인수분해의 기본 공식을 익힌 뒤에는 식의 형태가 바로 공식과 연결되지 않는 복잡한 인수분해를 다루게 됩니다. 이런 식은 공통부분을 하나의 문자로 치환하거나, 복이차식의 구조를 이용하고, 여러 문자가 포함된 경우에는 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리하면 식의 구조를 보다 쉽게 파악할 수 있습니다. 이번 글에서는 복잡한 식을 인수분해할 때 사용하는 대표적인 방법을 정리하고, 각 방법이 실제 문제에서 어떻게 적용되는지 예제를 통해 살펴보겠습니다.
공통부분이 있는 식의 인수분해
공통부분이 있는 식의 경우에는 다음과 같은 방법으로 인수분해합니다.
- 공통부분이 쉽게 보이는 유형
- $(공통부분) \longrightarrow X$로 치환하여 $(준식)\longrightarrow (X에대한 식)$으로 나타낸다.
- $(X에대한 식)$을 인수분해한다.
- $X \longrightarrow (공통부분)$ 치환한 후 다시 인수분해한다.
- 공통부분이 생기도록 변형하는 유형
- $(\quad)(\quad)(\quad)(\quad)+k$의 꼴: 공통부분이 생기도록 두 개씩 짝을 지어 전개한 후 공통부분을 치환한다.
간단한 예로 $(x+1)^2+2(x+1)+1$을 인수분해 하는 과정을 살펴봅시다.
설명
$x+1=X$로 놓으면
$(x+1)^2+2(x+1)+1=X^2+2X+1=(X+1)^2=\{(x+1)+1\}^2=(x+2)^2$
예제
$(a^2+3a-2)(a^2+3a+4)-27$을 인수분해하시오.
풀이
$a^2+3a=X$로 놓으면 $(준식)=(X-2)(X+4)-27$이고,
인수분해하여 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
$(X-2)(X+4)-27$$=X^2+2X-35$$=(X+7)(X-5)$$=(a^2+3a+7)(a^2+3a-5)$
다른풀이
공통부분을
$(준식)=(a^2+3a-2)(a^2+3a-2+6)-27$
$=X(X+6)-27=X^2+6X-27$
$=(X+9)(X-3)$
$=(a^2+3a+7)(a^2+3a-5)$
$(x^2-3x)^2-2x^2+6x-8$을 인수분해하시오.
풀이
공통부분을 만들어 $(준식)=(x^2-3x)^2-2(x^2-3x)-8$로 정리하고, $x^2-3x=X$로 치환하면
$(x^2-3x)^2-2(x^2-3x)-8$$=X^2-2X-8$$=(X-4)(X+2)$
$X=x^2-3x$를 대입하고 인수분해하여 정리하면 다음과 같습니다.
$(X-4)(X+2)=(x^2-3x-4)(x^2-3x+2)$$=(x-4)(x+1)(x-1)(x-2)$
$(x-1)(x-3)(x+2)(x+4)+24$을 인수분해하시오.
풀이
이차항과 일차항이 같아지도록 일차식을 두 개씩 묶어서 $(준식)=\{(x-1)(x+2)\}\{(x-3)(x+4)\}+24$과 같이 계산하여 공통부분을 치환해 정리하면 다음과 같습니다.
$(준식)=(x^2+x-2)(x^2+x-12)+24$
$x^2-2=X$치환
$(준식)=(X-2)(X-12)+24$ $=X^2-14X+48$$=(X-6)(X-8)$
$X=x^2-2$대입하여 정리하면
$(x^2+x-6)(x^2+x-8)$ $=(x+3)(x-2)(x^2+x-8)$
공통부분을 치환하는 방법은 반복되는 식을 하나의 문자로 단순화하여 기본 인수분해 공식을 적용하는 방법입니다. 복이차식에서는 이와 비슷하게 $x^2$을 하나의 문자로 보는 방법을 먼저 시도하고, 그것으로 인수분해되지 않을 때는 완전제곱식의 차를 만드는 방법을 활용합니다.
복이차식의 인수분해
$x^4+ax^2+b$ ($a$, $b$는 상수)와 같이 차수가 짝수인 항과 상수항으로만 이루어진 다항식을 복이차식이라 합니다. 복이차식은 일반적으로 다음과 같은 두 가지의 방법으로 인수분해 할 수 있습니다.
- $x^2=X$로 치환하여 인수분해한다.
- ([방법 1]이 안될 때) 사차항과 상수항을 기준으로 이차항을 분리하여 $A^2-B^2$의 꼴로 변형한 후 인수분해한다.
간단한 예를 통해 정리해 봅시다.
$x^4-3x^2+2$를 인수분해 하여라.
풀이
$x^4-3x^2+2$에서 $x^2=X$로 치환하면
$x^4-3x^2+2=X^2-3X+2=(X-1)(X-2)$ $X=x^2$을 대입하여 인수분해 하면
$(x^2-1)(x^2-2)=(x+1)(x-1)(x^2-2)$
$x^4+3x^2+4을 인수분해 하여라.
