이차함수의 그래프에서 꼭짓점이나 축의 방정식, 그래프가 지나는 점을 알면 이차함수 식을 구할 수 있습니다. 다만 주어진 조건에 따라 식을 표준형으로 놓을지, 일반형으로 놓을지, 인수분해된 형태로 놓을지가 달라집니다. 이번 글에서는 조건에 맞는 이차함수의 식을 세우는 네 가지 방법을 정리하고, 각 방법을 핵심문제에 적용해 보겠습니다.
이차함수 식 구하기
1. 꼭짓점과 다른 한 점을 알 때
먼저 꼭짓점의 좌표가 $(-2,3)$인 포물선을 그래프로 하는 이차함수 식을 구하는 과정에 대해 정리해 봅시다.
설명
꼭짓점의 좌표가 $(-2,3)$이므로 이차함수의 식을 $y=a(x+2)^2+3\cdots(1)$으로 둘 수 있습니다.
그래프가 점 $(1,-6)$을 지나므로 (1)에 대입하면, $-6=a(1+2)^2+3$이고 풀면 $a=-1$입니다.
따라서 구하는 이차함수의 식은 $y=-(x+2)^2+3=-x^2-4x-1$ 입니다.
정리
꼭짓점 $(p,q)$와 그래프 위의 다른 한 점 $(x_1,y_1)$을 알 때, 이차함수는 하나로 결정되고, 식은 다음과 같이 구할 수 있습니다.
- 이차함수의 식을 $y=a(x-p)^2+q$로 놓는다.
- ①의 식에 점 $(x_1,y_1)$의 좌표를 대입하여 $a$의 값을 구한다.
꼭짓점의 좌표에 따라서 이차함수식은 다음과 같이 변형할 수 있습니다.
꼭짓점의 좌표에 따른 이차함수의 식
- $(0,0)$ ⇨ $y=ax^2$
- $(0,q)$ ⇨ $y=ax^2+q$
- $(p,0)$ ⇨ $y=a(x-p)^2$
- $(p,q)$ ⇨ $y=a(x-p)^2+q$
2. 축의 방정식과 두 점을 알 때
먼저 직선 $x=-1$을 축으로 하고 두 점 $(-3,0)$, $(2,-5)$를 지나는 포물선을 그래프로 하는 이차함수의 식을 구하는 과정에 대해 생각해 봅시다.
설명
직선 $x=-1$을 축으로 하므로 이차함수의 식을 $y=a(x+1)^2+q$로 둘 수 있습니다.
그래프가 점 $(-3,0)$을 지나므로 $0=a(-3+1)^2+q$, $0=4a+q \cdots (1)$
그래프가 점 $(2,-5)$를 지나므로 $-5=a(2+1)^2+q$, $-5=9a+q\cdots (2)$
(1), (2)를 연립하여 풀면 $a=-1$, $q=4$이고,
따라서 구하는 이차함수의 식은 $y=-(x+1)^2+4=-x^2-2x+3$입니다.
정리
축의 방정식 $x=p$와 그래프 위의 두 점 $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$를 알 때,
- 이차함수의 식을 $y=a(x-p)^2+q$로 놓는다.
- ①의 식에 두 점 $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$의 좌표를 각각 대입하여 연립방정식 세우고, $a$, $q$의 값을 구한다.
3. 서로 다른 세 점을 알 때
이번에도 먼저 세 점 $(0,8)$, $(-2,0)$, $(2,8)$을 지나는 포물선을 그래프로 하는 이차함수의 식을 $y=ax^2+bx+c$라 할 때, 상수 $a$, $b$, $c$를 구하는 과정에 대해 정리해 봅시다.
설명
$x=0$, $y=8$을 대입하면 $8=c$입니다
$x=-2$, $y=0$을 대입하면 $0=4a-2b+8\cdots (1)$
$x=2$, $y=8$을 대입하면 $8=4a+2b+8\cdots (2)$
(1), (2)를 연립하여 풀면 $a=-1$, $b=2$ 입니다.
정리
그래프 위의 세 점 $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, $(x_3,y_3)$을 알 때,
- 이차함수의 식을 $y=ax^2+bx+c$로 놓는다.
- ①의 식에 세 점 $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, $(x_3,y_3)$의 좌표를 각각 대입한 다음, 연립방정식을 풀어 $a$, $b$, $c$의 값을 구한다.
4. 두 $x$절편과 다른 한 점을 알 때
예를 먼저 정리하고 일반적인 상황에 대해 정리해 보겠습니다. 그림과 같은 포물선을 그래프로 하는 이차함수의 식을 구해봅시다.
설명
$x$축과 두 점 $(-4,0)$, $(-1,0)$에서 만나므로 이차함수의 식을 $y=a(x+4)(x+1)\cdots (1)$로 놓을 수 있습니다.
그래프가 점 $(0,4)$를 지나므로 $4=a(0+4)(0+1)$이고, 이를 풀면 $a=1$임을 알 수 있습니다.
따라서 구하는 이차함수의 식은 $y=(x+4)(x+1)=x^2+5x+4$입니다.
정리
$x$축과의 두 교점 $(\alpha,0)$, $(\beta,0)$과 그래프 위의 다른 한 점 $(x_1,y_1)$을 알 때,
- 이차함수의 식을 $y=a(x-\alpha)(x-\beta)$로 놓는다.
- 위의 식에 점 $(x_1,y_1)$의 좌표를 대입하여 $a$의 값을 구한다.
이번 글에서는 이차함수의 식을 구할 때 주어진 조건에 따라 관계식을 선택하는 방법을 정리했습니다. 꼭짓점이나 축의 방정식이 주어진 경우에는 표준형을, 서로 다른 세 점이 주어진 경우에는 일반형을 이용합니다. $x$축과의 두 교점을 알 때는 두 일차식의 곱으로 나타내면 계산을 간단하게 시작할 수 있습니다. 어떤 형태로 식을 세우더라도 주어진 점의 좌표를 대입하여 남은 계수를 구한다는 점을 기억해 둡시다.