2022 수학 수능 기출문제 풀이 해설

1. 문제: 홀수형+짝수형
2. 정답: 홀수형+짝수형
3. 해설: EBS 해설 홀수형

$4=2^2$이므로 곱의 지수법칙과 거듭제곱의 지수법칙을 적용한다.

$\begin{aligned}(2^{\sqrt3}\times4)^{\sqrt3-2}&=(2^{\sqrt3+2})^{\sqrt3-2}\\&=2^{(\sqrt3+2)(\sqrt3-2)}\\&=2^{3-4}=2^{-1}=\dfrac12\end{aligned}$

정답: ② $\dfrac12$

$f'(x)=3x^2+6x+1$이다.

$f'(1)=3+6+1=10$이다.

정답: ⑤ $10$

등차수열의 첫째항을 $a_1$, 공차를 $d$라 하면 $a_2=a_1+d=6$이다.

$a_4+a_6=(a_1+3d)+(a_1+5d)=2a_1+8d=36$이므로 $a_1+4d=18$이다.

두 식을 빼면 $3d=12$이므로 $d=4$, $a_1=2$이다.

$a_{10}=a_1+9d=2+9\times4=38$이다.

정답: ⑤ $38$

그래프에서 $x$가 $-1$보다 작은 쪽에서 $-1$에 가까워질 때 $f(x)$는 $3$에 가까워지므로 $\displaystyle\lim\limits_{x\to-1-}f(x)=3$이다.

$x=2$에서 함수의 극한은 $\displaystyle\lim\limits_{x\to2}f(x)=1$이다. 그래프의 점의 표시와 극한값을 구분한다.

따라서 주어진 값은 $3+1=4$이다.

정답: ④ $4$

$a_1=1$로부터 차례로 계산하면 $a_2=2$, $a_3=4$, $a_4=8$이다.

$a_4=8\ge7$이므로 $a_5=1$, 이어서 $a_6=2$, $a_7=4$, $a_8=8$이다.

$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^8a_k=2(1+2+4+8)=30$이다.

정답: ① $30$

주어진 방정식 $2x^3-3x^2-12x+k=0$은 $2x^3-3x^2-12x=-k$와 같다. $f(x)=2x^3-3x^2-12x$라 하면 $f'(x)=6x^2-6x-12=6(x+1)(x-2)$이다.

$f'(x)=0$의 해는 $x=-1$, $x=2$이다. 따라서 $f(x)$는 $(-\infty,-1)$에서 증가하고 $(-1,2)$에서 감소하며 $(2,\infty)$에서 증가한다.

$f(-1)=7$, $f(2)=-20$이므로 $x=-1$에서 극댓값 $7$, $x=2$에서 극솟값 $-20$을 갖는다.

방정식이 서로 다른 세 실근을 가지려면 곡선 $y=f(x)$와 직선 $y=-k$가 서로 다른 세 점에서 만나야 한다. 따라서 $-20<-k<7$이다.

부등식을 정리하면 $-7<k<20$이다. 가능한 정수는 $-6,-5,\ldots,19$이므로 모두 $26$개이다.

정답: ③ $26$

양변에 $\tan\theta$를 곱하면 $\tan^2\theta-\tan\theta-6=0$이다.

$(\tan\theta+2)(\tan\theta-3)=0$이고 제3사분면에서 $\tan\theta>0$이므로 $\tan\theta=3$이다.

$\sin\theta=3\cos\theta$와 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$에서 $10\cos^2\theta=1$이다.

제3사분면이므로 $\cos\theta=-\dfrac1{\sqrt{10}}$, $\sin\theta=-\dfrac3{\sqrt{10}}$이다.

$\sin\theta+\cos\theta=-\dfrac4{\sqrt{10}}=-\dfrac{2\sqrt{10}}5$이다.

정답: ① $-\dfrac{2\sqrt{10}}5$

교점의 $x$좌표는 $x^2-5x=x$에서 $x=0,6$이다.

$0\le x\le6$에서 직선이 위쪽에 있으므로 전체 넓이는 $S=\displaystyle\int\nolimits_0^6(6x-x^2)\,dx=\left[3x^2-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^6=36$이다.

이등분 조건에 따라 $\displaystyle\int\nolimits_0^k(6x-x^2)\,dx=18$이므로 $3k^2-\dfrac{k^3}{3}=18$이다.

$k^3-9k^2+54=(k-3)(k^2-6k-18)=0$이고 $0<k<6$에 맞는 해는 $k=3$뿐이다.

정답: ① $3$

P, Q의 $x$좌표를 각각 $p,q$ ($p<q$)라 하면 두 점은 $y=2x+k$ 위에 있으므로 $\overline{PQ}^{\,2}=(q-p)^2+\{2(q-p)\}^2=5$이고,따라서 $q-p=1$이다.

P가 첫째 곡선에 있으므로 $\left(\dfrac23\right)^{p+3}+1=2p+k$이고, Q가 둘째 곡선에 있으므로 $\left(\dfrac23\right)^{p+2}+\dfrac83=2p+k+2$이다.

두 식을 빼서 정리하면 $\left(\dfrac23\right)^{p+2}=1$이므로 $p=-2$이다.

첫째 식에 대입하면 $\dfrac23+1=-4+k$이므로 $k=\dfrac{17}3$이다.

정답: ④ $\dfrac{17}3$

곡선 $y=f(x)$가 $(0,0)$을 지나므로 $f(0)=0$이고, 곡선 $y=xf(x)$가 $(1,2)$를 지나므로 $f(1)=2$이다.

$(0,0)$에서 곡선 $y=f(x)$의 접선은 $y=f'(0)x$이다. $y=xf(x)$의 양변을 미분하면 $y'=f(x)+xf'(x)$이므로 $(1,2)$에서의 접선은 $y=\{f(1)+f'(1)\}(x-1)+2$이다.

$f(1)=2$를 대입하여 정리하면 둘째 접선은 $y=\{f'(1)+2\}x-f'(1)$이다. 두 접선이 같으므로 $f'(0)=f'(1)+2$, $f'(1)=0$이고, 따라서 $f'(0)=2$이다.

