이번 시간에는 자연수를 다루는데 기초가 되는 2,3,4,5,8,9,11,13의 배수 판정법에 대해 정리해 보자. 이를 이용하면 쉽게 약수를 구할 수 있어 소인수 분해를 이용한 모든 계산에 유용하게 사용할 수 있다.
모든 자연수는 1의 배수이기 때문에 2의 배수 부터 차근 차근 정리해 보기로 하자.
개요
2, 5, 4, 8 의 배수 판정법
2의 배수 판정법
마지막 한 자리가 $2$의 배수$\rightarrow$ $2$의 배수
예를 들어 다음과 같은 수는 2의 배수이다.
$\square \cdots \square \;0$
$\square \cdots \square \;2$
$\square \cdots \square \;4$
$\square \cdots \square \;6$
$\square \cdots \square \;8$
5의 배수 판정법
마지막 한 자리가 $5$의 배수$\rightarrow$ $5$의 배수
다음과 같은 수는 5의 배수이다.
$\square \cdots \square \;0$
$\square \cdots \square \;5$
4의 배수 판정법
마지막 두 자리가 $4$의 배수$\rightarrow$ $4$의 배수
일반적인 상황에 대한 엄밀한 증명으로 보일 수 있으나, 수의 구조가 잘 드러나지 않으므로 전형적인 예를 통해 정당화 하는 수준에서 다루기로 하자.
$\color{blue}{68}$이 $4$의 배수 이므로 $25\color{blue}{68}$도 $4$의 배수가 됨을 논리적으로 다음과 같이 보일 수 있다.
$12\color{blue}{68}=\begin{Bmatrix}
1\times \color{red}{1000} \rightarrow 1\times\color{red}{4\times 250} \\
+2\times \color{red}{100}\rightarrow 2\times\color{red}{4\times 25} \\
+\color{blue}{68} \rightarrow +\color{blue}{68}
\end{Bmatrix}$
$\color{red}{1000,100}$이 $\color{red}{4}$의 배수 이므로 나머지 두 자리$\color{blue}{68}$이 $4$의 배수 이면 $25\color{blue}{68}$도 $4$의 배수임을 알 수 있다.
8의 배수 판정법
마지막 세 자리가 $8$의 배수$\rightarrow$ $8$의 배수
$4$의 배수의 경우는 $100$이 $4$의 배수 임을 이용했다. 비슷한 방법으로 $1000$이 $8$의 배수임을 이용하면 $8$의 배수를 다음과 같이 판정할 수 있다.
$\color{blue}{528}=(8 \times 66)$은 $8$의 배수이고,이 수의 앞에 $24$가 붙어도 $24\color{blue}{528}$은 $8$의 배수임가 됨을 확인해 보자.
$24\color{blue}{528}=\begin{Bmatrix}
2 \times \color{red}{10000} \rightarrow 2\times \color{red}{(8\times1250)}\\
+4 \times \color{red}{1000} \rightarrow +4\times \color{red}{(8\times125)}\\
+\color{blue}{528} \rightarrow +\color{blue}{528}
\end{Bmatrix}$
$\color{red}{1000}$이 $8$의 배수이므로 $1000$보다 높은 자리에 어떤 수가 오더라도 모두 $8$의 배수이다. 따라서 남은 마지막 세자리만 8의 배수인지 확인하면 충분하다.
3,9,11의 배수 판정법
3의 배수 판정법
각 자리수의 합이 $3$의 배수 $\rightarrow$ $3$의 배수
$132$는 $1+3+2=6$이고 각 자리수의 합 $6$이 $3$의 배수이므로 $132$가 $3$의 배수임을 다음과 같이 판정할 수 있다.
$132=\begin{Bmatrix}
1 \times \color{red}{100} \rightarrow 1\times (1+\color{red}{99})\\
+3 \times \color{red}{10} \rightarrow +3\times (1+\color{red}{9})\\
+2 \rightarrow \ +2
\end{Bmatrix}$
$3$의 배수인 부분 전체가 $3$의 배수인 것에 영향을 주지 않는다. 따라서 다음과 같이 3의 배수를 판정 할 수 있다.
$\begin{Bmatrix}
1\times (1+\color{red}{99}) \rightarrow 1+ \color{red}{99} \Rightarrow 1\\
+3 \times (1+\color{red}{9}) \rightarrow +3+3\times\color{red}{9} \Rightarrow 3\\
+2 \rightarrow \ +2 \Rightarrow +2
\end{Bmatrix}$
$3$의 배수인 부분을 제외하고 남은 수의 합이 $3$의 배수인지 확인하면 3의 배수인지 확인 할 수 있다. 따라서 각 자릿수의 합이 3의 배수이면 3의 배수임을 알 수 있다.
9의 배수 판정법
각 자리수의 합이 $9$의 배수 $\rightarrow$ $9$의 배수
이 판정법을 이용해 $132$를 판정하면 $3$의 배수는 맞지만, $9$의 배수는 아니라는 결론을 내릴 수 있다. 다른 예를 통해 판정법이 맞는지 확인해 보기로 하자.
$234$는 $2+3+4=9$이고 각 자리수의 합 $9$는 $9$의 배수이므로 $234$가 $9$의 배수임을 다음과 같이 판정할 수 있다.
