평행사변형이 되는 조건 증명까지 완벽 정리

평행사변형이 되는 조건

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평행사변형의 성질을 학습한 뒤에는 한 단계 더 나아가, 어떤 사각형이 평행사변형이 되는지를 판단하는 조건을 알아야 합니다. 평행사변형의 성질은 이미 평행사변형이라는 사실에서 출발하여 얻는 결과이고, 평행사변형이 되는 조건은 반대로 어떤 성질을 만족하는 사각형이 평행사변형임을 판단하기 위한 기준입니다. 이번 글에서는 먼저 성질과 조건의 차이를 구분하고, 평행사변형의 대표적인 성질들이 실제로 평행사변형이 되는 조건으로도 사용할 수 있는지 하나씩 증명해 보겠습니다.

성질과 조건

성질은 논리적인 구성에 따라 다음과 같이 두 가지로 사용할 수 있습니다. 따라서 수학에서는 성질이란 용어 대신 (~에 대한 성질, ~이 될 조건)이라는 용어로 구분하여 사용합니다.

  1. $\square{ABCD}$가 평행사변형 $\Rightarrow$ 평행사변형의 성질
  2. 평행사변형의 조건(성질) $\Rightarrow$ $\square{ABCD}$가 평행사변형

중학교 2학년부터 ~에 대한 성질, ~이 될 조건 이라는 용어를 수학적 용어로 일상언어(성질)과 구분 지어 생각하겠습니다.

평행사변형의 성질(복습)

평행사변형 $\square{ABCD}$에 대하여 다음의 성질이 성립함을 배웠습니다. (복습)

평행사변형의 성질
  1. 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다
  2. 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다
  3. 이웃하는 두 내각의 크기의 합이 모두 180도이다
  4. 두 대각선은 서로를 이등분한다
  5. 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다. (성질1, 정의 조합)

이번 시간에는 위의 성질들이 평행사변형이 되는 조건이 되는지 확인해 보도록 하겠습니다.

  • 평행사변형의 조건(성질) $\Rightarrow$ $\square{ABCD}$가 평행사변형

평행사변형이 되는 조건

사각형 $\square{ABCD}$가 어떤 성질을 만족할 때 평행사변형이 되면, 이 성질을 평행사변형이 될 조건 이라고 합니다. 먼저 평행사변형이 될 조건에 대해 정리하고 증명하도록 하겠습니다.

평행사변형이 되는 조건

다음과 같은 조건을 만족하면 평행사변형이 됩니다.

  1. 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
  2. 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.
  3. 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다.
  4. 이웃하는 두 내각의 크기의 합이 모두 180도이다
    • 증명을 통해 이웃하는 두 내각의 합이 모두 $180^\circ$인지 확인하지 않고, 아래 처럼 연속되는 세 내각에서 성립하는지만 확인하면 충분함을 알 수 있습니다.
    • $\angle{A} + \angle{\bbox[#ffff00]{B}} = 180^\circ$, $\angle{\bbox[#ffff00]{B}} + \angle{C} = 180^\circ$
  5. 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다.
1 증명

두 쌍의 대변의 길이가 같은 $\square{ABCD}$에서 대각선 $\overline{AC}$를 그으면 $\triangle{ABC} \equiv \triangle{CDA}$ (SSS 합동)이고 다음의 대응각이 같음을 알 수 있습니다

  1. $\angle{BAC} = \angle{DCA} \Rightarrow \overline{AB} \pa \overline{CD}$
  2. $\angle{ACB} = \angle{CAD} \Rightarrow \overline{AD} \pa \overline{BC}$

따라서 $\square{ABCD}$는 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형입니다.

평행사변형이 되는 조건 증명1. 두 쌍의 대변의 길이가 같은 사각형은 평행사변형이다.
2 증명

두 쌍의 대각이 각각 같은 $\square{ABCD}$에 대하여 $\angle{A}=\angle{C}$이고, $\angle{\bbox[#ffff00]{A}} + \angle{\bbox[#dcff8d]{B}} = 180^\circ$이고 $\angle{\bbox[#dcff8d]{B}} + \angle{CBE}=180^\circ$이므로 다음이 성립합니다.

  • $\angle{A} = \angle{CBE}\Rightarrow \overline{AD} \pa \overline{BC}$
  • $\angle{C} = \angle{CBE}\Rightarrow \overline{AB} \pa \overline{CD}$

따라서 $\square{ABCD}$는 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형입니다.

평행사변형이 되는 조건 증명2. 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같은 사각형은 평행사변형이다.
3 증명

두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하는 $\square{ABCD}$의 대각선 $\overline{AC}$, $\overline{BD}$의 교점을 $O$라 할 때 맞꼭지각을 끼인각으로 하는 마주 보는 삼각형이 SAS합동임을 알 수 있습니다. 따라서 다음이 성립합니다.

  1. $\angle{ABO} = \angle{CDO} \Rightarrow \overline{AB} \pa \overline{CD}$
  2. $\angle{DAO} = \angle{BCO} \Rightarrow \overline{AD} \pa \overline{BC}$

$\square{ABCD}$는 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형이다.

평행사변형이 되는 조건 증명3. 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하는 사각형은 평행사변형이다.
4 증명

이웃하는 두 내각의 합이 모두 $180^\circ$ 인 사각형 $\square{ABCD}$에 대하여 $\angle{A} + \angle{\bbox[#ffff00]{B}} = 180^\circ$, $\angle{\bbox[#ffff00]{B}} + \angle{C} = 180^\circ$일 때 $\angle{\bbox[#ffff00]{B}}=b$로 두면 다음이 성립합니다.

  1. $\angle{A}=\angle{C}=180-b$
  2. $\angle{D}=b$

따라서 $\angle{A}=\angle{C}$, $\angle{B}=\angle{D}$이고 조건2를 만족하므로 $\square{ABCD}$는 평행사변형입니다.

평행사변형이 되는 조건4 증명 이웃하는 두 내각의 크기의 합이 모두 180도인 사각형은 평행사변형이다.
5 증명
  • $\angle{ACB} = \angle{CAD} \Rightarrow \overline{AD} \pa \overline{BC}$
    나머지 한 쌍의 대변도 평행하다.

따라서 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 $\square{ABCD}$는 평행사변형입니다.

평행사변형이 되는 조건 증명5. 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같은 사각형은 평행사변형이다.

[이미지 출처: 개념원리]

평행사변형이 되는 조건은 단순히 다섯 가지 문장을 외우는 것이 아니라, 각각의 조건에서 두 쌍의 대변이 평행하다는 평행사변형의 정의를 어떻게 이끌어 내는지를 이해하는 것이 중요합니다. 두 쌍의 대변의 길이, 두 쌍의 대각의 크기, 두 대각선의 이등분, 이웃하는 내각의 합, 한 쌍의 대변의 평행과 길이 조건은 모두 서로 다른 출발점에서 평행사변형이라는 같은 결론에 도달합니다. 평행사변형의 성질과 평행사변형이 되는 조건을 서로 반대 방향의 논리로 구분해 이해하면 이후 직사각형, 마름모, 정사각형이 되는 조건을 학습할 때도 도형 사이의 관계를 훨씬 체계적으로 정리할 수 있습니다.