풀이
$x^4+3x^2+4=(x^4+4x^2+4)-x^2=(x^2+2)^2-x^2=(x^2+x+2)(x^2-x+2)$
예제
$3x^4-x^2-2$을 인수분해 하여라.
풀이
$x^2=X$로 놓으면
$(준식)=3x^4-x^2-2=3X^2-X-2$ $=(3X+2)(X-1)$, $X=x^2$을 대입하여 정리하면,
$(3x^2+2)(x^2-1)$ $=(3x^2+2)(x+1)(x-1)$
$x^4-7x^2+12$을 인수분해 하여라.
풀이
$x^2=X$로 놓으면
$(준식)=x^4-7x^2+12=X^2-7X+12$$=(X-3)(X-4)$ $X=x^2$을 대입하여 정리하면,
$(x^2-3)(x^2-4)$$=(x^2-3)(x+2)(x-2)$
$x^4-8x^2+4$을 인수분해 하여라.
풀이
$x^4-8x^2+4$
$=(x^4-4x^2+4)-4x^2$
$=(x^2-2)^2-(2x)^2$
$=(x^2+2x-2)(x^2-2x-2)$
$x^4+2x^2+9$을 인수분해 하여라.
풀이
$x^4+2x^2+9$
$=(x^4+6x^2+9)-4x^2$
$=(x^2+3)^2-(2x)^2$
$=(x^2+2x+3)(x^2-2x+3)$
복이차식은 한 문자에 대한 식이므로 차수의 규칙을 이용해 구조를 단순화할 수 있었습니다. 여러 개의 문자가 함께 포함된 식에서는 먼저 어느 문자를 기준으로 정리할지를 결정한 뒤 공통인수나 상수항의 인수분해를 이용해야 합니다.
여러 개의 문자를 포함한 식의 인수분해
여러 개의 문자를 포함한 복잡한 식의 경우에는 다음과 같은 방법으로 인수분해 합니다.
- 차수가 가장 낮은 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다. 이때 차수가 모두 같으면 어느 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다.
- 공통인수가 있으면, 묶어내고 인수분해한다.
- 상수항이 길면, 상수항만 따로 인수분해한 다음 전체를 인수분해한다.
간단한 예를 통해 정리해 봅시다.
$x^2+xy+2x+y+1$을 인수분해 하여라.
풀이
$x^2+xy+2x+y+1$에서 차수가 가장 낮은 문자인 $y$에 대하여 내림차순으로 정리합니다.
$x^2+xy+2x+y+1$
$=(x+1)y+x^2+2x+1$
$=(x+1)y+(x+1)^2=(x+1)(x+y+1)$
예제
$x^3+x^2z+xz^2-y^3-y^2z-yz^2$을 인수분해하시오.
풀이
$(준식)=(x-y)z^2+(x^2-y^2)z+x^3-y^3$
$=(x-y)z^2+(x+y)(x-y)z+(x-y)(x^2+xy+y^2)$
$=(x-y)\{z^2+(x+y)z+x^2+xy+y^2\}$
$=(x-y)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)$
$ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)$을 인수분해하시오.
풀이
$(준식)=a^2b-ab^2+b^2c-bc^2+c^2a-ca^2$
$=(b-c)a^2-(b^2-c^2)a+b^2c-bc^2$
$=(b-c)a^2-(b+c)(b-c)a+bc(b-c)$
$=(b-c)\{a^2-(b+c)a+bc\}$
$=(b-c)(a-b)(a-c)=-(a-b)(b-c)(c-a)$
$2x^2+xy-y^2+10x+4y+12$을 인수분해하시오.
풀이
$(준식)=2x^2+(y+10)x-(y^2-4y-12)$
$=2x^2+(y+10)x-(y+2)(y-6)$
$=\{x+(y+2)\}\{2x-(y-6)\}$
$=(x+y+2)(2x-y+6)$
추가 정리
예제의 $ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)$처럼 $a$, $b$, $c$가 순환하는 유형의 경우는 인수에 대한 다음과 같은 특징이 있습니다.
- $a\pm b$를 인수로 가지면 $b\pm c$, $c\pm a$ 도 인수로 갖는다.
복잡한 식의 인수분해는 새로운 공식을 많이 외우는 것보다 식을 단순한 형태로 바꾸는 방법을 익히는 것이 중요합니다. 반복되는 공통부분이 있으면 하나의 문자로 치환하고, 복이차식은 $x^2$을 기준으로 이차식처럼 생각하며, 여러 문자가 포함된 식은 차수가 가장 낮은 문자를 기준으로 내림차순으로 정리합니다. 이렇게 식의 구조를 먼저 파악한 뒤 공통인수와 기본 인수분해 공식을 적용하면 복잡해 보이는 다항식도 단계적으로 인수분해할 수 있습니다.