이차방정식의 근을 직접 구하지 않고도 근의 종류와 실근의 존재 여부를 판단할 수 있는 방법이 있습니다. 중학교에서는 판별식이라는 용어를 직접 사용하지 않더라도 완전제곱식이나 제곱근의 성질을 이용하여 실근의 개수를 판단하는 문제를 자주 다루게 됩니다. 이번 글에서는 먼저 $a(x+p)^2=q$ 꼴에서 상수의 부호에 따라 근이 어떻게 달라지는지 살펴보고, 이를 $ax^2+bx+c=0$의 근의 공식과 연결하여 판별식 $D=b^2-4ac$의 의미와 근의 판별 방법, 일차항의 계수가 짝수인 경우 사용하는 $\dfrac{D}{4}$까지 정리해 보겠습니다.
이차방정식의 실근과 허근
지금까지는 이차방정식의 근을 실수의 범위에서 구하였으나 이제부터는 이차방정식의 근을 복소수의 범위에서 구해 보려고 합니다.
- $x$가 실수 범위일 때
- $x^2=9$의 근은 $x=\pm3$
- $x^2=-9$의 근은 없다.
- $x$가 복소수 범위일 때
- $x^2=9$의 근은 $x=\pm3$, 서로 다른 두 실근
- $x^2=-9$의 근은 $x=\pm3i$ 서로 다른 두 허근 (음수의 제곱근)
근의 판별
앞서 이차방정식의 근을 직접 구하지 않고도 근의 종류와 실근의 존재 여부를 판단할 수 있는 방법이 있습니다. 중학교에서는 판별식이라는 용어를 직접 사용하지 않더라도 완전제곱식이나 제곱근의 성질을 이용하여 실근의 개수를 판단하는 문제를 자주 다루게 됩니다. 이번 글에서는 먼저 $a(x+p)^2=q$ 꼴에서 상수의 부호에 따라 근이 어떻게 달라지는지 살펴보고, 이를 $ax^2+bx+c=0$의 근의 공식과 연결하여 판별식 $D=b^2-4ac$의 의미와 근의 판별 방법, 일차항의 계수가 짝수인 경우 사용하는 $\dfrac{D}{4}$까지 정리해 보겠습니다.
배운 내용을 정리하여 실근의 개수를 판별할 수 있는 방법에 대해 정리해 보기로 합시다.
$a(x+p)^2=q$ 근의 판별
$a(x+p)^2=q$ ($a\ne0$)는 $(x+p)^2=\boxed{\dfrac{q}{a}}$로 변형할 수 있고, $\boxed{\dfrac{q}{a}}=k$라고 할 때 $k$ 의 부호에 따라서 해는 다음과 같이 결정됩니다.
- $k>0$이면 $x=p \pm\sqrt{k}$ (서로 다른 두 실근)
- $k=0$이면 $x=p$ (서로 같은 두 실근, 중근)
- $k<0$일때
- $x$가 실수 범위: $k<0$ 이면 $k$의 제곱근은 없고 해가 없다.(중학교)
- $x$가 복소수 범위: $x=p \pm\sqrt{k}$ 서로 다른 두 허근을 갖는다.(고등학교)
$ax^2+bx+c=0$ 근의 판별
계수가 실수인 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 근의공식은 다음과 같습니다.
- $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
근호 안의 식$b^2-4ac$의 값의 부호에 따라 실근인지 허근인지를 판별할 수 있다. 이때 $b^2-4ac$를 이차방정식의 판별식이라 하고, 기호 $D$(Discriminant)로 나타냅니다.
- 판별식(Discriminant): $D=b^2-4ac$
판별식을 이용한 근의 판별
이차방정식 $ax^2+bx+c=0 $ 의 판별식 $D=b^2-4ac$를 이용하면 다음과 같이 근을 판별할 수 있습니다.
- $D>0\Longleftrightarrow$ 서로 다른 두 실근
- $D=0\Longleftrightarrow$ 서로 같은 두 실근(중근)
- $D<0\Longleftrightarrow$ 서로 다른 두 허근
- $D\ge0$ $\Longleftrightarrow$ 두 실근
주의
- 이차방정식에서 중근: 서로 같은 $\boxed{두\ 근}$을 의미
- 두 실근을 갖는다: 중근과 서로 다른 두 실근을 통틀어서 의미
- 서로 다른 두 실근을 가질 조건은 $D>0$이고 두 실근을 가질 조건은 $D\ge0$이다.