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$라 하면 $f(0)=0$에서 $d=0$, $f(1)=2$에서 $a+b+c=2$이다. $f'(x)=3ax^2+2bx+c$이고 $f'(0)=2$에서 $c=2$, $f'(1)=0$에서 $3a+2b+2=0$이다.

$a+b=0$을 이용하면 $a=-2$, $b=2$이므로 $f(x)=-2x^3+2x^2+2x$이다. $f'(2)=-6\cdot2^2+4\cdot2+2=-14$이다.

정답: ⑤ $-14$

함수 $\tan\dfrac{\pi x}a$의 주기는 $a$이다. 직선 OAB의 기울기는 $\sqrt3$이므로 B를 $(t,\sqrt3t)$라 두면 A는 $(-t,-\sqrt3t)$이다.

따라서 $\overline{AB}=\sqrt{(2t)^2+(2\sqrt3t)^2}=4t$이다.

삼각형 ABC가 정삼각형이므로 $\overline{AC}=\overline{AB}=4t=a$이다. 이에 따라 C는 $(3t,-\sqrt3t)$이다.

점 C는 곡선 $y=\tan\dfrac{\pi x}a$ 위에 있고 $a=4t$, $C(3t,-\sqrt3t)$이므로 $-\sqrt3t=\tan\dfrac{3\pi t}{4t}=\tan\dfrac{3\pi}4=-1$이다. 따라서 $t=\dfrac1{\sqrt3}$이다.

정삼각형의 넓이는 $\dfrac{\sqrt3}{4}(4t)^2=4\sqrt3t^2=\dfrac{4\sqrt3}3$이다.

정답: ③ $\dfrac{4\sqrt3}3$

주어진 식은 $(f(x)-1)(f(x)+x)(f(x)-x)=0$이므로 각 $x$에서 $f(x)=1$, $-x$, $x$ 중 하나이다.

$f(0)=0$ 또는 $1$이다. $f(0)=1$이고 연속이며 최댓값이 $1$이면 $f(x)=1$이 되어 최솟값이 $0$이라는 조건에 모순이다.

따라서 $f(0)=0$이다. $f$의 연속성과 치역 $[0,1]$을 이용하면 $f(x)=\begin{cases}|x|&(|x|\le1)\\1&(|x|>1)\end{cases}$이다.

$f(-\dfrac43)=1$, $f(0)=0$, $f(\dfrac12)=\dfrac12$이므로 합은 $\dfrac32$이다.

정답: ③ $\dfrac32$

두 점 $(a,\log_2a)$, $(b,\log_2b)$를 지나는 직선의 방정식은 $y=\dfrac{\log_2b-\log_2a}{b-a}(x-a)+\log_2a$이다.

따라서 첫째 직선의 $y$절편은 $-\dfrac{a(\log_2b-\log_2a)}{b-a}+\log_2a$ …… ㉠이다. 두 점 $(a,\log_4a)$, $(b,\log_4b)$를 지나는 직선은 $y=\dfrac{\log_4b-\log_4a}{b-a}(x-a)+\log_4a$이다.

$\log_4t=\dfrac12\log_2t$이므로 둘째 직선의 $y$절편은 $-\dfrac12\dfrac{a(\log_2b-\log_2a)}{b-a}+\dfrac12\log_2a$ …… ㉡이다.

㉠과 ㉡이 같으므로 $\log_2a=\dfrac{a(\log_2b-\log_2a)}{b-a}$이다. $(b-a)\log_2a=a(\log_2b-\log_2a)$에서 $b\log_2a=a\log_2b$이고 따라서 $a^b=b^a$이다.

$f(1)=a^b+b^a=40$이므로 $a^b=b^a=20$이다. $f(2)=a^{2b}+b^{2a}=(a^b)^2+(b^a)^2=20^2+20^2=800$이다.

정답: ② $800$

$x(0)=x(1)=0$이므로 $\displaystyle\int\nolimits_0^1v(t)\,dt=x(1)-x(0)=0$이다. ㄱ은 참이다.

ㄴ. $|x(t)|>1$이면 $0$에서 해당 위치까지 이동했다가 다시 $0$으로 돌아오는 데 필요한 이동 거리가 $2$보다 커진다. 실제 이동 거리는 $2$이므로 ㄴ은 거짓이다.

ㄷ. $x(0)=x(1)=0$이고 총 이동 거리가 $2$이다. 만약 $(0,1)$에서 $x(t)=0$인 시각이 없다면 연속성으로 $x(t)$의 부호가 일정하므로 총 이동 거리는 $2\max_{[0,1]}|x(t)|$이다.

그런데 항상 $|x(t)|<1$이면 이동 거리는 $2$보다 작아 모순이다. 따라서 내부에 $x(t_2)=0$인 시각이 존재하며 ㄷ은 참이다.

정답: ③ ㄱ, ㄷ

$\angle\mathrm{CO_2O_1}+\angle\mathrm{O_1O_2D}=\pi$이므로 $\theta_3=\dfrac\pi2+\dfrac{\theta_2}2$이다. $\theta_3=\theta_1+\theta_2$에서 $2\theta_1+\theta_2=\pi$이고 $\angle\mathrm{CO_1B}=\theta_1$이다.

$\angle\mathrm{O_2O_1B}=\theta_1+\theta_2=\theta_3$이므로 삼각형 $\mathrm{O_1O_2B}$와 삼각형 $\mathrm{O_2O_1D}$는 합동이다.

$\overline{AB}=k$라 하면 $\overline{BO_2}=\overline{O_1D}=2\sqrt2k$이다. 직각삼각형 $\mathrm{ABO_2}$에서 $\overline{AO_2}=\sqrt{k^2+(2\sqrt2k)^2}=3k$이므로 $(가)=3k$이다.

