직선의 방정식을 이용한 연립방정식 풀이

연립일차방정식을 풀 때, 단순히 계산만으로 접근하는 것보다 직선의 방정식으로 이해하면 훨씬 직관적이고 명확합니다.

이 글에서는 연립일차방정식을 두 직선의 교점 문제로 바꾸어 해석하고, 기울기와 y절편을 활용해 해의 개수를 그래프로 판정하는 방법을 자세히 살펴봅니다. 또한, 축에 평행한 직선이 포함된 경우의 예외 상황까지 함께 다루어 헷갈릴 수 있는 개념을 명확히 정리했습니다.

개념을 시각적으로 익히고 싶거나, 연립방정식을 그래프와 연결 지어 풀고 싶은 분이라면 이 글이 큰 도움이 될 것입니다. 지금부터 차근차근 함께 살펴보세요!

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목차

일차함수와 직선의 방정식(복습)

일차함수 위치관계 판정

두 일차함수 y=ax+b,y=ax+b의 위치관계를 관계식을 이용해 판정하는 방법은 다음과 같습니다.

  1. 한 점에서 만날 조건: aa (기울기)
  2. 평행한 조건: a=a(기울기), bb (y 절편)
  3. 일치할 조건: a=a(기울기), b=b (y 절편)

직선의 방정식

ax+by+c=0꼴의 일차방정식은 다음과 같이 분류하고 a,b가 동시에 0인 경우는 일차식이 아니므로 이를 제외하면 좌표평면의 모든 직선을 표현할 수 있음을 학습하였습니다.

a=0a0
b=00x+0b+c=0
일차방정식 아님
(제외)
ax+0y+c=0
x=(상수)
y축과 평행한 직선
b00x+by+c=0
y=(상수)
x축과 평행한 직선
ax+by+c=0
미지수가 2개인 일차방정식
y=abxcb
일차함수

일차방정식과 직선의 방정식

일차방정식 ax+by+c=0은 차수가 1이기 때문에 a,b가 동시에 0이 될 수 없습니다. 따라서 일차방정식 ax+by+c=0은 직선의방정식과 같고, 다음과 같이 해석할 수 있음을 학습하였습니다.

  • 직선의 방정식: 일차방정식 ax+by+c=0
  • 관계식: ax+by+c=0 (a0 또는 b0)

연립방정식과 일차함수

다음과 같은 미지수가 2개인 연립일차방정식에 대하여
{ax+by+c=0ax+by+c=0
(단, a0,b0,a0,b0)

,은 일차함수로도 생각할 수 있고, 따라서 함수의 그래프를 이용해 연립방정식의 해를 구할 수 있습니다.

연립방정식의 해

연립일차방정식 {ax+by+c=0ax+by+c=0의 해는 두 가지 방법으로 생각할 수 있습니다.

  1. 가감법, 대입법을 이용한 연립방정식의 해
  2. 두 일차함의 교점 좌표 (,◻)

예제

연립방정식 {2x+y=4xy=1을 다음 두 가지 방법으로 풀어봅시다.

  1. 가감법
  2. 일차함수의 그래프
가감법을 이용한 풀이

2x+y=4+)xy=13x=3

따라서 연립방정식의 해는 x=1,y=2입니다.

일차함수의 그래프를 이용한 풀이

2x+y=4xy=1의 그래프를 그리는 과정은 다음과 같습니다.

  1. 2x+y=4y=2x+4
    • x=0일 때 y절편: 4
    • y=0일 때 x절편: 2
    • (0,4),(2,0)을 지나는 직선
  2. xy=1y=x+1
    • x=0일 때 y절편: 1
    • y=0일 때 x절편: 1
    • (0,1),(1,0)을 지나는 직선

위의 사실을 이용해 그래프를 그리면 다음과 같습니다.

연립방정식의 해는 그래프의 교점을 의미하고 따라서 해는 (1,2)입니다.

연립일차방정식의 해의 개수

연립일차방정식{ax+by+c=0ax+by+c=0의 각 방정식 (,)은 다음과 같이 두 가지로 해석할 수 있습니다.

  1. 미지수가 2개인 일차방정식 = 일차함수
  2. 미지수가 1개인 방정식 = 축과 평행한 직선

이제 각 경우에 대해 연립일차방정식의 해의 개수를 판정하는 방법에 대해 살펴봅시다.

미지수가 2개인 연립일차방정식
(두 일차함수)

미지수가 2개인 연립일차방정식
{ax+by+c=0ax+by+c=0
(단, a0,b0,a0,b0)의 해의 개수는 다음과 같은 두 가지 방법으로 가능합니다.

  1. 일차함수의 기울기, y절편 판정
  2. 연립방정식을 이용한 판정

일차함수를 이용한 해의 개수 판정

일차함수를 이용한 해의 개수를 판정하는 방법은 다음과 같습니다.
{y=abxcby=abxcb

  1. 해가 하나일 조건
    • 한 점에서 만난다: 기울기가 다르다.
    • abab(기울기)
  2. 해가 없을 조건
    • 평행하다: 기울기가 같고, y절편이 다르다.
    • ab=ab(기울기) cbcb (y절편)
  3. 해가 무수히 많을 조건
    • 일치한다: 기울기가 같고, y절편이 같다.
    • ab=ab(기울기) cb=cb(y절편)

판정법 변형

비율 변형식을 이용하면 다음과 같이 계수비를 변형할 수 있습니다.

  • 기울기 조건: ab=ab aa=bb
  • y절편 조건: cb=cb bb=cc

연립방정식을 이용한 해의 개수 판정

판정법을 적용하면 다음과 같이 식을 변형할 수 있습니다.

  1. 해가 하나일 조건: aabb
  2. 해가 없을 조건: aa=bbcc
  3. 해가 무수히 많을 조건: aa=bb=cc

미지수가 2개인 연립일차방정식의 해의 개수를 판정하는 방법과 같음을 알 수 있습니다. 연립방정식의 해의 개수를 판정하는 방법에 대해서는 다음 링크를 통해 확인하실 수 있습니다.

그 밖의 경우
(축과 평행한 직선이 포함)

축과 평행한 직선이 포함된 연립방정식은 다음과 같이 그래프를 이용해 해의 개수를 판단할 수 있습니다.

x축과 평행한 직선이 포함된 연립일차방정식{ax+by+c=0y=2에서 ax+by+c=0의 해의 개수를 a,b의 조건에 따라 정리하면 다음과 같습니다.

  1. a0,b0이면 일차함수꼴이고 해가 한개
  2. a=0이면 y=(상수)꼴이고
    • (상수)2이면 해가 없다.
    • (상수)=2이면 해가 무수히 많다.
  3. b=0이면 x=(상수)꼴: 해가 한개

y축과 평행한 직선이 포함된 연립일차방정식{ax+by+c=0x=1에서 ax+by+c=0의 해의 개수를 a,b의 조건에 따라 정리하면 다음과 같습니다.

  1. a0,b0이면 일차함수꼴이고 해가 한개
  2. b=0이면 x=(상수)꼴이고
    • (상수)1이면 해가 없다.
    • (상수)=1이면 해가 무수히 많다.
  3. a=0이면 y=(상수)꼴: 해가 한개