정수와 유리수 곱셈과 나눗셈 연산법칙

이번 시간에는 정수와 유리수의 곱셈과 나눗셈 연산법칙에 대해 정리해 보려고 한다.

곱셈의 연산법칙

초등학교 곱셈 확장

먼저 초등학교에서 배운 자연수의 곱셈에 적용되는 연산 규칙에 대해 정리해 보자. 다음의 예를 통해 곱셈은 교환과 결합이 가능한 연산임을 알 수 있다.

$\begin{align} 2&\times3\times5\times7\\[1em]
&=2\times5\times3\times7 \rightarrow\text{교환}\\[1em]
&=\bbox[#ffff00]{(2\times5)}\times\bbox[#94feff]{(3\times7)}\rightarrow\text{결합}\\[1em]
&=\bbox[#ffff00]{10}\times\bbox[#94feff]{21}\\[1em]
&=210\end{align}$

곱셈의 연산법칙

정수와 유리수 범위에서도 곱셈은 교환과 결합법칙이 성립한다. 이를 초등기호를 이용해 정리하면 다음과 같다.

세 수 $\triangle,\square,\bigcirc$에 대하여

• 교환법칙: $\triangle\times\square=\square\times \triangle$
• 결합법칙: $\triangle\times\square \times \bigcirc=\triangle \times \bbox[#ffff00]{(\square \times \bigcirc)}$

초등기호를 대신해 문자를 사용하면 다음과 같다.

세 수 $a,b,c$에 대하여

• 교환법칙: $a\times b=b\times a$
• 결합법칙: $a\times b\times c=a\times \bbox[#ffff00]{(b\times c)}$

곱셈은 교환, 결합이 가능하지만 나눗셈은 불가능하다는 것에 주의 하자.

• $4\div 2 \neq 2\div 4$
• $8\div2\div2\neq8\div(2\div2)$

정수와 유리수의 곱셈

초등학교에서 배운 곱셈을 기준으로 정수의 곱셈을 학습하고 이 규칙을 유리수의 곱셈까지 확장해 적용하기로 하자.

정수의 곱셈

$(+2)$에 (양수)를 곱하고, (음수)의 곱셈에 대해 확장하면 아래의 왼쪽 표와 같다. 그리고 교환법칙에 따라 $(+2)\times(-2)=(-2)\times(+2)=-4$이고, $(-2)$에 $(+1),0$을 곱한 결과를 정리하고 (음수)의 곱셈에 대해 확장하면 아래의 오른쪽 표와 같다.

위의 표에 나타난 곱셈의 결과를 정리하면 다음과 같다.

$(\bbox[#ffff00]{\pm}\;\bbox[#ffce8a]{\triangle})\times(\bbox[#ffff00]{\pm}\;\bbox[#ffce8a]{\square})=(\bbox[#ffff00]{\text{부호}})(\bbox[#ffce8a]{\text{숫자}})$

• $\bbox[#ffff00]{\text{부호}}\begin{cases}
  \text{동일 부호}:\; \bbox[#ffc5fd]{+}\\[1em]
  \text{반대 부호}:\; \bbox[#94feff]{-}\\[1em]
  \end{cases}$
• $\bbox[#ffce8a]{\text{숫자}}: \text{ 절댓값의 곱}\;\triangle\times\square$

유리수의 곱셈

유리수도 정수와 같이 증가, 감소와 같은 성질이 반대되는 크기를 나타내는 수 이고, 곱셈의 부호와 수를 결정하는 방법이 동일하다.

정수와 유리수의 나눗셈

분수의 나눗셈(초등)

초등학교에서 배운 분수의 나눗셈을 ‘역수’라는 개념을 이용해 다시 정리하고, 나눗셈에 역수를 곱하는 원리에 대해 학습해 보자.

$\dfrac{3}{5}\div\dfrac{3}{2}$을 계산하는 방법에 대해 초등학교에서 $\dfrac{3}{2}$의 분모와 분자를 바꾸어 $\dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{5}$ 곱하는 것으로 학습하였다.

왜 이렇게 계산할 수 있는지 원리에 대해 간단히 살펴보자.

• $\dfrac{3}{5}\div{\color{#0000ff}\dfrac{3}{2}}\\[1em]$의 계산
• $\dfrac{3}{5}\times\bbox[#ffff00]{1}=\dfrac{3}{5}\times\bbox[#ffff00]{{\color{#dc143c}\dfrac{2}{3}}\times{\color{#0000ff}\dfrac{3}{2}}}=\dfrac{3}{5}\\[1em]$
• $\dfrac{3}{5}\div\bbox[#ffff00]{{\color{#0000ff}\dfrac{3}{2}}}=\dfrac{3}{5}\times\bbox[#ffff00]{{\color{#dc143c}\dfrac{2}{3}}}$

분수의 나눗셈을 곱셈으로 고치기 위해서 ${\color{#0000ff}\text{나누는 수}}$와 ${\color{#dc143c}\text{곱하여 1이 되는 수}}$를 곱하면 된다.

역수의 정의

${\color{#0000ff}\text{어떤 수}}$와 ${\color{#dc143c}\text{곱하여 1이 되는 수}}$를 그 ${\color{#0000ff}\text{수}}$의 ${\color{#dc143c}\text{역수}}$라고 한다.

역수를 이용해 분수의 나눗셈을 정리하면 다음과 같다.

$\begin{align}
&(\text{분수})\div({\color{#0000ff}\text{분수}})\\[1em]
&\;\;=(\text{분수})\times({\color{#0000ff}\text{분수의 }}{\color{#dc143c}\text{역수}})
\end{align}$

위와 같은 성질은 정수로 확장할 수 있다.