$\angle\mathrm{BO_2A}=\dfrac{\theta_1}2$이므로 $\cos\dfrac{\theta_1}2=\dfrac{2\sqrt2k}{3k}=\dfrac{2\sqrt2}3$이다. 따라서 $(나)=\dfrac{2\sqrt2}3$이다. 삼각형 $\mathrm{BO_2C}$에서 $\overline{O_2C}=x$ ($0<x<3k$)라 하면 코사인법칙에 의하여

$\begin{aligned}k^2&=x^2+(2\sqrt2k)^2-2x\cdot2\sqrt2k\cos\dfrac{\theta_1}2\\&=x^2+8k^2-\dfrac{16}3kx\end{aligned}$이므로 $3x^2-16kx+21k^2=(3x-7k)(x-3k)=0$이고 $0<x<3k$이므로 $x=\dfrac73k$이다. 따라서 $(다)=\dfrac73k$이다.

$f(k)=3k$, $g(k)=\dfrac73k$, $p=\dfrac{2\sqrt2}3$이므로 $f(p)g(p)=\left(3\cdot\dfrac{2\sqrt2}3\right)\left(\dfrac73\cdot\dfrac{2\sqrt2}3\right)=\dfrac{56}9$이다.

정답: ② $\dfrac{56}9$

밑변환 공식에 의하여 $\dfrac1{\log_{15}2}=\log_2 15$이다.

$\log_2 120-\log_2 15=\log_2\dfrac{120}{15}=\log_2 8=3$이다.

정답: $3$

$f(x)=\displaystyle\int(3x^2+2x)\,dx=x^3+x^2+C$ ($C$는 적분상수)이다.

$f(0)=2$에서 $C=2$이므로 $f(1)=1+1+2=4$이다.

정답: $4$

둘째 식 양변을 $2$로 나누면 $\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{10}a_k-\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{8}\dfrac{a_k}2=50$이다.

첫째 식에서 이 식을 빼면 $\dfrac{a_8}2=56-50=6$이다.

따라서 $a_8=12$이다.

정답: $12$

$f'(x)=3x^2+2ax-(a^2-8a)$이다. 모든 실수에서 증가하려면 $f'(x)\ge0$이어야 한다.

최고차항의 계수가 양수인 이차식이 모든 실수에서 $0$ 이상이려면 판별식이 $0$ 이하이어야 한다.

$\dfrac D4=a^2-3\{-a^2+8a\}=4a^2-24a=4a(a-6)\le0$이다.

따라서 $0\le a\le6$이고 최댓값은 $6$이다.

정답: $6$

조건 (나)에 $x=0$을 대입하면 $f(1)=b$이다. 조건 (가)에서 $f(1)=1$이므로 $b=1$이다.

$0\le x\le1$일 때 $f(x+1)=xf(x)+ax+1=x^2+ax+1$이다.

$f$가 $x=1$에서 미분가능하므로 왼쪽 미분계수는 $1$이며, 오른쪽 도함숫값은 $f'(1+)=a$이다. 따라서 $a=1$이다.

$1\le t\le2$일 때 $f(t)=(t-1)^2+(t-1)+1=t^2-t+1$이다.

$60\displaystyle\int\nolimits_1^2(t^2-t+1)\,dt=60\left[\dfrac{t^3}3-\dfrac{t^2}2+t\right]_1^2=60\cdot\dfrac{11}6=110$이다.

정답: $110$

조건 (가), (나)에 의하여 $|a_n|=2^n$이다.

처음 아홉 항의 절댓값의 합은 $\displaystyle\sum\limits_{k=1}^9|a_k|=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^92^k=2^{10}-2=1022$이고 $|a_{10}|=1024$이다. 조건 (다)의 합은 $-14$이므로 $a_{10}=1024$이면 나머지 아홉 항의 합이 $-1038$이 되어 절댓값의 합 $1022$보다 커질 수 없다.

따라서 $a_{10}=-1024$이고 $\displaystyle\sum\limits_{k=1}^9a_k=-14+1024=1010$이다. 모든 항이 양수이면 앞의 아홉 항의 합은 $1022$인데 실제 합은 $1010$으로 $12$ 작다. 부호를 음수로 바꾸는 항의 절댓값 합은 $\dfrac{12}2=6$이어야 한다.

$6=2+4$이고 $|a_n|$은 서로 다른 $2$의 거듭제곱이므로 $a_1=-2$, $a_2=-4$, 나머지 $a_3,\ldots,a_9$는 양수이다. $a_1+a_3+a_5+a_7+a_9=-2+8+32+128+512=678$이다.

정답: $678$

조건 (나)에서 $g(t)=2$가 되는 $t$가 존재하므로 $f'(x)=0$은 서로 다른 두 실근 $\alpha<\beta$를 갖는다.

(ⅰ) $\beta=\alpha+2$인 경우 길이가 $2$인 닫힌구간 $[t,t+2]$에 두 근 $\alpha,\beta$가 동시에 포함되려면 $t=\alpha$여야 한다. 즉 $g(\alpha)=2$이고 그 밖의 $t$에서는 $g(t)\le1$이다. 이 경우 양쪽 극한의 합은 $2$ 이하이므로 (가)를 만족한다.

(ⅱ) $\beta>\alpha+2$인 경우 두 근 사이의 거리가 구간의 길이 $2$보다 크므로 $g(t)=2$인 $t$가 없다. 이는 (나)와 모순이다.

(ⅲ) $\beta<\alpha+2$인 경우 구간 $[t,t+2]$에 두 근이 모두 들어가는 열린구간 $\beta-2<t<\alpha$가 존재한다. 그 안에서는 $g(t)=2$이며 좌우 극한의 합이 $4$가 되어 (가)에 모순이다.

따라서 $\beta=\alpha+2$인 경우만 가능하다.

$g(t)=2$인 실수는 오직 $t=\alpha$이므로 $f(1)=f(4)=\alpha$이다. 또 $f'(x)=\dfrac32(x-\alpha)(x-\alpha-2)$이다.

적분하면 $f(x)=\dfrac12x^3-\dfrac32(\alpha+1)x^2+\dfrac32(\alpha^2+2\alpha)x+C$이다.

$f(1)=f(4)$에서 $9\alpha^2-27\alpha+18=0$, 즉 $(\alpha-1)(\alpha-2)=0$이므로 $\alpha=1$ 또는 $2$이다.

