이차부등식과 이차함수의 관계를 이용하면, 그래프가 $x$축보다 위에 있는지 아래에 있는지를 이용해 해를 해석할 수 있습니다. 또한 두 함수의 대소 관계나 곱의 부호 역시 그래프의 위치와 함숫값의 부호를 이용하여 판단할 수 있습니다. 이번 글에서는 이차부등식과 이차함수의 관계를 정리하고, 그래프를 이용해 부등식의 해를 구하는 방법을 예제를 통해 살펴보겠습니다.
이차부등식과 이차함수
부등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하였을 때 아래와 같이 좌변이 $x$에 대한 이차식이 되는 부등식을 $x$에 대한 이차부등식이라 합니다.
- , $ax^2+bx+c>0$, $ax^2+bx+c<0$, $ax^2+bx+c\ge0$, $ax^2+bx+c\le0$ ($a\ne0$, $a$, $b$, $c$는 상수)
위와 같이 정리한 식에서 좌변의 $x$에 대한 이차식을 $f(x)$로 두면, 이차부등식의 해는 $f(x)$의 부호를 물어보는 문제이므로, 대응하는 이차함수의 그래프와 연결하여 생각할 수 있습니다.
이차부등식의 풀이
이차함수를 이용해 이차부등식을 풀이하는 방법은 다음과 같습니다.
- 이차부등식 $ax^2+bx+c>0$의 해
이차함수 $y=ax^2+bx+c$에서 $y>0$인 $x$의 값의 범위, 즉 $y=ax^2+bx+c$의 그래프가 $x$축보다 위쪽에 있는 부분의 $x$의 값의 범위 - 이차부등식 $ax^2+bx+c<0$의 해
이차함수 $y=ax^2+bx+c$에서 $y<0$인 $x$의 값의 범위, 즉 $y=ax^2+bx+c$의 그래프가 $x$축보다 아래쪽에 있는 부분의 $x$의 값의 범위
이차부등식 $ax^2+bx+c\ge0$, $ax^2+bx+c\le0$의 해는 이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프가 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표까지 포함됩니다.
참고: 이차함수 $y=f(x)$, $f(x)=ax^2+bx+c$의 그래프와 $x$축과 교점의 $x$좌표는 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 실근과 같습니다.
설명
$y=f(x)$, $f(x)=ax+bx+c$인 이차함수와 서로 다른 두 실근을 $\alpha$, $\beta$ ($\alpha<\beta$)를 갖는 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$에 대하여,
$ax^2+bx+c>0$의 해의 범위는 $y=f(x)$가 양수인 $x$의 범위, 즉 $\bbox[#7da38b]{y>0}$인 $x$의 범위입니다.
$ax^2+bx+c<0$의 해의 범위는 $y=f(x)$가 음수인 $x$의 범위, 즉 $\bbox[#999fa4]{y<0}$인 $x$의 범위입니다.
이차함수 $y=ax^2+bx+c$ $(a>0)의 그래프가 $x$축과 $x=-1$, $x=3$에서 만날 때, 다음 이차부등식의 해를 구해봅시다.
- $f(x)\ge0$, $f(x)<0$
풀이
- 부등식 $f(x)\ge0$의 해는 $y=f(x)$의 그래프가 $x$축보다 위쪽에 있거나 만나는 부분의 $x$의 값의 범위이므로 $x\le-1$ 또는 $x\ge3$
- 부등식 $f(x)<0$의 해는 $y=f(x)$의 그래프가 $x$축보다 아래쪽에 있는 부분의 $x$의 값의 범위이므로 $-1<x<3$
부등식과 함수
좌변과 우변이 $0$이 아닌 일반적인 부등식에서 좌변과 우변의 함수의 그래프를 이용해 부등식의 해를 다음과 같이 구할 수 있습니다.
- 부등식 $f(x)>g(x)$의 해
$y=f(x)$의 그래프가 $y=g(x)$의 그래프보다 위쪽에 있는 부분의 $x$값 범위 - 부등식 $f(x)<g(x)$의 해
$y=f(x)$의 그래프가 $y=g(x)$의 그래프보다 아래쪽에 있는 부분의 $x$값 범위
부등식 $f(x) \ge g(x)$, $f(x) \le g(x)$의 해는 두 함수 $f(x)$, $g(x)$의 교점의 $x$좌표까지 포함됩니다.
두 이차함수 $y=f(x)$, $y=g(x)$의 그래프가 다음과 같을 때, 아래의 부등식의 해를 구해봅시다.
- $f(x) \le g(x)$
- $f(x)g(x)>0$
설명
- $f(x)\le g(x)$의 해는 $f(x)$가 $g(x)$보다 아래쪽에 있는 부분의 $x$값 범위를 구하고, 교점의 $x$값을 포함시키면 됩니다. 따라서 $0\le x\le 3$.
- $f(x)g(x)>0$인 경우는 $f(x)$, $g(x)$의 함숫값의 부호가 같은 구간을 찾으면 됩니다. 따라서 $2<x<3$.
이차부등식의 해는 대응하는 이차함수의 그래프와 $x$축의 위치 관계를 이용하면 쉽게 해석할 수 있습니다. $f(x)>0$과 $f(x)<0$은 그래프가 각각 $x$축의 위쪽과 아래쪽에 있는 구간을 찾는 문제이고, 등호가 포함된 경우에는 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표도 해에 포함됩니다. 또한 $f(x)>g(x)$, $f(x)<g(x)$와 같은 부등식은 두 함수의 그래프의 위아래 관계를 이용할 수 있고, $f(x)g(x)>0$과 같은 식은 두 함숫값의 부호가 같은 구간을 찾으면 됩니다. 따라서 이차부등식을 풀 때에는 먼저 관련 함수의 그래프와 교점, 그리고 각 구간에서의 함수값의 부호를 확인하는 것이 중요합니다.