인수분해는 단순한 공식 암기에서 끝나지 않습니다. 실제 문제에서는 공통부분을 한 문자로 치환하거나, 항을 적절히 묶어 공식을 적용할 수 있는 꼴로 변형하는 과정이 필요합니다. 이 글에서는 인수분해의 응용 방법을 유형별로 정리하고, 각 유형마다 예제 풀이를 통해 단계적으로 익힐 수 있도록 구성했습니다.
인수분해의 응용
공통부분이 있는 식
공통부분을 한 문자로 놓은 후 인수분해 공식을 이용한다.
[예제] $6(x+y)^2 + 7(x+y) – 3$을 인수분해하시오.
풀이
$6(x+y)^2 + 7(x+y) – 3$
$= 6A^2 + 7A – 3 \ \leftarrow\ x+y=A$
$= (2A+3)(3A-1)$
$= \{2(x+y)+3\}\{3(x+y)-1\}\ \leftarrow\ A=x+y$
$= (2x+2y+3)(3x+3y-1)$
항이 4개인 식의 인수분해
- 공통부분이 나오도록 2개씩 짝을 짓는다.
- 공통부분을 한 문자로 놓고 식을 정리한다.
- 정리한 식을 인수분해한다.
- 원래의 식을 대입하여 정리한다.
항이 4개인 식은 (2개의 항)+(2개의 항)으로 묶는 방법을 이용합니다.
공통인 인수가 생기도록 (2개 항)+(2개 항)
[예제] $ac + a – c – 1$을 인수분해하시오.
풀이
$ac + a – c – 1 = a(c+1) – (c+1)$
$= (a-1)(c+1)$
$A^2 – B^2$ 꼴 (3개 항)+(1개 항)
[예제] $x^2 + y^2 – 2xy – 1$을 인수분해하시오.
풀이
먼저 완전제곱식이 되는 세개의 항을 찾아 묶으면 다음과 같이 인수분해 할 수 있습니다.
$x^2+ y^2 – 2xy – 1 = (x^2 – 2xy + y^2) – 1$
$= (x-y)^2 – 1^2$
$= \{(x-y)+1\}\{(x-y)-1\}$ (합차공식 이용)
$= (x-y+1)(x-y-1)$
$\left(\quad\right)\left(\quad\right)\left(\quad\right)\left(\quad\right)+k$ 꼴
공통부분이 나오도록 짝을지어 전개하고, 공통부분을 한 문자로 바꾸면 인수분해 가능한 경우도 있습니다.
[예제] $(x+1)(x+2)(x-3)(x-4)+6$을 인수분해하시오.
풀이
공통부분이 나오도록 짝을지어 전개하고 공통부분을 문자 $A$로 바꾸면 다음과 같이 인수분해 할 수 있습니다.
$(x+1)(x+2)(x-3)(x-4)+6$
$= \{(x+1)(x-3)\}\{(x+2)(x-4)\}+6$
$= (x^2-2x-3)(x^2-2x-8)+6$
$= (A-3)(A-8)+6\ \leftarrow\ x^2-2x=A$
$= A^2 – 11A + 30$
$= (A-5)(A-6)$
$= (x^2-2x-5)(x^2-2x-6)\ \leftarrow\ A=x^2-2x$
항이 5개 이상 또는 문자가 여러 개인 식
차수가 낮은 문자에 대하여 내림차순으로 정리한 다음 인수분해합니다.
- 내림차순으로 정리: 다항식을 특정 문자에 대하여 차수가 높은 항부터 낮은 항의 순서로 나열하는 것
이때 문자의 차수가 다르면 차수가 낮은 문자에 대하여 내림차순으로 정리하고, 문자의 차수가 모두 같으면 어느 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리하면 인수분해가 가능한 경우도 있습니다.
예) $x^2 – y^2 + 6x + 2y+8$를 인수분해하시오.
풀이
$x^2 – y^2 + 6x + 2y +8 = x^2 + 6x – y^2 + 2y+8$ $\leftarrow$ $x$에 대하여 내림차순으로 정리한다.
$= x^2 + 6x – (y^2 – 2y – 8)$
$= x^2 + 6x – (y-4)(y+2)$
$\begin{array}{r|lllc} &1&\quad & -(y-4) \longrightarrow & -y+4 \\ &1&\quad & +(y+2) \longrightarrow & y+2 \\ \hline & & & & 6 \end{array}$
$= \{x-(y-4)\}\{x+(y+2)\}$
$= (x-y+4)(x+y+2)$
인수분해 공식을 이용한 수 계산
복잡한 수의 계산에서 인수분해 공식을 이용하면 수의 계산을 간단히 할 수 있다.
⑴ 공통인 인수로 묶어 내기
$ma + mb = m(a+b)$
[예제] $15 \times 38 + 15 \times 22 = 15(38+22) = 15 \times 60 = 900$
⑵ 완전제곱식 이용하기
$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$, $\quad$ $a^2 – 2ab + b^2 = (a-b)^2$
[예제] $35^2 + 2 \times 35 \times 5 + 5^2 = (35+5)^2 = 40^2 = 1600$
⑶ 제곱의 차 이용하기
$a^2 – b^2 = (a+b)(a-b)$
[예제] $76^2 – 24^2 = (76+24)(76-24) = 100 \times 52 = 5200$
인수분해 공식을 이용한 식의 값 계산
주어진 식에 직접 대입하는 것보다 주어진 식을 인수분해한 후 문자의 값을 대입하여 식의 값을 구한다.
[예제] $x = 4-2\sqrt{3}$, $y = \sqrt{3}-1$일 때, $x^2 + 4xy + 4y^2$의 값을 구하시오.
풀이
주어진 식을 인수분해 하고 $x,\ y$에 주어진 수를 대입하면 다음과 같이 계산 할 수 있습니다.
$x^2 + 4xy + 4y^2 = (x+2y)^2$
$= \{(4-2\sqrt{3}) + 2(\sqrt{3}-1)\}^2$
$= (4 – 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} – 2)^2$
$= 2^2 = 4$