 박스 부분의 계산을 이용해 순서가 있는 배열, 순서가 없는 선택의 경우의 수에 대해 정리해 보도록 하겠습니다.

경우의 수 공식1. 순서있는 배열 (순열)

단순 배열 유형

$n$명을 한 줄로 세우는 경우의 수

• $\bbox[#ffff00]{\boxed{\strut\quad}},\bbox[#dcff8d]{\boxed{\strut\quad}},\cdots,\bbox[#94efef]{\boxed{\strut\quad}},\bbox[#fcd2f8]{\boxed{\strut\quad}}$ $\Rightarrow \bbox[#ffff00]{\boxed{\strut n}} \times \bbox[#dcff8d]{\boxed{\strut (n-1)}} \times \cdots \times \bbox[#94efef]{\boxed{\strut 2}} \times \bbox[#fcd2f8]{\boxed{\strut 1}}$

1. $n$개의 박스에 한 명씩 배열
2. 첫번째 박스부터 한 명 씩 연달아 넣게 되므로 곱을 이용한 경우의 수 계산

예제. $A,\ B,\ C,\ D$ 4명을 한 줄로 세우는 경우의 수?

풀이

$\bbox[#ffff00]{\boxed{\strut 4}} \times \bbox[#dcff8d]{\boxed{\strut 3}} \times \bbox[#94efef]{\boxed{\strut 2}} \times \bbox[#fcd2f8]{\boxed{\strut 1}}$
$4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

$n$명 중에서 2명을 뽑아 한 줄로 세우는 경우의 수

• $\bbox[#ffff00]{\boxed{\strut\quad}},\bbox[#dcff8d]{\boxed{\strut\quad}}$ $\Rightarrow \bbox[#ffff00]{\boxed{\strut n}} \times \bbox[#dcff8d]{\boxed{\strut (n-1)}}$

예제. A, B, C, D 4명 중 2명을 뽑아 한 줄로 세우는 경우의 수?

풀이

$\bbox[#ffff00]{\boxed{\strut4}},\bbox[#dcff8d]{\boxed{\strut3}}$
$4 \times 3 = 12$

$n$명 중에서 3명을 뽑아 한 줄로 세우는 경우의 수

• $\bbox[#ffff00]{\boxed{\strut\quad}},\bbox[#dcff8d]{\boxed{\strut\quad}},\bbox[#94efef]{\boxed{\strut\quad}}$ $\Rightarrow \bbox[#ffff00]{\boxed{\strut n}}\times \bbox[#dcff8d]{\boxed{\strut (n-1)}}\times\bbox[#94efef]{\boxed{\strut (n-2)}}$

예제. A, B, C, D 4명 중 3명을 뽑아 한 줄로 세우는 경우의 수?

풀이

$\bbox[#ffff00]{\boxed{\strut 4}}\times \bbox[#dcff8d]{\boxed{\strut 3}}\times\bbox[#94efef]{\boxed{\strut 2}}$
$4 \times 3 \times 2 = 24$

$n$명 중에서 $r$명을 뽑아 한 줄로 세우는 경우의 수 ($n \ge r$)

• $n \times (n-1) \times \cdots \times [n-(r-1)]$

이웃하게 배열하기

이웃하는 것을 하나로 묶어 한 줄로 세우는 경우의 수를 구한다. 묶음 안에서 자리를 바꾸는 경우의 수를 곱하여 계산할 수 있습니다.

• (이웃하는 것을 하나로 묶어 한 줄로 세우는 경우의 수) $\times$ (묶음 안에서 자리를 바꾸는 경우의 수)

예제. A, B, C, D 4명을 한 줄로 세울 때, A, B가 이웃하여 서는 경우의 수

풀이

A, B를 한 묶음으로 생각하여 $\bbox[#ffff00]{AB},\ C,\ D$를 한줄로 세우는 경우의 수는

• $\boxed{\strut 3} \times \boxed{\strut 2} \times \boxed{\strut 1}=6$

이어서 $\bbox[#ffff00]{AB}$를 배열하는 경우의 수를 생각하면 각각의 경우에 대해 A, B가 자리를 바꾸는 경우는 (A, B), (B, A)의 2가지이므로 총 경우의 수는 $6 \times 2 = 12$

숫자를 배열하는 경우의 수

0을 포함하지 않는 경우

0을 포함하지 않으면 단순히 순서대로 배열하는 경우의 수를 구하면 됩니다.