• $\dfrac{9}{2}\times \bbox[#ffff00]{1}=\dfrac{9}{2}\times \bbox[#ffff00]{{\color{#0000ff}\left(-\dfrac{1}{3}\right)}\times {\color{#dc143c}\left(-\dfrac{3}{1}\right)}}=\dfrac{9}{2}\\[2em]$
• $\dfrac{9}{2}\div {\color{#dc143c}\left(-\dfrac{3}{1}\right)}=\dfrac{9}{2}\times{\color{#0000ff}\left(-\dfrac{1}{3}\right)}=-\dfrac{3}{2}\\[2em]$
• $\dfrac{9}{2}\div{\color{#dc143c}(-3)}\rightarrow\dfrac{9}{2}\times{\color{#0000ff}\left(-3\text{ 의 역수}\right)}$

$\begin{align}
&(\text{정수})\div({\color{#0000ff}\text{정수}})\\[1em]
&\;\;=(\text{정수})\times({\color{#0000ff}\text{정수의 }}{\color{#dc143c}\text{역수}})
\end{align}$

비슷한 방법으로 유리수에서도 다음이 성립한다.

$\begin{align}
&(\text{유리수})\div({\color{#0000ff}\text{유리수}})\\[1em]
&\;\;=(\text{유리수})\times({\color{#0000ff}\text{유리수의 }}{\color{#dc143c}\text{역수}})
\end{align}$

유리수의 역수 구하기

유리수의 역수를 구하는 방법에 대해 살펴보면 다음과 같다.

• $-\dfrac{2}{5}$의 역수: $\bbox[#ffff00]{-}\dfrac{\color{#0000ff}2}{\color{#dc143c}5}\times\bbox[#ffff00]{-}\dfrac{\color{#dc143c}5}{\color{#0000ff}2}=1$ 이므로 $\bbox[#ffff00]{-}\dfrac{\color{#0000ff}2}{\color{#dc143c}5}\xrightarrow[]{\text{역수}}\bbox[#ffff00]{-}\dfrac{\color{#dc143c}5}{\color{#0000ff}2}$이다.
• $-2$의 역수: $\bbox[#ffff00]{-}2=\bbox[#ffff00]{-}\dfrac{{\color{#0000ff}2}}{{\color{#dc143c}1}}\xrightarrow[]{\text{역수}}\bbox[#ffff00]{-}\dfrac{{\color{#dc143c}1}}{{\color{#0000ff}2}}$

유리수의 나눗셈 예시

위의 사실을 토대로 유리수의 나눗셈을 정리해 보면 다음과 같다.

덧셈(뺄셈)과 곱셈의 분배법칙

초등학교에서 $5\times(8+3)=5\times8+5\times3$이 성립 함을 학습하지만, 이 사실과 관련된 법칙을 따로 다루지는 않지만, 중학교에서는 이를 분배법칙으로 다룬다. 대부분 덧셈과 곱셈에 대한 분배법칙을 생각하지만, 뺄셈과 곱셈에 대한 분배법칙도 성립한다.

분배법칙을 기호를 이용해 나타내면 다음과 같다.

• 좌분배법칙
  • $\triangle \times(\square\bbox[#ffff00]{+}\bigcirc)=\triangle\times \square\bbox[#ffff00]{+}\triangle\times \bigcirc$
  • $\triangle\times(\square\bbox[#ffff00]{-}\bigcirc)=\triangle\times \square\bbox[#ffff00]{-}\triangle\times \bigcirc$

• 우분배법칙
  • $(\triangle\bbox[#ffff00]{+}\square)\times \bigcirc=\triangle\times \bigcirc\bbox[#ffff00]{+}\square\times \bigcirc$
  • $(\triangle\bbox[#ffff00]{-}\square)\times \bigcirc=\triangle\times \bigcirc\bbox[#ffff00]{-}\square\times \bigcirc$

문자를 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

세 수 $a,b,c$에 대하여

• $a\times(b \pm c)=ab\pm ac$ (복호동순)
• $(a\pm b)\times c=ac\pm bc$ (복호동순)

복호동순이라는 말은 위의 부호와 아래의 부호가 서로 짝을 이루어 식이 성립함은 의미한다.

정리

학습한 내용을 정리하고 마무리 하도록 하자.

정수와 유리수의 곱셈

$(\bbox[#ffff00]{\pm}\;\bbox[#ffce8a]{\triangle})\times(\bbox[#ffff00]{\pm}\;\bbox[#ffce8a]{\square})=(\bbox[#ffff00]{\text{부호}})(\bbox[#ffce8a]{\text{숫자}})$

• $\bbox[#ffff00]{\text{부호}}\begin{cases}
  \text{동일 부호}:\; \bbox[#ffc5fd]{+}\\[1em]
  \text{반대 부호}:\; \bbox[#94feff]{-}\\[1em]
  \end{cases}$
• $\bbox[#ffce8a]{\text{숫자}}: \text{ 절댓값의 곱}\;\triangle\times\square$

정수와 유리수의 나눗셈

$\begin{align}
&(\text{유리수})\div({\color{#0000ff}\text{유리수}})\\[1em]
&\;\;=(\text{유리수})\times({\color{#0000ff}\text{유리수의 }}{\color{#dc143c}\text{역수}})
\end{align}$

이상으로 정수와 유리수의 곱셈과 나눗셈에 대한 학습을 마무리 하도록 하겠다.