이차방정식 판별식 실근 개수, 실근 존재 조건

이번 시간에는 이차방정식 판별식을 이용해 근의 개수와 실근의 존재 조건에 대하여 정리해 보기로 하자. 중학교에서는 판별식이라는 용어는 사용하지 않지만 판별식 개념을 사용하여 문제를 해결하는 경우가 많기 때문에 용어를 도입하기로 하자.

학습목표

• 이차방정식의 실근 개수를 판별식을 이용해 설명할 수 있다.
• 이차방정식의 실근 존재 조건을 판별식을 이용해 설명할 수 있다.

내용을 정리할 수 있는 학습지를 제공 하고 있으니 아래의 링크를 참고하길 바란다.

이차방정식 판별식

앞서 배운 내용을 정리하여 실근의 개수를 판별할 수 있는 방법에 대해 정리해 보기로 하자.

$a(x+p)^2=q \; (a\neq 0)$ 풀이

$a(x+p)^2=q \\ \rightarrow (x+p)^2=k 꼴로\;변형 \\ \rightarrow (x+p)=(k의 제곱근) \\ \rightarrow x=-p + (k의 제곱근)$

• $k>0$ : 실근 2개
• $k=0$ : 실근 1개
• $k<0$ : 실근 0개

$ax^2+bx+c=0 \; (a\neq0)$ 풀이

$ax^2+bx+c=0$의 근의공식을 유도하는 과정에서 아래와 같이 $a(x+p)^2=q$ 꼴의 식을 얻을 수 있다.

$\left(x+\dfrac{b}{2a} \right)^2=\dfrac {b^2-4ac}{4a^2}$

따라서 우변$\dfrac {b^2-4ac}{4a^2}$의 제곱근이 존재하는 지에 따라 아래와 같이 실근의 개수를 판별할 수 있다.

• $\dfrac {b^2-4ac}{4a^2}$ 의 부호 $\;\rightarrow\;$ 제곱근 개수$\;\rightarrow\;$ 실근의 개수

$ax^2+bx+c=0 \; (a\neq0)$ 실근의 개수 판별

따라서 $ax^2+bx+c=0 \; (a\neq0)$ 의 실근 개수를 판별하는 방법은 다음과 같다.

• $b^2-4ac>0\;\rightarrow\; 실근의\;개수\;:\;2개$
  이 때 실근은 서로 다른 두 실근이다.
• $b^2-4ac=0\;\rightarrow\; 실근의\;개수\;:\;1개$
  이 때 실근을 중근 이라고 한다.
• $b^2-4ac<0\;\rightarrow\; 실근의\;개수\;:\;0개$
  실수 범위에서 해가 없고, 서로 다른 두 허근을 갖는다.

이차방정식 판별식 Discriminant

$b^2-4ac$를 근의 개수를 판별하는 식이라는 의미로 Discriminant (판별식)이라고 하고 ‘D’로 나타낸다. 근의 공식에서 판별식(D)를 찾아 식을 정리하면 다음과 같다.

• $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\;\; 단,\;D=b^2-4ac$

실근의 존재조건

$ax^2+bx+c=0 \; (a\neq0)$ 의 실근 개수를 판별는 방법을 확장하여 실근의 존재 조건에 대해 생각해 보자.

• $b^2-4ac>0\;\rightarrow\; 실근의\;개수\;:\;2개$ $\rightarrow$ 실근이 존재
• $b^2-4ac=0\;\rightarrow\; 실근의\;개수\;:\;1개$ $\rightarrow$ 실근이 존재
• $b^2-4ac<0\;\rightarrow\; 실근의\;개수\;:\;0개$ $\rightarrow$ 실근이 존재하지 않음.

실근의 존재 조건

• $b^2-4ac \geq 0\;$ : 실근 존재
• $b^2-4ac < 0 \;$ : 실근이 존재하지 않음

오답체크

[문제] 이차방정식 $ax^2+6x+3=0$의 실근이 존재할 때 $a$값의 범위를 구하여라.

잘못된 풀이

실근이 존재할 조건은 $b^2-4ac\geq0$이므로

$6^2-4\times 3\times a \geq0$이고 $a\leq3$이다.

바른 풀이

주어진 방정식이 이차방정식이 되려면 $a\neq$이다.

실근이 존재할 조건은 $b^2-4ac\geq0$이므로

$6^2-4\times 3\times a \geq0$이고 $a\leq3$이다.

따라서 $a<0\ \; ,\;0<a\leq3$이다.

정리

$ax^2+bx+c=0\; a\neq0$ 의 판별식 $D=b^2-4ac$ 에 대하여

• 실근이 2개 = 서로 다른 두 실근일 조건 : $D>0$
• 실근이 1개 = 중근일 조건 : $D=0$
• 실근이 0개 = 서로 다른 두 허근일 조건 : $D<0$
• 실근이 존재할 조건 : $D\geq0$
• 실근이 존재하지 않을 조건 : $D<0$

이차방정식에 대한 더 많은 정보는 아래의 링크를 참고하길 바란다.

• 이차방정식, 판별식, 위키백과