이번 시간에는 원주각과 중심각사이의 관계를 확장하여 부채꼴의 호의 길이와 부채꼴의 넓이 사이의 관계에 대해 정리해 보기로 하자.
개요
학습목표
- 원주각의 기본성질 확장
- 원주각과 호의길이, 부채꼴의 넓이 사이 관계
원주각의 성질 (복습)
원주각의 성질을 본격적으로 다루기 전에 전 시간에 증명한 성질에 대해 확인하자.
- [$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{AB}$의 원주각] $=$ $\frac{1}{2}$ [$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{AB}$의 중심각]
- 복습 링크 : 원주각의 뜻과 원주각과 중심각 사이의 관계
원주각의 성질 확장
위에서 확인한 원주각의 기본성질을 확장하여 정리하고 중학교 1학년에 배운 중심각과 호의 길이와 넓이 사이의 관계를 연결지어 보자.
동일한 호에 대한 원주각
원주각에 대한 기본성질에 증명과정의 내용을 추가해 확장하면 다음과 같다.
[$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{AB}$의 원주각] : 일정
- $\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{AB}$의 중심각 : 유일 (일정)
- [$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{AB}$의 원주각] $=$ $\frac{1}{2}$ [$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{AB}$의 중심각]
- $\therefore$ $\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{AB}$의 원주각 : 일정
특히 중심각이 $180^{\circ}$인 반원에 대한 원주각은 $90^{\circ}$ 이다.
한 원 또는 반지름이 같은 두 원에서 원주각
한 원 또는 반지름이 같은 두 원에 대하여 서로 다른 두 호와 두 원주각 사이에는 어떤 관계가 있는지 학습해 보자.
반지름이 같은 두 원에서 길이가 같은 호에 대한 원주각의 크기는 같다.
- $\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{AB}=\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{CD}$ 이면 $\angle{AOB}=\angle{CO’D}$
- $\angle{APB}=a$이면 $\angle{AOB}=\angle{DO’C}=2a$이고 $\angle{DQC}=a$이다.
- $\therefore\angle{APB}=\angle{DQC}$
한 원의 길이가 같은 호에 대해서도 비슷한 방법으로 원주각의 크기 같음을 설명할 수 있다.
- 두 호의 길이가 같으면 두 호에 대한 원주각이 같다.
- 두 호의 원주각의 크기가 같으면 두 호의 길이가 같다.
두 호의 길이가 다를 때
[$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{AB}$의 원주각] $=$ $\frac{1}{2}$ [$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{AB}$의 중심각]이고, 중학교 1학년때 배운 중심각과 호의길이 부채꼴 넓이관계를 정리하면 다음과 같다.
- [$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{AB}$의 원주각] $\propto$ [$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{AB}$의 중심각]
- [$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{AB}$의 중심각] $\propto$ [$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{AB}$의 길이] $\propto$ [중심각과 호로 둘러싸인 부채꼴의 넓이]
이를 원주각의 입장에서 정리하면 원주각은 중심각과 정비례하고, 호의 길이와 정비례하며, 부채꼴의 넓이와도 정비례함을 알 수 있다. 원주각과 호의 길이, 부채꼴의 넓이 사이 관계에 대한 문제를 풀어보고 학습을 마무리 하기로 하자.
원주각과 호의 길이, 부채꼴의 넓이 사이 관계
다음 문제를 통해 개념을 더 정확하게 정리해 보자.
[문제] 원 $O$에서 길이가 $\pi$인 호$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{AB}$의 원주각이 $15^{\circ}$이고, 부채꼴 $COD$의 넓이가 $7\pi$일 때 $\angle{CPD}$의 크기를 구하여라.
- $\overline{OA}=r$ , $\angle{AOB}=2\times15^{\circ}=30^{\circ}$ 일 때
- $\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{AB}=2\pi r\times\frac{30}{360}=\pi$
- $[부채꼴AOB]=\frac{1}{2}\times6\times\pi=3\pi$
- [원주각] $\propto$ [부채꼴 넓이] : $15:3\pi=x:7\pi$
- $\therefore$ $x=35^{\circ}$
정비례에 대해 배웠지만 혹시나 하는 마음에서 다시 한번 정비례에 대한 내용을 정리해 보기로 하자.
- 한 값이 2,3,4..배로 증가할 때 다른 값도 2,3,4..배로 증가하면 두 값이 정비례 관계에 있다고 한다
- 두 값이 정비례관계에 있으면 비례식을 만족한다.
정리
이번 시간에 배운 내용을 간략히 정리하고 학습을 마무리 하도록 하자. 한 원 또는 반지름이 동일한 두 원에서 다음 값들은 서로 정비례 한다. 즉 비례식을 만족한다.
- [$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{AB}$의 원주각] $\propto$ [$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{AB}$의 중심각] $\propto$ [$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{AB}$의 길이] $\propto$ [부채꼴 $AOB $넓이]