이차식의 인수분해

다항식을 두 개 이상의 인수의 곱으로 나타내는 것을 인수분해라고 합니다. 인수분해는 앞서 배운 곱셈공식의 역과정으로, 곱셈공식을 좌변과 우변을 바꿔서 적용하면 인수분해 공식이 됩니다.

이 글에서는 공통인수로 묶는 기본적인 인수분해부터 시작하여, 완전제곱식과 합차공식, 그리고 $x^2+qx+r$ 꼴과 $px^2+qx+r$ 꼴의 이차식을 인수분해하는 방법을 단계별로 살펴봅도록 하겠습니다. 특히 $px^2+qx+r$ 꼴을 대각선 방법으로 체계적으로 풀이하는 방법에 대해 정리해 보도록 하겠습니다.

다항식의 분배법칙

중학교 1학년, 2학년에서 다항식에 분배법칙을 적용하여 동류항의 계산과 식을 전개하는 방법에 대해 학습하였습니다.

분배법칙: $(a+b)x=ax+bx$
1. 중1: $ax+bx\ \xrightarrow[]{\text{동류항계산}}\ (a+b)x$
2. 중2: $(a+b)x\ \xrightarrow[]{\text{전개}}\ ax+bx$

중학교 1학년때 배운 동류항 계산은 동일한 문자가 곱해진 경우 문자가 같은 부분을 묶어서 계산하는 과정으로 학습하였고, 이를 더 확장하여 수학적으로 정리한 것을 인수분해 라고 합니다.

인수분해

인수: 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타낼 때, 각각의 식을 처음 다항식의 인수라 한다.
인수분해: 하나의 다항식을 두 개 이상의 인수의 곱으로 나타내는 것을 그 다항식을 인수분해한다고 한다.

모든 다항식에서 1과 자기 자신은 그 다항식의 인수이다.

참고. 소인수분해와 인수분해의 비교

소인수분해	인수분해
자연수를 소수의 곱으로 나타내는 것 예) $12 = 2^2 \times 3$	다항식을 인수의 곱으로 나타내는 것 예) $x^2 + 2x = x(x+2)$ (분배법칙)

기본적인 인수분해

다항식의 각 항에 공통인 인수가 있을 때는 분배법칙을 이용하여 공통인 인수를 묶어 내어 인수분해한다.

$ma + mb = m(a+b)$
주의. 인수분해할 때는 공통인 인수가 남지 않도록 모두 묶어야 합니다.

[예제] $4x^2 – 2xz^2$을 인수분해 하시오.

정답

$2x(2x – z^2)$

$a^2 \pm 2ab + b^2$꼴

곱셈공식 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, $(a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$ 에서 좌변과 우변을 바꾸면 인수분해 공식을 얻을 수 있습니다.

$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
$a^2 – 2ab + b^2= (a-b)^2$

[예제] $x^2 + 8x + 16$을 인수분해 하시오.

정답

$x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x+4)^2$

[예제] $x^2 – 4x + 4$을 인수분해 하시오.

정답

$x^2 – 2\times2x + 2^2 = (x-2)^2$

$a^2 – b^2$ 꼴

항이 2개이면서 제곱의 차의 꼴이면 다음과 같이 합과 차의 곱으로 인수분해 됩니다.

$a^2 – b^2 = (a+b)(a-b)$

[예제] $4a^2 – b^2$을 인수분해 하시오.

정답

$(2a)^2 – b^2 = (2a+b)(2a-b)$

$x^2 + \bbox[#ffff00]{q}x + \bbox[#dcff8d]{r}$ 꼴

$x^2 + (\bbox[#ffff00]{a+b})x + \bbox[#dcff8d]{ab}$이용

두 수 $a,\ b$를 곱하면 상수항의 계수$r=ab$ 이 되고, 두 수를 합하면 일차항의 계수 $q=a+b$가 되는 이차식은 다음과 같이 인수분해 할 수 있습니다.

$x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)$
1. 곱하여 상수항이 되고 합하여 $x$의 계수가 되는 두 정수 $a$, $b$를 찾는다.
2. $(x+a)(x+b)$ 꼴로 나타낸다.

[예제] $x^2 + 7x – 8$을 인수분해하시오.

풀이

오른쪽 표와 같이 곱이 $-8$인 두 정수를 먼저 찾은 후 그중에서 합이 $7$인 두 정수를 찾는다.
즉, 곱이 $-8$, 합이 $7$인 두 정수는 $-1$, $8$이므로

$x^2 + 7x – 8 = (x-1)(x+8)$

$\bbox[#94efef]{p}x^2+\bbox[#ffff00]{q}x+\bbox[#dcff8d]{r}$꼴

$\bbox[#94efef]{ac}x^2 + (\bbox[#ffff00]{ad+bc})x + \bbox[#dcff8d]{bd}$이용

곱하여 $x^2$의 계수 $p$가 되는 두 정수 $a$, $c$와 곱하여 상수항 $r$이 되는 두 정수 $b$, $d$ 중에서 $ad+bc=q$가되는 $a,\ b,\ c$를 찾아 다음과 같이 인수분해 할 수 있습니다.

$acx^2 + (ad+bc)x + bd=(ax+b)(cx+d)$

이차식의 인수분해 요령

곱하여 $x^2$의 계수가 되는 정수 $a,c$를 세로로 나열
곱하여 상수항이 되는 $b,d$를 세로로 나열
대각선으로 곱하여 더한 값이 $x$의 계수가 되는 조합을 찾는다.
$(ax+b)(cx+d)$꼴로 표현

대각선을 곱해 부호가 같은 경우

대각선을 곱해서 부호가 같은 경우가 나온다면 조합을 바꿔도 두 대각선 곱에서 부호가 통일되게 됩니다. 따라서 대각선을 곱한 두 수를 합한 결과와 일차항 계수가 같아지도록 조합을 생각하면 충분합니다. 만약 일차항의 계수와 부호가 반대가 되면 상수항의 부호를 모두 바꿔주면 됩니다.

$3x^2 + 11x+6$, $3x^2 -11x+6$

두 대각선을 곱하면 부호가 서로 같으므로 대각곱의 합이 일차항의 계수가 같아지도록 조합을 구성합니다. 만약 부호만 차이가 난다면 상수항의 부호를 반대로 바꾸면 됩니다.

대각선을 곱해 부호가 다른 경우

대각선을 곱해서 부호가 다른 경우가 나온다면 조합을 바꿔도 두 대각선 곱에서 부호는 항상 반대로 되게 됩니다. 따라서 대각선을 곱한 두 수의 차이가 일차항의 계수가 되도록 설정하면 됩니다. 만약 일차항의 계수의 부호가 반대로 나오면 상수항의 부호를 모두 바꾸면 됩니다.

$6x^2+xy-2y^2$, $6x^2-xy-2y^2$

두 대각선을 곱하면 두 값의 부호가 반대이고 따라서 이 값의 차이가 일차항과 같게 되도록 설정하면 됩니다. 만약 부호만 차이가 난다면 상수항의 부호를 반대로 바꾸면 됩니다.