함수의 정의와 용어 정리 관계식 함숫값

이번 시간에는 함수의 정의와 함수의 관계식 함숫값에 대한 용어를 정리해 보기로 하자. 함수의 정의는 중학교 수준에서 독립변수와 종속변수 사이의 관계로 이해하고, 고등학교에서는 원소의 대응관계 수준에서 배우며, 대학에서는 함수를 순서쌍집합의 부분집합으로 추상화 하여 배우게 된다.

중학교 함수 개념에 대해 정리해 보고 앞으로 배울 함수의 개념에 대해서도  생각해 보는 시간을 갖도록 하자.

함수의 정의 (중학교)

$\bbox[#ffff00]{\text{입력값(독립변수)}}$을 하나를 받아 $\bbox[#dcff8c]{\text{출력값(종속 변수)}}$을 $\bbox[#94feff]{\text{오직 하나}}$만 반환하는 상황을 나타내기 위해 함수를 사용한다.

독립변수와 종속변수(중학교)

중학교에서는 함수를 변수의 개념으로 설명하고 이를 정리하면 다음과 같다.

  • 함수 : $x$값이 변함에 따라 $y$값이 오직 하나로 결정되는 관계

함수관계를 $’f’$라고 할 때 화살표를 이용하여 직관적으로 표현하면 다음과 같다.

  • $x\xrightarrow[]{\quad f \quad} y$ 

위의 내용을 다음과 같이 정리 할 수 있다.

‘$x$값이 변함에 따라 $y$값이 오직 하나로 결정되는 관계’ 만족하면 ‘$x$와 $y$는  함수관계 이다. 이를 기호로 다음과 같이 나타낸다. 

  • $x\xrightarrow[]{\quad f \quad} y$
  • $y=f(x)$

함수 용어 정리

다음으로 함수 $y=f(x)$와 관련된 용어를 정리해 보기로 하자.

함수 관계식(함수식)

$x \xrightarrow[\; \; \; \; \;]{f} y$인 함수에서 $f$의 관계식이란 다음을 의미한다.

  • 관계식 : $y$를 $x$에 대한 수식 표현한 것
    •  ‘함수 $f$ 의 관계식 기호’ : f(x)
  • 관계식 표현 : $\bbox[#ffff00]{f(x)}=(\text{수식})$

예를 들어 다음 함수의 관계식을 표현하는 방법에 대해 정리해 보자. 

다음으로 함숫값에 대해 정리해 보자.

함숫값 

앞서 언급한 함수 $y=f(x),\; f(x)=2x$에 대하여 $x$의 값에 따른 $y$값을 정리하면 다음과 같다. 

$\begin{align} x=1 &\xrightarrow[]{f(x)=2x} y=2 \; \overset{\underset{\mathrm{\text{기호}}}{}}{=}\;f(1)=2\\[1em]
x=2 &\xrightarrow[]{f(x)=2x} y=4\;
\overset{\underset{\mathrm{\text{기호}}}{}}{=}\;f(2)=4 \\[1em]
&\cdots \end{align}$

이와 같이 $a(\text{상수})$에 대하여 ‘$\color{blue} x=a\;\text{에서의 함숫값}\;y$’를 ‘$\bbox[#ffff00]{f(a)}$’ 로 표기한다. 

함수의 정의 (고등, 대학)

함수의 추상적인 개념을 동일하지만, 중학교에서는 독립변수와 종속변수에 대하여 정리하고 고등수학 에서는 원소의 대응관계 대학수학에서는 순서쌍 집합을 이용해 정의한다. 함수관계를 지정하는 문자는 주로 $f,\;g,\;h$를 사용한다. 여기서는 함수(fuction)의 영어 첫 글자인 ‘$f$’를 가지고 설명하겟다. 

정의2. 원소의 대응관계(고등) 

함수 : 집합 $A$의 $\bbox[#94feff]{\text{각 원소}}$가 집합$B$의 $\bbox[#94feff]{\text{유일한 원소}}$에 대응되는 관계 

정의3. 순서쌍의 집합(대학) 

함수 : 집합 $A$와 집합 $B$의 데카르트 곱 $A \times B$의 부분집합으로 다음을 만족하면 함수이다. 

함수와 함수가 아닌 것 

함수의 정의를 다시 한번 정리하고  학습을 이어가 보자. 

다음의 예시를 통해 함수와 함수가 아닌 것을 더 확실히 정리하고 학습을 마무리 하자. 

  • $y$ : 자연수 $x$의 약수 인 관계

$\begin{align} x=1 \; &\xrightarrow[]{\text{약수}}\; y=1\\[1em]
x=2 \; &\xrightarrow[]{\text{약수}}\; y=1, 2\\[1em]
x=3 \; &\xrightarrow[]{\text{약수}}\; y=1, 3\\[1em]
&\cdots \end{align}$ 

위의 결과 를 통해 $x=2$ $x=3$의 함숫값이 하나로 결정 되지 않기 때문에 함수가 아니라는 결론을 내릴 수 있다. 

$\begin{align} x=1 \; &\xrightarrow[]{\;\;x-1\;\;}\; y=\text{없음}\;(\because\; 0\neq\text{양수})\\[1em]
x=2 \; &\xrightarrow[]{\;\;x-1\;\;}\; y=1\\[1em]
x=3 \; &\xrightarrow[]{\;\;x-1\;\;}\; y=2\\[1em]
&\cdots \end{align}$ 

$x=1$의 함숫값이 없기 때문에 주어진 관계는 함수가 아니다. 

$\begin{align} x=1 \; &\xrightarrow[]{\;\;300\times x\;\;}\; y=300\\[1em]
x=2 \; &\xrightarrow[]{\;\;300\times x\;\;}\; y=600\\[1em]
x=3 \; &\xrightarrow[]{\;\;300\times x\;\;}\; y=900\\[1em]
&\cdots \end{align}$

$x$ 값이 정해지면 지불해야 하는 금액이 오직 하나로 결정되므로 위의 관계는 함수이다.

정리 

함수의 세가지 정의

함수의 기호 정리

  • 중학교 1학년 : $x\xrightarrow[]{\quad f \quad} y$
  • 중학교 2학년 : $y=f(x)$
  • 고등학교 1학년 : $ f\;:\; A \rightarrow\;B $

함수 용어 정리 

이상으로 함수의 정의 와 용어에 대한 정리를 마무리 하도록 하겠다