$\alpha=1$이면 $f(x)=\dfrac12x^3-3x^2+\dfrac92x+C$이고 $f(1)=1$에서 $C=-1$이다. 이때 $f(0)=-1$이고 $g(-1)=1$이다.

$\alpha=2$이면 $f(x)=\dfrac12x^3-\dfrac92x^2+12x+C$이고 $f(1)=2$에서 $C=-6$이다. 이때 $f(0)=-6$이어서 $g(-6)=0$이므로 (나)에 맞지 않는다.

따라서 $f(x)=\dfrac12x^3-3x^2+\dfrac92x-1$이고 $f(5)=\dfrac{125}2-75+\dfrac{45}2-1=9$이다.

정답: $9$

이항정리에 의하여 일반항은 ${}_7\mathrm C_r x^{7-r}2^r$이다.

$x^5$의 항은 $7-r=5$, 즉 $r=2$에서 얻으므로 계수는 ${}_7\mathrm C_2\times2^2=\dfrac{7\times6}{2\times1}\times4=84$이다.

정답: ④ $84$

이항분포의 분산은 $\mathrm V(X)=n\cdot\dfrac13\cdot\dfrac23=\dfrac{2n}9$이다.

$\mathrm V(2X)=4\mathrm V(X)=\dfrac{8n}9=40$이므로 $n=45$이다.

정답: ④ $45$

$|a^2-b^2|=|(a-b)(a+b)|=5$이고 $a,b$는 자연수이므로 $a+b>|a-b|$이다.

$5$가 소수이므로 $a+b=5$, $|a-b|=1$이다. 따라서 $(a,b)=(3,2)$ 또는 $(2,3)$이다.

이때 $c+d+e=12-(a+b)=7$이고 $c,d,e$는 자연수이므로 $c-1+d-1+e-1=4$이다.

중복조합으로 ${}_3\mathrm H_4={}_6\mathrm C_2=15$가지이고 $(a,b)$의 $2$가지와 곱하여 $2\times15=30$가지이다.

정답: ① $30$

전체 경우의 수는 ${}_{10}\mathrm C_3=120$이다.

구하는 사건의 여사건은 가장 작은 수가 $5$ 또는 $6$인 경우이다.

세 수가 모두 $5$ 이상인 경우는 ${}_6\mathrm C_3=20$가지이고, 모두 $7$ 이상인 경우는 ${}_4\mathrm C_3=4$가지이다.

따라서 여사건의 경우는 $20-4=16$가지이고 구하는 확률은 $1-\dfrac{16}{120}=\dfrac{13}{15}$이다.

정답: ③ $\dfrac{13}{15}$

$95\%$ 신뢰구간은 $\overline{x}_1-1.96\dfrac{\sigma}{10}\le m\le\overline{x}_1+1.96\dfrac{\sigma}{10}$이다.

$99\%$ 신뢰구간은 $\overline{x}_2-2.58\dfrac{\sigma}{20}\le m\le\overline{x}_2+2.58\dfrac{\sigma}{20}$이다.

$a=c$에 의해 $\overline{x}_1-\overline{x}_2=\left(\dfrac{1.96}{10}-\dfrac{2.58}{20}\right)\sigma=0.067\sigma$이다.

$1.34=0.067\sigma$이므로 $\sigma=20$이다.

첫 번째 신뢰구간의 길이는 $b-a=2\times1.96\times\dfrac{20}{10}=7.84$이다.

정답: ② $7.84$

조건 (가)에서 $f(1)\in\{1,2,3,4\}$, $f(2),f(3),f(4)\in\{2,3,4\}$, $f(5)\in\{3,4\}$이다.

조건 (나)에 의해 치역의 가능한 경우는 $\{1,2,3\}$, $\{1,2,4\}$, $\{1,3,4\}$, $\{2,3,4\}$이다.

(ⅰ) 치역이 $\{1,2,3\}$인 경우

$f(1)=1$, $f(5)=3$이고 $f(2),f(3),f(4)$의 값은 $2$ 또는 $3$이다. 그중 모두 $3$인 경우를 제외하면 $2^3-1=7$가지이다.

(ⅱ) 치역이 $\{1,2,4\}$인 경우

$f(1)=1$, $f(5)=4$이고 $f(2),f(3),f(4)$의 값은 $2$ 또는 $4$이다. 모두 $4$인 경우를 제외하여 $2^3-1=7$가지이다.

(ⅲ) 치역이 $\{1,3,4\}$인 경우

$f(1)=1$이고 $f(2),f(3),f(4),f(5)$는 $3$, $4$ 중 하나이다. 모두 $3$이거나 모두 $4$인 두 경우를 제외하므로 $2^4-2=14$가지이다.

(ⅳ) 치역이 $\{2,3,4\}$인 경우

$f(5)=3$ 또는 $f(5)=4$로 나눈다.

① $f(5)=3$인 경우 $f(1),f(2),f(3),f(4)$를 $2,3,4$ 중에서 정하는 $3^4=81$가지 중, $2$가 없는 경우 $2^4=16$가지와 $4$가 없는 경우 $2^4=16$가지를 뺀다. 모두 $3$인 한 경우가 중복되어 있으므로 $81-16-16+1=50$가지이다.

② $f(5)=4$인 경우 $2$가 없는 경우와 $3$이 없는 경우를 같은 방법으로 제외하면 $50$가지이다. 따라서 모두 $7+7+14+50+50=128$가지이다.

정답: ① $128$

$f$와 $g$는 모두 확률밀도함수이므로 $\displaystyle\int\nolimits_0^6f(x)\,dx=\displaystyle\int\nolimits_0^6g(x)\,dx=1$이다.

$f(x)+g(x)=k$를 적분하면 $6k=2$이므로 $k=\dfrac13$이다. 따라서 $6k=2$, $15k=5$이다.

그림에서 $f(x)$는 $(0,0)$에서 $(3,\dfrac14)$로 선형 증가, $3\le x\le5$에서 $\dfrac14$, $(5,\dfrac14)$에서 $(6,0)$으로 선형 감소한다.