0이 아닌 서로 다른 한 자리 숫자가 각각 적힌 $n$장의 카드 중에서
① 2장을 뽑아 만들 수 있는 두 자리 자연수의 개수 $\Rightarrow n \times (n-1)$
② 3장을 뽑아 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수 $\Rightarrow n \times (n-1) \times (n-2)$

예제.1부터 7까지의 숫자가 적힌 7장의 카드 중 2장을 뽑아 만들 수 있는 두 자리 자연수의 개수?

풀이

첫 번째 자리에 모든 수(7개)가 올 수 있고, 두 번째 자리에는 첫 자리에 오지 않은 모든 수(6개)가 올 수 있으므로,

• $\bbox[#ffff00]{\boxed{\strut7}},\ \bbox[#dcff8d]{\boxed{\strut6}}$
  $\bbox[#ffff00]{7} \times \bbox[#dcff8d]{6} = 42$

0을 포함하는 경우

$0$을 포함한 $n$개의 수로 자연수를 만들 때, $0$은 맨 앞자리에 올 수 없으므로
맨 앞자리에 올 수 있는 숫자는 $(n-\bbox[#ffff00]{1})$개 입니다.

$\bbox[#ffff00]{0}$을 포함한 서로 다른 한 자리 숫자가 각각 적힌 $n$장의 카드 중에서

1. 2장을 뽑아 만들 수 있는 두 자리 자연수의 개수 $\Rightarrow (n-\bbox[#ffff00]{1}) \times (n-1)$
2. 3장을 뽑아 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수 $\Rightarrow (n-\bbox[#ffff00]{1}) \times (n-1) \times (n-2)$

예제. 0부터 6까지의 숫자가 적힌 7장의 카드 중에서 2장을 뽑아 만들 수 있는 두 자리 자연수의 개수

풀이

첫 자리에 올 수 있는 수는 1~6이고, 두 번째 자리는 첫 자리에 오지 않은 수가 전부 올 수 있으므로 6가지 수가 올 수 있습니다.

• $\bbox[#ffff00]{\boxed{\strut 7-1 }},\ \bbox[#dcff8d]{\boxed{\strut 6}}$
  $\bbox[#ffff00]{(7-1)} \times \bbox[#dcff8d]{6} = 36$

자격이 다른 대표를 뽑는 경우

(1) 자격이 다른 대표를 뽑는 경우 — 뽑는 순서에 따라 자격 부여
① $n$명 중에서 자격이 다른 대표 2명을 뽑는 경우의 수 $\Rightarrow n \times (n-1)$
② $n$명 중에서 자격이 다른 대표 3명을 뽑는 경우의 수 $\Rightarrow n \times (n-1) \times (n-2)$

예제. A, B, C 3명 중 회장 1명, 부회장 1명을 뽑는 경우의 수

풀이

자격이 다른 대표를 뽑는 경우는 자격에 따라 순위를 주고 줄을 세우면 됩니다. 따라서 일렬로 세우는 경우의 수와 같습니다.

• $\bbox[#ffff00]{\boxed{\strut 3}}\times \bbox[#dcff8d]{\boxed{\strut 2}}$
  $3 \times 2 = 6$

경우의 수 공식2. 순서 없는 선택 (조합)

자격이 같은 대표를 뽑는 경우

자격이 같은 대표를 뽑는 경우의 수를 먼저 구하기 어렵습니다. 순서가 있다면, 연달아 뽑으면서 경우의 수를 곱하여 계산하고, 같은 구성원끼리 순서만 섞인 중복을 제거해 주는 방법을 사용합니다.

1. $n$명 중에서 자격이 같은 대표 2명을 뽑는 경우의 수
   • $\Rightarrow \dfrac{n \times (n-1)}{\bbox[#ffff00]{2}}$
2. $n$명 중에서 자격이 같은 대표 3명을 뽑는 경우의 수
   • $\Rightarrow \dfrac{n \times (n-1) \times (n-2)}{\bbox[#ffff00]{3 \times 2 \times 1}}$

순서만 섞여서 $\bbox[#ffff00]{\text{중복된 경우의 수}}$를 계산하는 과정에서도, 구성원의 순서를 달리하여 배열하는 경우의 수를 이용합니다.

주목할 점은 순서가 있는 배열의 경우의 수를 분모와 분자에 각각 적용하여 순서가 없는 경우의 수를 구할 수 있다는 점입니다.

예제. A, B, C 3명 중 대표 $\bbox[#ffff00]{2}$명을 뽑는 경우의 수

풀이

$\dfrac{\text{(순서대로 뽑는 경우의 수)}}{\text{(대표끼리 섞인 중복 횟수)}}$$=\dfrac{\boxed{\strut 3}\times \boxed{\strut 2}}{\bbox[#ffff00]{2}}$