완전제곱식은 수학을 공부하는 과정에서 가장 많이 등장하는 식이므로 성질과 조건 필요충분조건을 잘 정리해 두길 바란다. 이 식의 구조를 이해하지 못하면 많은 수학적 사실을 이해할 수 없기 때문에 꼭 구조를 확실히 정리하길 바란다.
개요
학습목표
- 완전제곱식의 성질과 조건에 대해 식을 이용해 설명 할 수 있다.
- $ax^2+bx+c=0$가 완전제곱식일 필요충분조건이 $b^2=4ac$임을 이해한다.
완전제곱식의 성질과 조건
정의
- 완전제곱식 : $a(x+k)^2$, $(a\neq0)$, ($k$ : 상수 또는 문자)
완전제곱식의 성질
완전제곱식의 구조를 알아보기 위해 아래 식을 전개해 보자.
- $a(x+k)^2=ax^2+2akx+ak^2$
위 식을 통해 완전제곱식은 아래와 같은 구조를 갖는다는 것을 알 수 있다.
- $(일차항\;)^2=4\times(이차항\;)\times(상수항\;)$
$(2akx)^2=4\times(ax^2)\times(ak^2)$
양변 $x^2$소거 : $(2ak)^2=4\times(a)\times(ak^2)$
$\therefore(일차항계수\;)^2=4\times(이차항계수\;)\times(상수항계수\;)$
$x$에 대한 이차식이 완전제곱식일 때 $b^2=4ac$
위의 완전제곱식의 성질에 따라 $ax^2+bx+c=0 \; (a\neq0)$ 완전제곱식이면 아래의 식이 성립한다.
- $(일차항계수\;)^2=4\times(이차항계수\;)\times(상수항계수\;)$
$\Rightarrow \; b^2=4ac$
$x$에 대한 이차식이 완전제곱식일 조건
결론부터 정리해 보면 $ax^2+bx+c=0 \; (a\neq0)$이 완전제곱식이 될 조건은 아래와 같다.
- $(일차항계수\;)^2=4\times(이차항계수\;)\times(상수항계수\;)$
$\Rightarrow\;b^2=4ac$
증명
$ax^2+bx+c=0$이 $b^2=4ac$을 만족한다고 하자.
- $ax^2+bx+c$
$=a(x^2+\dfrac{b}{a}x)+c$
$=a\{x^2+\dfrac{b}{a}x+(\dfrac{b}{2a})^2\}+c-\dfrac{b^2}{4a}$
$=a(x+\dfrac{b}{2a})^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a}$
$=a(x+\dfrac{b}{2a})^2 \; (\because b^2=4ac)$
$\therefore b^2=4ac \; 이면 \;ax^2+bx+c는\; 완전제곱식이다.$
완전제곱식의 필요충분조건
$x$에 대한 이차식
$x$에 대한 이차식 $ax^2+bx+c=0 \; (a\neq0)$에 대하여
- 완전제곱식이면 $b^2=4ac$이다.
- $b^2=4ac$이면 완전제곱식이다.
고등학교의 필요충분조건을 이용하면 아래와 같이 기호로 나타낼 수 있다.
- $[완전제곱식\;] \; \Leftrightarrow \; b^2=4ac$
이는 $x$에 대한 이차식 $ax^2+bx+c=0 \; (a\neq0)$에 대해 완전제곱식이란 조건과 $b^2=4ac$조건은 서로 바꿔서 이용해도 된다는 사실을 내포하고 있다.
일반적인 이차식이 완전제곱식이 될 필요충분조건
한 문자에 대한 내림차순으로 정리한 식에 대하여 (이차항)=$A$, (일차항)= $B$, (상수항)=$C$라고 할 때 이 식이 완전제곱식이 될 필요충분조건은 아래와 같다.
- $(일차항\;)^2=4\times(이차항\;)\times(상수항\;)$
$ \; B^2=4AC$
일반적인 상황에서의 증명은 더 까다롭고 고등학교 과정을 벗어나므로 위의 사실은 $x$에 관한 이차식에 대한 내용과 관련지어 직관적으로 정리해 두길 바란다.