$2\le x\le3$에서 $f(2)=\dfrac16$, $f(3)=\dfrac14$이다. 따라서 $\displaystyle\int\nolimits_2^3g(x)\,dx=\dfrac13-\dfrac12\left(\dfrac16+\dfrac14\right)=\dfrac18$이다.

$3\le x\le5$에서 $g(x)=\dfrac13-\dfrac14=\dfrac1{12}$이므로 $\displaystyle\int\nolimits_3^5g(x)\,dx=\dfrac16$이다.

$\mathrm P(2\le Y\le5)=\dfrac18+\dfrac16=\dfrac7{24}$이므로 $p=24$, $q=7$, $p+q=31$이다.

정답: $31$

$a_5+b_5\ge7$인 사건을 $A$, $a_k=b_k$인 자연수 $k$가 존재하는 사건을 $B$라 하자.

한 시행에서 흰 공 $2$개를 넣을 확률은 $\dfrac13$, 검은 공 $1$개를 넣을 확률은 $\dfrac23$이다.

사건 $A$는 흰 공이 나오는 시행이 $2$, $3$, $4$, $5$회인 경우로 나뉜다.

$\begin{aligned}\mathrm P(A)&={}_5\mathrm C_2\left(\dfrac13\right)^2\left(\dfrac23\right)^3+{}_5\mathrm C_3\left(\dfrac13\right)^3\left(\dfrac23\right)^2\\&\quad+{}_5\mathrm C_4\left(\dfrac13\right)^4\left(\dfrac23\right)+\left(\dfrac13\right)^5\\&=\dfrac{80+40+10+1}{243}=\dfrac{131}{243}\end{aligned}$ 한 번의 흰 공 시행에서 흰 공 $2$개, 두 번의 검은 공 시행에서 검은 공 $2$개가 들어가므로 $a_k=b_k$가 최초로 성립할 수 있는 시각은 세 번째 시행 후이다.

사건 $A\cap B$가 성립하려면 처음 세 번의 시행은 흰 공 시행 $1$회, 검은 공 시행 $2$회이고, 남은 두 번의 시행에는 흰 공 시행이 적어도 한 번 있어야 한다.

남은 두 번의 시행에 흰 공 시행이 정확히 한 번 있는 경우와 두 번 있는 경우로 나누면

$\begin{aligned}\mathrm P(A\cap B)&={}_3\mathrm C_1\left(\dfrac13\right)\left(\dfrac23\right)^2\cdot{}_2\mathrm C_1\left(\dfrac13\right)\left(\dfrac23\right)\\&\quad+{}_3\mathrm C_1\left(\dfrac13\right)\left(\dfrac23\right)^2\left(\dfrac13\right)^2\\&=\dfrac{48+12}{243}=\dfrac{60}{243}\end{aligned}$ 따라서 $\mathrm P(B\mid A)=\dfrac{60/243}{131/243}=\dfrac{60}{131}$이므로 $p=131$, $q=60$이다.

정답: $191$

분자와 분모에 $n$을 곱하면 $\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{5+\dfrac3n}{1-\dfrac2{n^2}}$이다.

$n\to\infty$이면 $\dfrac3n\to0$, $\dfrac2{n^2}\to0$이므로 극한값은 $5$이다.

정답: ⑤ $5$

주어진 등식의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f'(x^3+x)(3x^2+1)=e^x$이다.

$x^3+x=2$를 만족시키는 $x=1$을 대입하면 $4f'(2)=e$이다.

따라서 $f'(2)=\dfrac e4$이다.

정답: ④ $\dfrac e4$

첫째항을 $a$, 공비를 $r$이라 하면 두 급수가 수렴하므로 $|r|<1$이다.

$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_{2n-1}-a_{2n})=\dfrac{a(1-r)}{1-r^2}=\dfrac a{1+r}=3$이므로 $a=3(1+r)$이다.

$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n^2=\dfrac{a^2}{1-r^2}=6$이므로 $\dfrac{9(1+r)^2}{(1-r)(1+r)}=6$이다.

$3(1+r)=2(1-r)$에서 $r=-\dfrac15$, $a=\dfrac{12}5$이다.

$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=\dfrac a{1-r}=\dfrac{12/5}{6/5}=2$이다.

정답: ② $2$

주어진 합의 각 항의 분자와 분모를 $n^3$으로 나누면

$\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n\dfrac1n\dfrac{(k/n)^2+2(k/n)}{(k/n)^3+3(k/n)^2+1}$이다.

정적분의 정의에 의하여 이는 $\displaystyle\int\nolimits_0^1\dfrac{x^2+2x}{x^3+3x^2+1}\,dx$와 같다.

$(x^3+3x^2+1)'=3x^2+6x=3(x^2+2x)$이므로 $\begin{aligned}\displaystyle\int\nolimits_0^1\dfrac{x^2+2x}{x^3+3x^2+1}\,dx&=\left[\dfrac13\ln(x^3+3x^2+1)\right]_0^1\\&=\dfrac13(\ln5-\ln1)=\dfrac{\ln5}3\end{aligned}$

정답: ③ $\dfrac{\ln5}3$

곡선 $y=x^2$과 직선 $y=t^2x-\dfrac{\ln t}8$의 서로 다른 교점을 $(\alpha,\alpha^2)$, $(\beta,\beta^2)$라 하자.

교점의 $x$좌표는 $x^2-t^2x+\dfrac{\ln t}8=0$의 두 근이므로 $\alpha+\beta=t^2$, $\alpha\beta=\dfrac{\ln t}8$이다.

두 교점의 중점인 점 P의 좌표는

$\begin{aligned}\left(\dfrac{\alpha+\beta}2,\dfrac{\alpha^2+\beta^2}2\right)&=\left(\dfrac{t^2}2,\dfrac{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta}2\right)\\&=\left(\dfrac{t^2}2,\dfrac{t^4}2-\dfrac{\ln t}8\right)\end{aligned}$

따라서 $\dfrac{dx}{dt}=t$, $\dfrac{dy}{dt}=2t^3-\dfrac1{8t}$이고, $t>0$에서 속력은

$\begin{aligned}\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}&=\sqrt{t^2+\left(2t^3-\dfrac1{8t}\right)^2}\\&=\sqrt{\left(2t^3+\dfrac1{8t}\right)^2}\\&=2t^3+\dfrac1{8t}\end{aligned}$ 이동 거리는 $\displaystyle\int\nolimits_1^e\left(2t^3+\dfrac1{8t}\right)\,dt=\left[\dfrac{t^4}2+\dfrac{\ln t}8\right]_1^e=\dfrac{e^4}2-\dfrac38$이다.

