이차방정식은 식의 형태에 따라 여러 가지 방법으로 풀 수 있습니다. 인수분해가 가능한 경우에는 인수분해를 이용하면 가장 간단하고, 완전제곱식의 형태로 나타낼 수 있으면 제곱근의 성질을 이용해 풀이할 수 있습니다. 또한 인수분해가 어렵거나 일반적인 형태의 이차방정식에서는 근의 공식을 이용하면 해를 구할 수 있습니다. 이번 글에서는 이차방정식을 인수분해, 제곱근, 근의 공식으로 풀이하는 방법을 비교하고, 각 방법이 어떤 형태의 방정식에서 효과적인지 살펴보도록 하겠습니다.
| 풀이방법 | 장점 | 단점 |
|---|---|---|
| 인수분해 풀이 | 인수분해 가능할 때 쉬움 | 인수분해 안되는 경우 적용 불가 |
| 제곱근 풀이 | 완전제곱식이 주어질 때 쉬움 | 완전제곱식 변형 필요 |
| 근의 공식 풀이 | 모든 풀이 가능 | 다른 풀이에 비해 복잡 |
이차방정식 풀이방법
1. 인수분해
$(\text{이차식})=0$으로 주어진 이차방정식에서 (이차식) 부분이 적당한 일차식 $A, B$의 곱으로 인수분해 가능하면, $A\times B=0$로 표현 할 수 있고 다음 사실을 이용해 방정식을 해결 할 수 있습니다.
- $A\times B=0 \; \Leftrightarrow \; A=0 \; or \; B=0$
$2x^2+5x-3=0$를 인수분해를 이용해 풀어봅시다.
설명
좌변을 인수분해를 이용해 정리하면 다음과 같이 이차방정식을 풀 수 있습니다.
$\begin{array}{c@{\quad}c@{\quad}cc}
2x^2&\boxed{+5x}&-3&\\
2x&&-1& \longrightarrow \boxed{-x} \\
x&&+3& \longrightarrow \boxed{+6x}\\ \end{array}$
$(2x-1)(x+3)=0$이고,
$2x-1=0 \; or \; x+3=0$
따라서 $x=\dfrac{1}{2} \; or \; x=-3$
2. 제곱근
이번에는 완전제곱식과 상수로 표현된 이차방정식을 풀이하는 방법에 대해 정리해 보도록 하겠습니다. 완전제곱식과 상수꼴은 다음과 같이 제곱근 풀이를 통해 쉽게 해결할 수 있습니다.
- $\boxed{\text{완전제곱식}}= \boxed{\text{상수}}$꼴
- $ax^2=(상수)$
- $a(x-p)^2=(상수)$
다음 이차방정식을 제곱근을 이용해 풀이해 봅시다.
- $x^2=3$
- $3x^2=5$
- $(x-2)^2=3$
- $2(x-3)^2=3$
설명
- $x^2=3$이면, $x=\pm \sqrt{3}$
- $3x^2=5$이면 $x^2=\dfrac{5}{3}$이고, $x=\pm \sqrt{\dfrac{5}{3}}$
- $(x-2)^2=3$이면 $\boxed{x-2}=\pm\sqrt{3}$이고, $x=2\pm \sqrt{3}$
- $2(x-3)^2=3$이면 $\boxed{x-3}=\pm\sqrt{\dfrac{3}{2}}$이고, $x=3\pm\sqrt{\dfrac{3}{2}}$
$a(x+p)^2=q$의 해
일반적인 $a(x+p)^2=q$의 해는 어떻게 결정되는지 살펴봅시다.
$a(x+p)^2=q$의 해
$(x+p)^2=\boxed{\dfrac{q}{a}}$로 변형할 수 있고, $\boxed{\dfrac{q}{a}}=k$라고 할 때 $k$ 의 부호에 따라서 해는 다음과 같이 결정됩니다.
- $k>0$이면 $x=p \pm\sqrt{k}$ (서로 다른 두 실근)
- $k=0$이면 $x=p$ (서로 같은 두 실근, 중근)
- $k<0$일때
- $x$가 실수 범위: $k<0$ 이면 $k$의 제곱근은 없고 해가 없다.(중학교)
- $x$가 복소수 범위: $x=p \pm\sqrt{k}$ 서로 다른 두 허근을 갖는다.(고등학교)
3. 근의공식을 이용한 풀이
인수분해 여부와 관계없이 일반형으로 주어진 이차방정식 $ax^2+bx+c=0 \; (a\neq0)$ 을 풀이할 수 있는 방법은 근의공식을 이용하는 것입니다.
$ax^2+bx+c=0$, $a\neq0$인 이차방정식의 근은 다음과 같습니다.
- $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
이제 위의 근의 공식을 유도하는 과정은 내용이 길어지기 때문에 다시 다루도록 하겠습니다.
이차방정식 풀이 정리
이차방정식이 주어지면 아래와 같은 두 형태로 변형 시켜야 합니다.
- $ax^2+bx+c=0$
- $\boxed{\text{완전제곱식}}= \boxed{\text{상수}}$
그리고 나서 다음과 같은 방식으로 가장 쉬운 풀이 방법을 선택하여 해결하면 됩니다.
$\begin{cases} ax^2+bx+c=0 \begin{cases} \text{인수분해 시도} \\[1em] \text{인수분해x}: \text{근의공식} \end{cases} \\[1em] \boxed{\text{완전제곱식}}= \boxed{\text{상수}}: \text{제곱근 풀이} \end{cases}$
이차방정식의 풀이는 하나의 방법만 사용하는 것이 아니라 주어진 식의 형태에 따라 가장 적절한 방법을 선택하는 것이 중요합니다. $ax^2+bx+c=0$의 꼴에서는 먼저 인수분해가 가능한지 확인하고, 인수분해가 어렵다면 근의 공식을 이용할 수 있습니다. 반면 $(\text{완전제곱식})=(\text{상수})$의 꼴로 주어진 경우에는 제곱근의 성질을 이용하면 보다 간단하게 해를 구할 수 있습니다. 주어진 식에 따라서 쉬운 방법을 찾아서 적용하는 연습을 하시길 바랍니다.