$234=\begin{Bmatrix}
2 \times \color{red}{100} \rightarrow 2\times (1+\color{red}{99})\\
+3 \times \color{red}{10} \rightarrow +3\times (1+\color{red}{9})\\
+4 \rightarrow \ +4
\end{Bmatrix}$
$9,99$는 9의 배수이므로 $3$의 배수 판정법에서와 비슷한 논리로 각 자리수의 합$2+3+4$이 $9$의 배수이면 $9$의 배수라고 할 수 있음을 알 수 있다.
11의 배수 판정법
(홀수번째 수의 합)$-$(짝수번째 수의 합) : $11$의 배수 $\rightarrow$ $11$의 배수 판정법
검증에 앞서서 $10,100,1000,10000,100000$에 가까운 $11$의 배수에 대해 정리해 보기로 하자.
- $10$ : $11=10 \color{red}{+1}$
- $100$ : $99=100 \color{blue}{-1}$
- $1,000$ : $1001=1,000 \color{red}{+1}$
- $10,000$ : $9999=100,000 \color{blue}{-1}$
- $100,000$ : $100,000=100,000 \color{red}{+1}$
- $\cdots$
이를 말로 정리해 보면 $11$의 배수는 자릿수에서 $1$을 더하거나 뺀 수 중에 적어도 하나 존재 한다. 이를 이용하여 $13695$가 11의 배수임을 보이는 과정을 통해 직관적으로 성립함을 확인해 보기로 하자.
$13695=\begin{Bmatrix}
1 \times 10,000 \rightarrow 1\times (9,999\color{red}{+1})\\
+3 \times 1,000 \rightarrow +3 \times (1,001 \color{blue}{-1})\\
+6 \times 100 \rightarrow +6 \times (99 \color{red}{+1})\\
+9 \times 10 \rightarrow +9 \times (11 \color{blue}{-1})\\
+5 \times 1 \rightarrow +5 \times (\color{red}{+1})
\end{Bmatrix}$
$9999,1001,99,11$이 $11$의 배수임을 이용하면, 11의 배수는 각 자리수를 번갈아 더하고 빼서 11의 배수를 판정 할 수 있음을 알 수 있다. 홀수번째 수를 더하면 $5+6+1$이고 짝수번째 수를 더하면 $3+9$이므로 둘을 빼면 0이고, 따라서 11의 배수로 판정할 수 있다.
이제부터 학습할 내용은 선택사항으로 중고등학교 학습에 필수적인 부분은 아니다. 수학적 호기심이 있다면 학습을 이어가 보자.
7,11,13의 배수 판정법
일의 자리부터 3자리씩 분리하여 번갈아 더하고 뺀 결과가
$\begin{Bmatrix}
7 \text{의 배수} \rightarrow 7 \text{의 배수}\\
11 \text{의 배수} \rightarrow 11 \text{의 배수}\\
13 \text{의 배수} \rightarrow 13 \text{의 배수}
\end{Bmatrix}$
$1001=7 \times 11 \times 13$임을 이용해 $7,11,13$의 배수는 다음과 같은 과정으로 검증 할 수 있다.
7의 배수 판정법
$164192$이 $7$의 배수임을 보이는 과정을 통해 직관적으로 정리해 보도록 하자. $+192-164=28$이 $7$의 배수이므로 주어진 수 $164192$이 $7$의 배수 라고 할 수 있음을 검증해 보자.
$164192=\begin{Bmatrix}
164 \times 1000 \rightarrow 164 \times (\color{blue}{1001}\color{red}{-1})\\
+192 \rightarrow +192
\end{Bmatrix}$
$1001$이 $7$의 배수이므로 남은수를 계산하여 $7$의 배수임을 확인하면 충분하다. $+192-164=28$이고 $7$의 배수이다 따라서 주어진 수 $164192$는 7의 배수이다.
11의 배수 판정법
이번에도 $135795$이 $11$의 배수임을 보이는 과정을 통해 직관적으로 정리해 보도록 하자. $+795-135=660$이 $11$의 배수이므로 주어진 수 $135795$이 $11$의 배수 라고 할 수 있음을 검증해 보자.
$135795=\begin{Bmatrix}
135 \times 1000 \rightarrow 135 \times (\color{blue}{1001}\color{red}{-1})\\
+795 \rightarrow +795
\end{Bmatrix}$
$1001$이 $11$의 배수이므로 남은수를 계산하여 $11$의 배수임을 확인하면 충분하다. $+795-135=660$이고 $11$의 배수이다 따라서 주어진 수 $135795$는 7의 배수이다.
13의 배수 판정법
설명은 $7,11$의 배수 판정법과 비슷하므로 식으로 정리하고 마무리 하도록 하자.
$160485=\begin{Bmatrix}
160 \times 1000 \rightarrow 160 \times (\color{blue}{1001}\color{red}{-1})\\
+485 \rightarrow +485
\end{Bmatrix}$
$+160-485=325$, $325=13\times 25$이며 $325$는 $13$의 배수이다 따라서 주어진 수 $160485$는 $13$의 배수이다.
이상으로 배수 판정법에 대한 포스팅을 마무리 하겠습니다.