정답: ① $\dfrac{e^4}2-\dfrac38$

$g(x)=3f(x)+4\cos f(x)$이므로 $g'(x)=f'(x)\{3-4\sin f(x)\}=12\pi(x-1)\{3-4\sin(6\pi(x-1)^2)\}$이다.

(ⅰ) $x=1$인 경우 $f(1)=0$이고 $x=1$ 부근에서 $3-4\sin(6\pi(x-1)^2)>0$이다. $x-1$은 음수에서 양수로 바뀌므로 $g'(x)$도 음수에서 양수로 바뀌어 $x=1$에서 극소이다.

(ⅱ) $1<x<2$인 경우

$12\pi(x-1)>0$이고 $t=f(x)=6\pi(x-1)^2$라 두면 $x$가 $1$에서 $2$까지 증가할 때 $t$는 $0$에서 $6\pi$까지 증가한다. $y=3-4\sin t$의 그래프에서, $0<t<6\pi$에서 값이 음수에서 양수로 바뀌는 세 근을 작은 순서대로 $\alpha,\beta,\gamma$라 하자.

$f(x)=\alpha,\beta,\gamma$가 되는 $x$는 각 하나씩 존재한다. 이 세 점에서 $g'(x)$의 부호는 음수에서 양수로 바뀌므로 $1<x<2$에서 극소점은 $3$개이다.

(ⅲ) $0<x<1$인 경우 $f(1-h)=f(1+h)$이므로 $g(1-h)=g(1+h)$이다. 함수 $y=g(x)$의 그래프는 직선 $x=1$에 대하여 대칭이다.

따라서 $0<x<1$에서 극소점도 $3$개이다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 전체 개수는 $1+3+3=7$이다.

$0<x<2$에서 함수 $y=g(x)$의 그래프는 그림을 참고

정답: ② $7$

선분 AB의 중점을 M이라 하면 원주각과 중심각의 관계에 의해 $\angle\mathrm{AMQ}=4\theta$이므로 부채꼴 AMQ의 넓이는 $2\theta$이다.

삼각형 MBQ의 넓이는 $\dfrac12\sin4\theta$이다. 또 삼각형 RAB에서 사인법칙에 의하여 $\overline{BR}=\dfrac{2\sin\theta}{\sin3\theta}$이다.

삼각형 RAB의 넓이는 $\dfrac12\cdot2\cdot\dfrac{2\sin\theta}{\sin3\theta}\sin2\theta=\dfrac{2\sin\theta\sin2\theta}{\sin3\theta}$이다.

따라서 $f(\theta)=2\theta+\dfrac12\sin4\theta-\dfrac{2\sin\theta\sin2\theta}{\sin3\theta}$이며

$\displaystyle\lim\limits_{\theta\to0+}\dfrac{f(\theta)}{\theta}=2+2-\dfrac43=\dfrac83$이다.

정삼각형 STU의 한 변의 길이를 $a$라 하면 삼각형 TSB에서 사인법칙으로 $\overline{BT}=\dfrac{\sqrt3a}{2\sin2\theta}$이다.

삼각형 RUT와 RAB는 닮음이므로 $\dfrac{\overline{RT}}{\overline{RB}}=\dfrac{\overline{UT}}{\overline{AB}}=\dfrac a2$이다. 여기서 $\overline{RT}=\overline{RB}-\overline{BT}$, $\overline{RB}=\dfrac{2\sin\theta}{\sin3\theta}$이다.

$\begin{aligned}\dfrac{\dfrac{2\sin\theta}{\sin3\theta}-\dfrac{\sqrt3a}{2\sin2\theta}}{\dfrac{2\sin\theta}{\sin3\theta}}&=\dfrac a2\\ a(2\sin\theta\sin2\theta+\sqrt3\sin3\theta)&=4\sin\theta\sin2\theta\\ a&=\dfrac{4\sin\theta\sin2\theta}{2\sin\theta\sin2\theta+\sqrt3\sin3\theta}\end{aligned}$

$g(\theta)=\dfrac{\sqrt3}4a^2$이며 $\displaystyle\lim\limits_{\theta\to0+}\dfrac a\theta=\dfrac{8}{3\sqrt3}$이다.

$\displaystyle\lim\limits_{\theta\to0+}\dfrac{g(\theta)}{\theta^2}=\dfrac{\sqrt3}4\left(\dfrac8{3\sqrt3}\right)^2=\dfrac{16\sqrt3}{27}$이다.

$\displaystyle\lim\limits_{\theta\to0+}\dfrac{g(\theta)}{\theta f(\theta)}=\dfrac{16\sqrt3/27}{8/3}=\dfrac{2\sqrt3}9$이므로 $p=9$, $q=2$, $p+q=11$이다.

정답: $11$

$f(1)=1$이므로 $g(2)=2f(1)=2$이다. 따라서 $f(2)=2$이다.

$g(4)=2f(2)=4$에서 $f(4)=4$이고 $g(8)=2f(4)=8$에서 $f(8)=8$이다.

부분적분법에 의하여

$\begin{aligned}\displaystyle\int\nolimits_1^8xf'(x)\,dx&=[xf(x)]_1^8-\displaystyle\int\nolimits_1^8f(x)\,dx\\&=8f(8)-f(1)-\displaystyle\int\nolimits_1^8f(x)\,dx\\&=63-\displaystyle\int\nolimits_1^8f(x)\,dx\end{aligned}$

이때 $\displaystyle\int\nolimits_1^8f(x)\,dx=\displaystyle\int\nolimits_1^2f(x)\,dx+\displaystyle\int\nolimits_2^4f(x)\,dx+\displaystyle\int\nolimits_4^8f(x)\,dx$이고 조건 (가)에서 첫 적분은 $\dfrac54$이다.

