이번 시간에는 2023년 3월 고1 모의고사 수학 단답형 29번과 30번 풀이에 대해 살펴보려 한다. 전체 문제풀이를 원한다면 아래의 파일을 다운로드 하여 풀어보길 바란다. 객관식 19, 20, 21 번의 풀이는 글 마지막 부분의 링크를 참고하길 바란다.
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개요
2023년 3월 고1 모의고사 29번
풀이
1단계 평행선과 닮음비
길이와 비율을 구별하기 위해 비율은 서로 동일한 색의 괄호 숫자를 사용하였고 정해진 선분의 길이는 숫자로 표기 하였다.
$\overline{FG}//\overline{BC}$에 대하여
$\triangle{EDG}\sim\triangle{EBC}$이고
$\overline{EG}:\overline{EC}=\overline{ED}:\overline{EB}=\overline{DG}:\overline{BC}=1:5$이므로
$\overline{BC}=5$
$\triangle{AFD}\sim\triangle{ABC}$이고
$\overline{FD}:\overline{BC}=2:5$이므로
$\overline{AF}:\overline{AB}=2:3$이다.
2단계 높이가 일정한 삼각형의 넓이비
$\triangle{DFB},\;\triangle{AFD}$는 높이가 같은 삼각형이고 두 삼각형의 넓이 [비율]은 밑변의 길이 비율과 같으므로
$\triangle{DFB}=\triangle{AFD}\times[비율]$
$\triangle{DFB}=3\times\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}$
비슷한 방법으로 $\triangle{DFB},\;\triangle{DCG}$에서
$\triangle{DCG}=\dfrac{9}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{9}{4}$
$\triangle{DCG},\;\triangle{EDG}$에도 동일하게 적용하면
$\triangle{EDG}=\dfrac{9}{4}\times\dfrac{1}{4}$이고
$\therefore\; \triangle{EDG}=\dfrac{9}{16}$
2023년 3월 고1 모의고사 30번
풀이
1단계 이등변삼각형, 접선의 성질, 접현각
$\overline{DF}=\overline{FC}=2$
$F$에서 $\overline{DC}$에 내린 수선의 발 $H$ 에 대해여, $\overline{DH}=\overline{CH}$이다.
빨간색 각의 크기가 같다.
이등변삼각형 $\triangle{ABC},\;\triangle{FDC}$에 대하여
$\triangle{ABC}$ : $\angle{EBC}=\angle{EBA}$
$\triangle{FDC}$ : $\angle{FDC}=\angle{FCD}$
접현각 : $\angle{DBC}=\angle{FDC}=\angle{DAC}$
$\angle{빨}+\angle{파}=90^{\circ}$
$\angle{EAB}=\angle{EDC}=\angle{DFH}$
2단계 원주각과 접선의 길이, 합동과 닮음 응용
$\overline{AE}=x$라 하자.
$\triangle{FDH}\equiv\triangle{ABE}\;(ASA)$
$\overline{AE}=\overline{FH}=x$
$\overline{DH}=\overline{BE}=\sqrt{4-x^2}$
$\triangle{AEB}\sim\triangle{DEC}$
$\overline{CD}:\overline{CE}=\overline{AB}:\overline{EB}$
$2\sqrt{4-x^2}:x=2:\sqrt{4-x^2}$
$2x=2(4-x^2)$
$x^2+x-4=0$
$x=\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{2}$이고$x=\dfrac{-1+\sqrt{17}}{2}\; (\because x>0)$이다.
$a=-1,\;b=1$
$\therefore\; a^2+b^2=2$