이번 시간에는 회전체 문제를 유형별로 정리해 보았습니다. 기본적인 문제부터 원뿔과 원뿔대에 숨겨진 비율과, 원뿔과 원기둥의 전개도를 이용한 최단거리 문제를 다루었습니다.
개요
회전체의 단면 문제
회전하기 전 도형 추론 문제
[문제] 평면도형을 직선 $l$을 중심으로 1 회전하여 얻은 회전체에 대하여 회전축과 평면도형을 그림으로 나타내어라.
[풀이]
회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면 $\rightarrow$ 회전축에 대칭인 두 도형 $\rightarrow$ 하나를 회전축 $l$을 중심으로 회전 $\rightarrow$ 회전체
따라서 회전하기 전 도형은 다음과 같이 그릴 수 있다.
원뿔과 원뿔대의 단면
[문제]
주어진 회전체의 단면에 대하여 다음 물음에 답하여라.
- 원뿔의 단면으로 적절하지 않은 것을 찾아라.
- 원뿔대의 단면으로 적절하지 않은 것을 찾아라.
[풀이]
- 원뿔을 자른 단면이 아닌 것은 4번 사다리 꼴이다.
- 원뿔대를 자른 단면이 아닌 것은 5번 이등변삼각형이다.
원뿔곡선: 원, 타원, 포물선, 쌍곡선
위와 같이 합동인 원뿔을 나란히 쌓고 평면으로 자르면 아래와 같은 도형이 만들어 진다.
- 원(circle) : 회전축과 수직인 평면
- 포물선(parabola) : 모선과 평행인 평면
- 타원(ellipse): 원과 포물선 사이
- 쌍곡선(hyperbolas): 두 원뿔과 동시에 만나는 평면
원뿔의 전개도와 반지름 비율 문제
[문제] 모선의 길이가 $5$, 밑면의 반지름이 $3$인 원뿔의 전개도 에서 부채꼴의 중심각 크기를 구하여라.
[풀이]
\begin{align}360^\circ:x^\circ&=\text{원 O의 둘레}:\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{ACB}\\[1em]
&=\text{원 O의 둘레}:\text{원 P의 둘레}\\[1em]
&=5:3\;(\because \; \text{원의둘레} \propto \text{반지름})\\
\therefore\; x^\circ&=360^\circ\times \dfrac{3}{5}=216^\circ \end{align}
원뿔대 전개도 심화 문제
[문제] 주어진 원뿔대의 전개도에 대하여 $x,\; y$에 적절한 값을 구하여라.
[중학교 1학년 풀이]
중심이 $\textcolor{blue}{O}$이고 반지름이 $\textcolor{blue}{x}$인 원의 둘레($\textcolor{blue}{l}$) 과 $\textcolor{blue}{\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{AB}}$에 대하여
- $360^\circ\;:\;y^\circ=\text{원 O의 둘레}:\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{AB}$
- $\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{AB}=\text{원 P의 둘레}$
\begin{align} \; 360^\circ\;:\;y^\circ&=\textcolor{blue}{\text{원 O의 둘레}:\text{원 P의 둘레}}\\[1em]
&=x:3\end{align}
동일한 논리로 다음이 성립한다.
\begin{align} \; 360^\circ\;:\;y^\circ&=\textcolor{red}{\text{원 O의 둘레}:\text{원 Q의 둘레}}\\[1em]
&=x+6:5\end{align}
따라서 $x:3=x+6:5$이고 $x=9$ 이고 $360^\circ\;:\;y^\circ=x:3=9:3$ 이므로 $y=12^\circ$이다.
[중학교 2학년 풀이]
부채꼴OAB $\sim$ 부채꼴 OCD 이므로
- $x:x+6=\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{AB}:\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{CD}$
- $\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{AB}:\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{CD}=3:5$
따라서 $x:x+6=3:5$ 이고 $x=9$이고,
$\dfrac{\textcolor{blue}{\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{AB}}}{\textcolor{blue}{\text{원 O의 둘레}}}=\dfrac{6\pi}{18\pi}=\dfrac{y^\circ}{360^\circ}$이므로 $y=120^\circ$이다.
최단거리 문제
원뿔에서 최단거리 문제
[문제] 모선의 길이 $12cm$, 밑면의 반지름의 길이가 $2cm$인 원뿔에 대하여 밑면의 한 점 $A$에서 출발하여 원뿔 위를 지나 다시 점 A로 돌아오는 최단거리를 구하여라. (입체도형의 겨냥도는 비율을 무시하고 그렸습니다.)
[풀이]
원뿔의 전개도에서 반지름의 비율에 대한 성질을 적용하면 (위쪽 문제 참고) $360^circ:\angle{AOA’}=12:2$ 이고 $\angle{AOA’}=60^\circ$이다.
$\triangle{OAA’}$는 정삼각형이고 최단거리는 전개도에서 직선거리($\overline{AA’}$)를 의미하고$\overline{AA’}=12cm$이다.
원기둥에서 최단거리 문제
[문제] 밑면의 반지름이 $\dfrac{2}{\pi}$이고, 높이가 $8$인 원기둥에 대하여 서로 다른 두 밑면 위의 점 A, B가 원기둥의 같은 방향에 있을 때 $A$에서 두 바퀴 회전하여 $B$까지 이르는 최단거리를 전개도를 이용해 그리고, 최단거리로 가기위한 지면사이의 각도를 구하여라. (입체도형의 겨냥도는 비율을 무시하고 그렷습니다.)
[풀이]
최단거리는 전개도상에서 직선거리를 의미하므로 그림에 그려보면 위와 같다.
밑면의 둘레는 $2\times \textcolor{blue}{\dfrac{2}{\pi}}\times \pi=4$이고, $\overline{A’P}=4$이므로 최단거리로 가기위해서는 지면에서 $45^\circ$를 유지하고 회전해야 한다.
이상으로 회전체 문제를 유형별로 정리해 보았습니다.