$y=2t$로 치환하고 조건 (나) $g(2t)=2f(t)$를 이용하면 $\displaystyle\int\nolimits_2^4g(y)\,dy=2\displaystyle\int\nolimits_1^2g(2t)\,dt=4\displaystyle\int\nolimits_1^2f(t)\,dt=5$이다.

원래 함수와 역함수의 그래프의 대칭성을 이용하면 $\begin{aligned}\displaystyle\int\nolimits_2^4f(x)\,dx&=4f(4)-2f(2)-\displaystyle\int\nolimits_2^4g(y)\,dy\\&=16-4-5=7\end{aligned}$

마찬가지로 $\displaystyle\int\nolimits_4^8g(y)\,dy=4\displaystyle\int\nolimits_2^4f(t)\,dt=28$이므로 $\begin{aligned}\displaystyle\int\nolimits_4^8f(x)\,dx&=8f(8)-4f(4)-\displaystyle\int\nolimits_4^8g(y)\,dy\\&=64-16-28=20\end{aligned}$

따라서 $\displaystyle\int\nolimits_1^8f(x)\,dx=\dfrac54+7+20=\dfrac{113}4$이다.

$\displaystyle\int\nolimits_1^8xf'(x)\,dx=63-\dfrac{113}4=\dfrac{139}4$이므로 $p=4$, $q=139$이다.

정답: $143$

$xy$평면에 대한 대칭에서는 $z$좌표의 부호가 바뀌므로 $\mathrm P(2,1,-3)$이다.

$yz$평면에 대한 대칭에서는 $x$좌표의 부호가 바뀌므로 $\mathrm Q(-2,1,3)$이다.

$\overline{PQ}=\sqrt{(2+2)^2+(1-1)^2+(-3-3)^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$이다.

정답: ② $2\sqrt{13}$

쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$의 초점 거리는 $c^2=a^2+b^2$이다.

$c=3\sqrt2$, $b^2=6$이므로 $18=a^2+6$이다. 따라서 $a^2=12$, $a=2\sqrt3$이다.

주축의 길이는 $2a=4\sqrt3$이다.

정답: ③ $4\sqrt3$

첫째 직선 $\dfrac{x+1}2=y-3$의 방향벡터를 $\vec u_1=(2,1)$이라 하고, 둘째 직선 $x-2=\dfrac{y-5}3$의 방향벡터를 $\vec u_2=(1,3)$이라 하자.

두 직선이 이루는 예각 $\theta$에 대하여

$\begin{aligned}\cos\theta&=\dfrac{|\vec u_1\cdot\vec u_2|}{|\vec u_1|\,|\vec u_2|}\\&=\dfrac{|2\cdot1+1\cdot3|}{\sqrt{2^2+1^2}\sqrt{1^2+3^2}}\\&=\dfrac5{\sqrt5\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt2}2\end{aligned}$

정답: ⑤ $\dfrac{\sqrt2}2$

$\overline{AF}=p$, $\overline{AF'}=q$라 하면 타원의 정의에 의해 $p+q=16$이다. 원 $C$가 두 직선 AF, AF′와 접하는 점을 P, Q, 원의 반지름을 $r$이라 하면 $\overline{BP}=\overline{BQ}=r$이다.

$BP\perp AF$, $BQ\perp AF'$이므로 B에서 두 직선까지의 수선의 길이는 $r$이다.

사각형 AFBF′를 삼각형 ABF와 삼각형 ABF′로 나누면, 각 삼각형의 높이는 $r$이고 밑변의 길이는 각각 $p,q$이다.

사각형의 넓이가 $72$이므로 $\dfrac12pr+\dfrac12qr=72$, 즉 $\dfrac12(p+q)r=72$이다.

$p+q=16$을 대입하면 $8r=72$이므로 $r=9$이다.

정답: ② $9$

점 M에서 선분 EG에 내린 수선의 발을 I, 선분 EH에 내린 수선의 발을 J라 하자.

선분 MJ는 밑면 EFGH에 수직이고 $\overline{MJ}=4$이다. 점 H에서 선분 EG에 내린 수선의 발을 K라 하면 정사각형 EFGH의 대각선의 성질에 따라 K는 EG의 중점이다.

$\overline{HK}=\dfrac12\overline{EG}=2\sqrt2$이다. 삼수선의 정리에 의하여 $\overline{JI}\perp\overline{EG}$이고, 삼각형 EHK에서 J가 EH의 중점이므로 $\overline{IJ}=\dfrac12\overline{HK}=\sqrt2$이다.

직각삼각형 MJI에서 $\overline{MI}=\sqrt{\overline{MJ}^{\,2}+\overline{IJ}^{\,2}}=\sqrt{16+2}=3\sqrt2$이다. 또 $\overline{EG}=4\sqrt2$이므로 삼각형 MEG의 넓이는 $\dfrac12\cdot\overline{EG}\cdot\overline{MI}=\dfrac12\cdot4\sqrt2\cdot3\sqrt2=12$이다.

정답: ④ $12$

두 초점의 좌표는 $\mathrm F_1(p,a)$, $\mathrm F_2(-1,0)$이다. 따라서 $\overline{\mathrm F_1\mathrm F_2}=3$에서 $(p+1)^2+a^2=9$ …… ㉠이다. 그림과 같이 점 P를 지나고 $x$축에 수직인 직선과 점 Q를 지나고 $y$축에 수직인 직선의 교점을 R이라 하자.

직선 PQ의 기울기는 직선 $\mathrm F_1\mathrm F_2$의 기울기 $\dfrac a{p+1}$과 같으므로 직각삼각형 PQR에서 양수 $t$에 대하여 $\overline{PR}=at$, $\overline{QR}=(p+1)t$로 놓는다.

$\overline{PQ}=1$에서 $a^2t^2+(p+1)^2t^2=1$이다. ㉠을 이용하면 $9t^2=1$이므로 $t=\dfrac13$이다.

