연립일차방정식을 풀 때, 단순히 계산만으로 접근하는 것보다 직선의 방정식으로 이해하면 훨씬 직관적이고 명확합니다.
이 글에서는 연립일차방정식을 두 직선의 교점 문제로 바꾸어 해석하고, 기울기와 y절편을 활용해 해의 개수를 그래프로 판정하는 방법을 자세히 살펴봅니다. 또한, 축에 평행한 직선이 포함된 경우의 예외 상황까지 함께 다루어 헷갈릴 수 있는 개념을 명확히 정리했습니다.
개념을 시각적으로 익히고 싶거나, 연립방정식을 그래프와 연결 지어 풀고 싶은 분이라면 이 글이 큰 도움이 될 것입니다. 지금부터 차근차근 함께 살펴보세요!
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목차
일차함수와 직선의 방정식(복습)
일차함수 위치관계 판정
두 일차함수

- 한 점에서 만날 조건:
(기울기) - 평행한 조건:
(기울기), ( 절편) - 일치할 조건:
(기울기), ( 절편)
직선의 방정식
일차방정식 아님 ( | ||
미지수가 2개인 일차방정식 일차함수 |
일차방정식과 직선의 방정식
일차방정식
- 직선의 방정식:
방정식 - 관계식:
( )
연립방정식과 일차함수
다음과 같은 미지수가 2개인 연립일차방정식에 대하여
(단,
연립방정식의 해
연립일차방정식
- 가감법, 대입법을 이용한 연립방정식의 해
- 두 일차함의 교점 좌표
예제
연립방정식
- 가감법
- 일차함수의 그래프
가감법을 이용한 풀이
따라서 연립방정식의 해는
일차함수의 그래프를 이용한 풀이
일 때 절편: 일 때 절편: 을 지나는 직선
일 때 절편: 일 때 절편: 을 지나는 직선
위의 사실을 이용해 그래프를 그리면 다음과 같습니다.

연립방정식의 해는 그래프의 교점을 의미하고 따라서 해는
연립일차방정식의 해의 개수
연립일차방정식
- 미지수가 2개인 일차방정식 = 일차함수
- 미지수가 1개인 방정식 = 축과 평행한 직선
이제 각 경우에 대해 연립일차방정식의 해의 개수를 판정하는 방법에 대해 살펴봅시다.
미지수가 2개인 연립일차방정식
(두 일차함수)
미지수가 2개인 연립일차방정식
(단,
- 일차함수의 기울기,
절편 판정 - 연립방정식을 이용한 판정
일차함수를 이용한 해의 개수 판정
일차함수를 이용한 해의 개수를 판정하는 방법은 다음과 같습니다.
- 해가 하나일 조건
- 한 점에서 만난다:
가 다르다. (기울기)
- 한 점에서 만난다:
- 해가 없을 조건
- 평행하다:
가 같고, 이 다르다. (기울기) ( 절편)
- 평행하다:
- 해가 무수히 많을 조건
- 일치한다:
가 같고, 이 같다. (기울기) ( 절편)
- 일치한다:
판정법 변형
비율 변형식을 이용하면 다음과 같이 계수비를 변형할 수 있습니다.
- 기울기 조건:
절편 조건:
연립방정식을 이용한 해의 개수 판정
판정법을 적용하면 다음과 같이 식을 변형할 수 있습니다.
- 해가 하나일 조건:
- 해가 없을 조건:
- 해가 무수히 많을 조건:
미지수가 2개인 연립일차방정식의 해의 개수를 판정하는 방법과 같음을 알 수 있습니다. 연립방정식의 해의 개수를 판정하는 방법에 대해서는 다음 링크를 통해 확인하실 수 있습니다.
그 밖의 경우
(축과 평행한 직선이 포함)
축과 평행한 직선이 포함된 연립방정식은 다음과 같이 그래프를 이용해 해의 개수를 판단할 수 있습니다.

이면 꼴이고 해가 한개 이면 꼴이고 이면 해가 없다. 이면 해가 무수히 많다.
이면 꼴: 해가 한개
이면 꼴이고 해가 한개 이면 꼴이고 이면 해가 없다. 이면 해가 무수히 많다.
이면 꼴: 해가 한개