절댓값과 수의 대소관계

이번 시간에는 수직선을 이용해 절댓값과 수의 대소관계에 대해 정리해 보자.

수직선

먼저 정수를 수직선에 표현하는 방법에 대해 알아보자. 수직선은 오른쪽으로 갈수록 커지고 왼쪽으로 갈수록 적어진다. 자연수 1부터 하나씩 감소하는 수 $0,-1,-2,-3,\dots$를 순서대로 왼쪽에 나열하면 정수를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

수직선에서 0을 기준으로 오른쪽에 있는 수를 양수, 왼쪽에 있는 수를 음수라고 한다. 그리고 0은 양수도 음수도 아니다. 이제 유리수를 수직선에 표현하는 방법에 대하여 살펴보자.

간단한 유리수$-\dfrac{1}{2},-\dfrac{7}{3}$을 수직선에 표현하는 방법에 대하여 살펴보자. 양의유리수 $\dfrac{1}{2},\dfrac{7}{3}$과 크기는 같고 정확히 반대되는 양을 가지고 있는 값이므로 아래와 같이 ‘$0$’에서 같은 거리에 표현 할 수 있다.

수직선에서 두 음의유리수 $-\dfrac{1}{2},-\dfrac{7}{3}$의 위치를 비교해 크기를 비교하면 $-\dfrac{1}{2}>-\dfrac{7}{3}$임을 알 수 있다.

이를 통해 두 음수를 비교할 때 원점에서 떨어진 거리가 멀면 더 작다는 사실을 알 수 있다. 학습을 잠깐 멈추고, ‘절댓값’이란 용어를 도입하고 수의 대소관계를 다시 정리해 보기로 하자.

절댓값과 수의 대소관계

절댓값

절댓값의 정의

• 절댓값 : 수직선 위의 어떤 수를 나타내는 점과 $0$(원점)사이의 거리
• 기호 : $|\;\square\;|$
• 예시 : $|2|=2,\;|-3|=3,\;\left|-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}$
  절댓값은 부호를 제거한 수이다.

절댓값의 의미를 생각할 때는 거리를 생각하고, 계산할 때는 부호를 제거한 수로 계산하자.

절댓값의 성질

• 원점에서 멀어질수록 절댓값이 커지고
  원점에 가까워질수록 절댓값이 작아진다.
• 절댓값은 0 또는 양수이다.
  절댓값이 0인 수는 0 뿐이다.
• 절댓값이 $\bbox[#ffff00]{\text{양수}}$인 수: $+\bbox[#ffff00]{\text{양수}},-\bbox[#ffff00]{\text{양수}}$
  [예시] $|\square|=3$이면 $\square=-3 \;or +3$

절댓값의 범위표현

$a>0$에 대하여 다음이 성립한다.

절댓값 식	풀이
$|x|<a$	$-a<x<a$
$|x| \leq a$	$-a \leq x \leq a$
$|x|>a$	$x<-a\;\text{or}\;x>a$
$|x| \geq a$	$x \leq -a\;\text{or}\; x \geq a$
$|x| = a$	$x = -a\;\text{or}\;x=a$

수의 대소관계

수직선과 절댓값을 이용해 수의 대소관계를 정리해 보기로 하자.

• 수직선: 오른쪽으로 갈수록 커지고, 왼쪽으로 갈수록 작아진다.
• $\bbox[#94feff]{\text{음수}}<0<\bbox[#ffff00]{\text{양수}}$
• $\bbox[#ffff00]{\text{두 양수}}$: 절댓값이 클수록 크다.
• $\bbox[#94feff]{\text{두 음수}}$: 절댓값이 클수록 작다.

$x>2$	$x<2$	$x\geq2$	$x\leq2$
$\square>2$	$\square<2$	$\square\geq2$	$\square\leq2$
$\square$는 $2$보다 크다.	$\square$는 $2$보다 작다.	$\square$는 $2$보다 크거나 같다.	$\square$는 $2$보다 작거나 같다.
$\square$는 $2$ 초과	$\square$는 $2$ 미만	$\square$는 $2$ 이상	$\square$는 $2$ 이하
		$\square$는 $2$보다 작지 않다.	$\square$는 $2$보다 크지 않다.

이상으로 절댓값과 수의 대소관계에 대해 정리해 보았다.