두 점 P, Q의 $x$좌표를 각각 $x_1,x_2$라 하면 $x_1-x_2=(p+1)t=\dfrac{p+1}3$이다. 두 포물선의 정의에 의하여 $\overline{P\mathrm F_1}=p+x_1$, $\overline{Q\mathrm F_2}=1-x_2$이다.

$\overline{P\mathrm F_1}+\overline{Q\mathrm F_2}=\overline{\mathrm F_1\mathrm F_2}-\overline{PQ}=2$이므로

$p+x_1+1-x_2=2$이다. 따라서 $p+(x_1-x_2)=1$이고 $p+\dfrac{p+1}3=1$에서 $p=\dfrac12$이다. ㉠에 대입하면 $a^2=9-\left(\dfrac32\right)^2=\dfrac{27}4$이므로 $a^2+p^2=\dfrac{27}4+\dfrac14=7$이다.

정답: ⑤ $7$

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OA}$이고 $\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}$이므로 조건 (나)에서

$\begin{aligned}\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{BC}&=\overrightarrow{OP}\cdot(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})-\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\\&=\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OC}-1=2\end{aligned}$

따라서 $\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OC}=3$이다. 점 P의 자취는 평행사변형 OACB 내부에서 이 내적 조건을 만족하는 선분이다.

$|\overrightarrow{OC}|^2=|\overrightarrow{OA}|^2+|\overrightarrow{OB}|^2+2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=2+8+2=12$이므로 $|\overrightarrow{OC}|=2\sqrt3$이다.

(ⅰ) $|3\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OX}|$의 최댓값 점 P에서 선분 OA 위의 점 A에 이를 때 $|\overrightarrow{OP}|$가 최대가 된다. EBS 그림과 같이 C에서 직선 OA에 내린 수선의 발을 H, $\angle\mathrm{COA}=\alpha$라 하자.

$\angle\mathrm{CAH}=\angle\mathrm{AOB}$이므로 $\cos\angle\mathrm{CAH}=\dfrac14$이다. 따라서 $\overline{AH}=\overline{AC}\cos\angle\mathrm{CAH}=\overline{OB}\cdot\dfrac14=\dfrac{\sqrt2}2$이다.

$\cos\alpha=\dfrac{\overline{OA}+\overline{AH}}{\overline{OC}}=\dfrac{\sqrt2+\dfrac{\sqrt2}2}{2\sqrt3}=\dfrac{\sqrt6}4$이다. $\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OC}=|\overrightarrow{OP}|\cdot2\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt6}4=3$이므로 최대 $|\overrightarrow{OP}|=\sqrt2$이다.

이때 $\overrightarrow{OX}$가 $\overrightarrow{OP}$와 반대 방향이면 최댓값 $M=3\sqrt2+\sqrt2=4\sqrt2$이다.

(ⅱ) $|3\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OX}|$의 최솟값 $\overrightarrow{OP}$가 $\overrightarrow{OC}$와 평행한 경우가 $|\overrightarrow{OP}|$의 최솟값이며 $|\overrightarrow{OP}|\cdot2\sqrt3=3$에서 $|\overrightarrow{OP}|=\dfrac{\sqrt3}2$이다.

이때 $\overrightarrow{OX}$와 $\overrightarrow{OP}$가 같은 방향이면 $m=3\cdot\dfrac{\sqrt3}2-\sqrt2$이다. $Mm=4\sqrt2\left(\dfrac{3\sqrt3}2-\sqrt2\right)=6\sqrt6-8$이므로 $a=6$, $b=-8$이다.

정답: $100$

점 C에서 $xy$평면에 내린 수선의 발을 C′이라 하면 $\overline{CC'}=5$이므로 구 S는 $xy$평면에 접한다. $\overline{OC'}=\sqrt{2^2+(\sqrt5)^2}=3$이다.

평면 OPC는 점 C′을 지나므로 Q의 정사영 Q₁은 직선 OC′ 위에 있다.

$\overline{OQ_1}$이 최대가 되려면 Q는 C를 지나고 직선 OC′과 평행한 직선이 구와 만나는 점 중 $x$좌표가 양수인 점이다. 이때 $\overline{OQ_1}=3+5=8$이다.

삼각형 OQ₁R₁의 넓이가 최대가 되려면 R은 C를 지나고 직선 CQ에 수직인 직선이 구와 만나는 점이다. 이때 $\overline{R_1C'}\perp\overline{OC'}$이고 $\overline{R_1C'}=5$이다.

따라서 삼각형 OQ₁R₁의 최대 넓이는 $\dfrac12\cdot8\cdot5=20$이다.

점 P에서 직선 QQ₁에 내린 수선의 발을 H라 하면 $\overline{PH}=8$, $\overline{QH}=5-1=4$이므로 $\overline{PQ}=\sqrt{64+16}=4\sqrt5$이다.

점 P에서 직선 RR₁에 내린 수선의 발을 G라 하면 $\overline{PG}=\overline{OR_1}=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$이고 $\overline{RG}=4$이다. 따라서 $\overline{PR}=\sqrt{34+16}=5\sqrt2$이다. 직각삼각형 CQR에서 $\overline{QR}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt2$이다. 따라서 삼각형 PQR은 $\overline{PR}=\overline{QR}$인 이등변삼각형이다.

선분 PQ의 중점을 M이라 하면 $\overline{RM}=\sqrt{\overline{PR}^{\,2}-\overline{PM}^{\,2}}=\sqrt{50-20}=\sqrt{30}$이다. 삼각형 PQR의 넓이는 $\dfrac12\cdot4\sqrt5\cdot\sqrt{30}=10\sqrt6$이다.

두 평면 사이의 각을 $\phi$라 하면 $xy$평면 위로 정사영한 삼각형 OQ₁R₁의 넓이는 삼각형 PQR의 넓이와 관계되어 $20=10\sqrt6\cos\phi$이므로 $\cos\phi=\dfrac{\sqrt6}3$이다. 삼각형 OQ₁R₁을 평면 PQR 위로 정사영한 넓이는 $20\cos\phi=\dfrac{20\sqrt6}3$이다. $p=3$, $q=20$이므로 $p+q=23$이다.

정답: $23$