원의 성질을 공부하다 보면 반드시 만나게 되는 개념이 바로 현의 성질입니다. 원 위의 두 점을 이은 선분인 현은 원의 중심과 특별한 관계를 맺고 있는데요, 이번 시간에는 원의 중심에서 현에 내린 수선이 어떤 성질을 가지는지, 그리고 현의 길이와 중심으로부터의 거리 사이에는 어떤 관계가 성립하는지 차근차근 살펴보겠습니다. 직각삼각형의 합동을 활용한 증명 과정까지 함께 정리해두면 관련 문제를 훨씬 수월하게 풀어낼 수 있을 거예요.
현의 수직이등분선
- 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분한다.
$\overline{AB} \perp \overline{OM}$이면 $\overline{AM} = \overline{BM}$ - 원에서 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지난다.
증명1
원 O의 중심에서 현 AB에 내린 수선의 발을 M이라 하면
- $\angle OMA = \angle OMB = 90^\circ$
- $\overline{OA} = \overline{OB}$ (반지름)
- $\overline{OM}$은 공통
이므로 $\triangle OAM \equiv \triangle OBM$ (RHS 합동)이고 $\therefore \overline{AM} = \overline{BM}$
즉, 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분한다.
증명2
원 O에서 현 AB의 수직이등분선을 $l$에 대하여
- 점 $O$는 두 점 A, B로부터 같은 거리에 있다.
- $\triangle AOB$는 이등변 삼각형이고 밑변 $\overline{AB}$의 수직이등분선은 꼭지각 $O$를 지난다.
다른방법
원 $O$위의 점 $C$에 대해
- 점 $O$는 $\triangle ABC$의 외심 이다
- $O$는 $\overline{AB}$의 수직이등분선 위에 있다.
직각삼각형의 합동조건과 이등변삼각형의 성질에 대해 정리하고 넘어가도록 합시다.
참고
- 직각삼각형의 합동 조건
- RHA 합동: 빗변(H)의 길이와 한 예각(A)의 크기가 각각 같을 때
- RHS 합동: 빗변(H)의 길이와 다른 한 변(S)의 길이가 각각 같을 때
- 이등변삼각형의 성질
- 꼭지각의 중선, 꼭지각의 이등분선, 꼭지각의 수선, 밑변의 수직이등분선이 일치
위의 정확한 내용은 이등변삼각형의 성질과 조건을 참고해 주세요.
예제
원 O에서 현 $\overline{AB} = 14$이고, 중심 O에서 $\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 M에 대하여 $\overline{AM} = x$값을 구하여라.
풀이
원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로
$\overline{AM} = \overline{BM} = \dfrac{1}{2}\overline{AB} = \dfrac{1}{2} \times 14 = 7$ $\therefore x = 7$
원 O에서 $\overline{OA} = 15$이고, 중심 O에서 현 AB에 내린 수선의 발 M에 대하여 $\overline{OM} = 9$일 때 $\overline{AB} = x$값을 구하여라.
풀이
직각삼각형 OAM에 피타고라스 정리를 적용하면,
- $\overline{AM} = \sqrt{15^2 – 9^2} = \sqrt{144} = 12$
원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로
- $\overline{AB} = 2\overline{AM} = 2 \times 12 = 24$ $\therefore x = 24$
현의 수직이등분선이 갖는 성질을 이해했다면, 이제 현의 길이 자체에 주목해볼 차례입니다. 중심에서 떨어진 거리와 현의 길이 사이에는 어떤 대응 관계가 있을까요?
현의 길이에 대한 정리
- 한 원에서 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같다.
⇒ $\overline{OM} = \overline{ON}$이면 $\overline{AB} = \overline{CD}$ - 한 원에서 길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터 같은 거리에 있다.
⇒ $\overline{AB} = \overline{CD}$이면 $\overline{OM} = \overline{ON}$
증명1
원 O의 중심에서 같은 거리에 있는 두 현 AB, CD에 내린 수선의 발을 각각 M, N이라 하면 $\triangle OAM$과 $\triangle OCN$에 대하여 다음과 같은 이유로 $\triangle OAM \equiv \triangle OCN$ (RHS 합동) 입니다.
- $\angle OMA = \angle ONC = 90^\circ$
- $\overline{OA} = \overline{OC}$(반지름)
- $\overline{OM} = \overline{ON}$
따라서 $\overline{AM} = \overline{CN}$ 이고, 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로
- $\overline{AB} = 2\overline{AM}$, $\overline{CD} = 2\overline{CN}$이므로 $\overline{AB} = \overline{CD}$
즉, 한 원에서 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같습니다.
증명2
원 O의 중심에서 길이가 같은 두 현 AB, CD에 내린 수선의 발을 각각 M, N이라 하면 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로
- $\overline{AM} = \dfrac{1}{2}\overline{AB}$, $\overline{CN} = \dfrac{1}{2}\overline{CD}$
그런데 $\overline{AB} = \overline{CD}$이므로 $\overline{AM} = \overline{CN}$이고, 다음과 같은 이유로 $\triangle OAM \equiv \triangle OCN$ RHS 합동입니다.
- $\angle OMA = \angle ONC = 90^\circ$,
- $\overline{OA} = \overline{OC}$(반지름),
- $\overline{AM} = \overline{CN}$
따라서 $\overline{OM} = \overline{ON}$ 즉, 한 원에서 길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터 같은 거리에 있습니다.
참고
- 원의 중심으로부터 두 변까지의 거리가 같은 삼각형
$\overline{AB} = \overline{AC}$이므로 $\triangle ABC$는 이등변삼각형이다. - 원의 중심으로부터 세 변까지의 거리가 같은 삼각형
⇒ $\overline{AB} = \overline{BC} = \overline{CA}$이므로 $\triangle ABC$는 정삼각형이다.
예제
다음 원 O에서 $x$의 값을 구하시오.
풀이
한 원에서 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로 $\overline{AB} = \overline{CD}$이다.
다음 원 O에서 $x$의 값을 구하시오.
풀이
한 원에서 길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터 같은 거리에 있으므로 $\overline{OM} = \overline{ON}$이다.
지금까지 원의 현이 가지는 두 가지 핵심 성질, 즉 수직이등분선의 성질과 현의 길이에 관한 성질을 살펴보았습니다. 두 성질 모두 직각삼각형의 합동(RHS 합동)을 이용해 증명한다는 공통점이 있으니, 증명 과정의 논리 흐름을 함께 기억해두면 좋습니다. 예제를 통해 개념을 적용하는 연습까지 마쳤다면, 이제 관련 문제들을 직접 풀어보면서 자신의 것으로 만들어보시기 바랍니다.