완전제곱식의 조건

완전제곱식은 다항식의 제곱으로 된 식으로, 인수분해와 이차방정식 풀이에서 핵심적인 역할을 합니다. 특히 이차방정식을 풀 때 완전제곱식의 형태로 변형하는 과정이 자주 등장하기 때문에, 어떤 조건에서 완전제곱식이 되는지를 정확히 이해하는 것이 중요합니다.

이 글에서는 $x^2 \pm bx + c$ 꼴에서 완전제곱식이 되기 위한 $c$와 $b$의 조건을 살펴보고, $x^2$의 계수가 1이 아닌 일반적인 이차식 $ax^2+bx+c$까지 확장하여 완전제곱식의 조건 $b^2=4ac$에 대해 정리해 보겠습니다.

완전제곱식

완전제곱식: 다항식의 제곱으로 된 식 또는 이 식에 상수를 곱한 식
1. 일반적 형태
  - $(a+b)^2=\bbox[#ffff00]{\boxed{\strut\ a^2\ }} + 2\ \bbox[#dcff8d]{\boxed{\strut\ a\ }}\bbox[#ffff00]{\boxed{\strut\ b\ }}+\bbox[#dcff8d]{\boxed{\strut\ b^2\ }}$
  - $(a-b)^2=\bbox[#ffff00]{\boxed{\strut\ a^2\ }} – 2\ \bbox[#dcff8d]{\boxed{\strut\ a\ }}\bbox[#ffff00]{\boxed{\strut\ b\ }}+\bbox[#dcff8d]{\boxed{\strut\ b^2\ }}$
2. 상수를 곱한 형태: $2(a+b)^2$, $3(x+2)^2$

완전제곱식의 조건

완전제곱식을 만드는 과정은 방정식에서 자주 사용하는 조건이기 때문에 $x$에 대한 일차식에서 완전제곱식의 조건에 대해 정리해 보도록 하겠습니다.

방정식 형태
1. $(x+a)^2=\bbox[#ffff00]{\boxed{\strut\ x^2\ }} + 2\ \bbox[#dcff8d]{\boxed{\strut\ a\ }}\bbox[#ffff00]{\boxed{\strut\ x\ }}+\bbox[#dcff8d]{\boxed{\strut\ a^2\ }}$
2. $(x-a)^2=\bbox[#ffff00]{\boxed{\strut\ x^2\ }} – 2\ \bbox[#dcff8d]{\boxed{\strut\ a\ }}\bbox[#ffff00]{\boxed{\strut\ x\ }}+\bbox[#dcff8d]{\boxed{\strut\ a^2\ }}$

위의 내용을 정리하면 다음과 같은 구조를 이용해 완전제곱식을 만들 수 있음을 알 수 있습니다.

$\bbox[#ffff00]{\boxed{\strut\ x^2\ }} {\color{red}\pm} \ 2\ \bbox[#dcff8d]{\boxed{\strut\ a\ }}\bbox[#ffff00]{\boxed{\strut\ x\ }}+\bbox[#dcff8d]{\boxed{\strut\ a^2\ }}$ $\Rightarrow (x\ {\color{red}\pm}\ a)^2$

$x^2 \pm bx + c$이 완전제곱식이 될 $c$의 조건

$x^2 \pm bx + c$는 $\bbox[#ffff00]{\boxed{\strut\ x^2\ }} \pm 2 \bbox[#dcff8d]{\boxed{\ \dfrac{b}{2}\ }}\bbox[#ffff00]{\boxed{\strut\ x\ }}+\bbox[#dcff8d]{\boxed{\strut\ c\ }}$ 으로 변형할 수 있고 완전제곱식이 될 $c$의 조건과 그에따른 완전제곱식은 다음과 같습니다.
- $c$의 조건: $c=\left(\dfrac{b}{2}\right)^2$
- 완전제곱식: $\left(x+\dfrac{b}{2}\right)^2$

$x^2 \pm bx + c$이 완전제곱식이 될 $b$의 조건

$c$의 조건이 $c=\left(\dfrac{b}{2}\right)^2$이므로 $\left(\dfrac{b}{2}\right)$는 제곱해서 $c$가되는 수이므로 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

$\left(\dfrac{b}{2}\right)=\pm\sqrt{c}$, 따라서 $b=\pm2\sqrt{c}$

$ax^2 + bx + c$의 완전제곱식의 조건

이제 $x^2$의 계수가 1이 아닌 일반적인 이차식의 경우도 살펴봅니다. $a \neq 0$인 이차식 $ax^2 + bx + c$에 이차항의 계수가 1인 완전제곱식의 조건을 적용하려면 $a$로 묶어 변형해야 합니다.

$ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a}\right)$

상수를 제외한 $\left(x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a}\right)$부분은 $x^2$의 계수가 1인 이차식이므로 위의 사실을 적용하면, 완전제곱식이 될 조건은 다음과 같습니다.

$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a}$ $=\bbox[#ffff00]{\boxed{\strut\ x^2\ }} \pm 2\bbox[#dcff8d]{\boxed{\strut\ \dfrac{b}{2a}\ }}\bbox[#ffff00]{\boxed{\strut\ x\ }}+\bbox[#dcff8d]{\boxed{\strut\ \dfrac{c}{a}\ }}$
계수가 1인 이차식에 대해 완전제곱식 조건 적용
$\dfrac{c}{a}=\left( \dfrac{b}{2a} \right)^2$

위의 식을 정리하면 완전제곱식의 조건을 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

$ax^2 + bx + c$이 완전제곱식이 될 조건: $b^2=4ac$

이 조건은 이항을 통해 $b^2-4ac=0$로 정리할 수 있고 $b^2-4ac$는 앞으로 근의 공식의 루트안의 값과 동일한 값이 됩니다.

조건 정리

이차식	조건	완전제곱식
$x^2 \pm bx + c$	$c = \left(\dfrac{b}{2}\right)^2$	$\left(x \pm \dfrac{b}{2}\right)^2$
$ax^2 \pm bx + c$	$b^2 = 4ac$	$a\!\left(x \pm \dfrac{b}{2a}\right)^2$