판별식의 부호에 따라 이차방정식의 근이 실근인지 허근인지 결정되는 이유에 대해 살펴봅시다.
설명
근의 공식에 의해 $a$, $b$, $c$가 실수인 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 두 근은 다음과 같습니다.
- $\alpha=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
- $\beta=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$2a$, $-b$는 실수이므로 $\sqrt{b^2-4ac}$에 의하여 근이 실근인지 허근인지 결정됩니다. 즉, $D=\bbox{b^2-4ac}$라 하면
- $D>0$이면 $\sqrt{\bbox{b^2-4ac}}$는 $0$이 아닌 실수, $\alpha$, $\beta$는 서로 다른 두 실근이다.
- $D=0$이면 $\sqrt{\bbox{b^2-4ac}}=0$이므로 $\alpha$, $\beta$는 서로 같은 두 실근이다. (중근)
- $D<0$이면 $\sqrt{\bbox{b^2-4ac}}$는 허수이므로 $\alpha$, $\beta$는 서로 다른 두 허근이다.
따라서 $D=b^2-4ac$의 부호에 따라 이차방정식의 근을 판별할 수 있습니다.
짝수공식의 판별식
일차항의 계수가 짝수인 이차방정식 $ax^2+2b’x+c=0$의 근의공식(짝수공식)은 다음과 같습니다.
- $x=\dfrac{-b’\pm\sqrt{b’^2-ac}}{a}$
따라서 근호안의 $b’^2-ac$이 이차방정식의 판별식이 됩니다. 짝수공식의 판별식은 다음과 같이 표현합니다.
- 짝수공식 판별식: $\dfrac{D}{4}=b’^2-ac$
- $\dfrac{D}{4}>0\Longleftrightarrow$ 서로 다른 두 실근
- $\dfrac{D}{4}=0\Longleftrightarrow$ 서로 같은 두 실근(중근)
- $\dfrac{D}{4}<0\Longleftrightarrow$ 서로 다른 두 허근
- $\dfrac{D}{4}\ge0$ $\Longleftrightarrow$ 두 실근
예제
이차방정식 $2x^2-6x-5=0$의 해를 판별해 봅시다.
풀이
일차항($-6x$)의 계수가 짝수이므로, 짝수공식의 판별식 $\dfrac{D}{4}$을 이용하여 다음과 같이 판별할 수 있습니다.
- $\dfrac{D}{4}=(-3)^2-2\times(-5)=19>0$
따라서 서로 다른 두 실근을 갖는다.
이차방정식 $x^2-16x+64=0$의 해를 판별해 봅시다.
풀이
일차항($-16x$)의 계수가 짝수이므로, 짝수공식의 판별식 $\dfrac{D}{4}$을 이용하여 다음과 같이 판별할 수 있습니다.
- $\dfrac{D}{4}=(-8)^2-1\times64=0$
이므로 중근을 갖는다.
이차방정식 $x^2-x+2=0$의 근을 판별해 봅시다.
풀이
판별식 $D=b^2-4ac$를 적용하여 판별하면 다음과 같습니다.
- $D=(-1)^2-4\times1\times2=-7<0$
이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다.
이차방정식의 판별식은 근의 공식에서 근호 안에 있는 식 $b^2-4ac$를 이용하여 근의 종류를 판단하는 방법입니다. $D>0$이면 서로 다른 두 실근, $D=0$이면 서로 같은 두 실근인 중근, $D<0$이면 서로 다른 두 허근을 갖습니다. 따라서 실근을 가질 조건은 $D\ge0$이고, 서로 다른 두 실근을 가질 조건은 $D>0$임을 구분해야 합니다. 또한 일차항의 계수가 짝수인 경우에는 $\dfrac{D}{4}=b’^2-ac$를 이용하면 계산을 보다 간단하게 할 수 있습니다. 판별식의 의미를 근의 공식과 함께 이해해 두면 근을 직접 계산하지 않고도 이차방정식의 근의 개수와 종류를 빠르게 판단할 수 있습니다.