곱셈 공식은 단순히 식을 전개하는 도구에 그치지 않습니다. $(a+b)^2$, $(a-b)^2$, $(a+b)(a-b)$ 같은 곱셈공식을 잘 응용하면 복잡해 보이는 수의 계산도 암산에 가깝게 처리할 수 있고, $\sqrt{2}$나 $\sqrt{3}$이 포함된 무리수 식도 깔끔하게 정리할 수 있습니다.
예를 들어 $103^2$을 계산할 때 직접 곱하는 대신 $(100+3)^2$으로 바꾸면 훨씬 빠르게 답을 구할 수 있고, $102 \times 98$은 합차공식을 이용해 $100^2 – 2^2 = 9996$으로 순식간에 해결됩니다.
이 글에서는 곱셈 공식을 실제 계산에 어떻게 적용하는지를 중심으로, 근호를 포함한 식의 전개, 분모의 유리화, 그리고 공식을 변형하여 $a^2+b^2$이나 $a^2+\dfrac{1}{a^2}$ 같은 값을 구하는 방법까지 단계별로 살펴봅니다.
목차
곱셈공식 응용
곱셈 공식을 이용한 계산
- 제곱공식을 이용한 숫자 계산
- $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
- $103^2=(100+3)^2$$=100^2+2\times100\times3+3^2$$=10000+600+9=10609$
- 합차공식을 이용한 숫자 계산
- $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
- $102\times98$$=(100+2)(100-2)$$=100^2-2^2$$=10000-4$$=9996$
근호를 포함한 식의 계산
- 근호를 포함한 식의 계산
- 곱셈 공식을 이용하여 전개한 후 근호 안의 수가 같은 것끼리 덧셈과 뺄셈을 한다.
- $(\sqrt{3}+1)^2$$=(\sqrt{3})^2+2\times\sqrt{3}\times1+1^2$$=3+2\sqrt{3}+1$$=4+2\sqrt{3}$
- $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+3)$$=(\sqrt{2})^2+(1+3)\sqrt{2}+1\times3$$=2+4\sqrt{2}+3$$=5+4\sqrt{2}$
- 분모의 유리화(합차공식 이용)
- $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ 을 이용
- $\dfrac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} $$= \dfrac{c(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$$= \dfrac{c(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2}$$= \dfrac{c(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}$
(단, $a>0$, $b>0$, $a\neq b$)
$\dfrac{1}{3-\sqrt{2}} $$= \dfrac{3+\sqrt{2}}{(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})} $$= \dfrac{3+\sqrt{2}}{3^2-(\sqrt{2})^2} $$= \dfrac{3+\sqrt{2}}{9-2} $$= \dfrac{3+\sqrt{2}}{7}$
곱셈 공식의 변형
- 제곱공식 변형
- $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$\Rightarrow a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
- $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $$\Rightarrow a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$
- $(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$ $(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$
- $b \Rightarrow \dfrac{1}{a}$ 을 대입, 곱이 1이 되는 경우
- $a^2+\dfrac{1}{a^2}$$=\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2-2$
$a^2+\dfrac{1}{a^2}$$=\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2+2$ - $\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2$$=\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2+4$
$\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2$$=\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2-4$
- $a^2+\dfrac{1}{a^2}$$=\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2-2$