완전제곱식 필요충분조건 변형
$x$에 대한 이차식 $ax^2+bx+c=0 \; (a\neq0)$이 완전 제곱식이 되는 필요충분조건을 변형하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
- $a$에 관한식 : $4ac=b^2 \; \Rightarrow \; a=\dfrac{b^2}{4c}$
- $c$에 관한식 : $4ac=b^2 \; \Rightarrow \; c=\dfrac{b^2}{4a}$
- $a=1$ 일 때 $c=\dfrac{b^2}{4}=\left(\dfrac{b}{2}\right)^2 ,\; c=(일차항 계수 절반\;)^2$
- $b$에 관한식 : $b^2=4ac \; \Rightarrow \; b=\pm\sqrt{4ac}$
완전제곱식이면 $a, b, c$ 값을 구하는 과정에 위와 같은 식을 이용 할 수 있다. 특히 최고차 계수가 1인 경우에 상수항($c$)이 $(일차항계수절반)^2$을 만족하면 완전제곱식이 된다는 사실을 반드시 기억하자. 중요한 내용이니 다시 한 번 정리하고 넘어가자.
- $x^2+bx+c=0$ 이 완전제곱식 $ \; \Leftrightarrow \; c=\left(\dfrac{b}{2}\right)^2$
연습문제
다음 식이 완전제곱식이 되도록 괄호 안에 적절한 값을 구하여라.
[문제1] $x^2+10x+(\;\;\;\;)$
이차항의 계수가 1이므로 다음과 같이 풀이 할 수 있다.
- $(일차항계수\;절반\;)^2=(\dfrac{10}{2})^2=25$
[문제2] $a^2+8ab+(\;\;\;\;)$
주어진 식을 $a$에 대한 이차식으로 두고 풀이하자. 이차항의 계수가 1이므로 일차항 계수는 $8b$로 계산하면 된다.
- $(일차항계수\;절반)^2=(\dfrac{8b}{2})^2=16b^2$
[문제3] $x^2+(\;\;\;\;)x+\dfrac{1}{25}$
괄호에 들어갈 식을 $B$로 두고 $b^2=4ac$ 식을 적용하여 풀이하면 된다. 양수의 제곱근을 구해야 하므로 값이 두 개 나오는 것에 유의 하자.
- $B^2=4\times1\times\dfrac{1}{25}=\dfrac{4}{25}, \; \therefore\; B=\pm\dfrac{2}{5}$
[문제4] $a^2+(\;\;\;\;)+49b^2$
괄호에 들어갈 식을 $B$로 두고 $B^2=4AC$식을 적용하여 풀이하면 된다.
- $B^2=4\times(a^2)\times(49b^2)$
$B=\pm\sqrt{14^2a^2b^2}=\pm14\times\left|a\right|\times\left|b\right|=\pm 14ab$
이 문제에서 루트와 제곱을 절댓값으로 풀어야 함에 유의하고, 마지막 과정에서 절댓값은 $\pm$가 있으므로 없어도 식이 성립함을 꼭 생각하고 넘어가도록 하자.
정리
완전제곱식에 대한 내용을 정리해 보자.
이차식이 완전제곱식일 필요충분조건
- 한 문자에 대한 내림차순으로 정리하였을 때
$(일차항\;)^2=4\times(이차항\;)\times(상수항\;) \; :\; B^2=4AC$
$x$에 대한 이차식이 완전제곱식일 필요충분조건
$ax^2+bx+c=0 \; (a\neq0)$이 완전제곱식이 될 필요충분조건은 아래와 같다.
- $b^2=4ac$
최고차항 계수가 1일 때 상수항 결정
$x^2+bx+c=0$이 완전제곱식이 될 때 상수항($c$)은 일차항절반의 제곱이다.
- $a=1$ 일 때 $c=\left(\dfrac{b}{2}\right)^2$