반비례의 정의 관계식 그래프 성질

이번 시간에는 반비례에 대하여 정리해 보려고 한다. 반비례의 예시를 통해 반비례의 정의 성질 관계식에 대하여 정리하고, 반비례 그래프를 그리고 그래프의 성질에 대해 정리해 보기로 하자.

개요

반비례 예시

반비례에 대하여 수학적으로 정리하기 전 먼저 다음의 예시를 통해 두 변수 $(x,y)$사의의 관계에 대해 살펴보자.

넓이가 60인 직사각형의 가로($x$)의 길이와 세로 ($y$)의 길이 사이 관계

$\begin{align} x=&\;\;1\quad \quad 2\;\;\;\quad 3\quad \; \quad 4\quad \quad\;\; 5 \quad \cdots\\[1em]
y=&\;60 \quad\; 30\quad\;\; 20\quad \;\;\;15\quad\;\;\; 12\; \;\;\cdots \\[1em]\end{align}$

넓이가 일정한 직사각형의 가로의 길이($x$)와 세로의 길이($y$) 사이의 관계를 정리하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

$\begin{align} x\times y&=1\times60=2\times30=3\times20\\[1em]
&=4\times15=5\times12=60\end{align}$

$x\times y=\begin{cases}1\times60\xrightarrow[\;x:\;2\text{배}\;]{\;y:\;\dfrac{1}{2}\text{배}\;}2\times30\\[1em]
1\times60\xrightarrow[\;x:\;3\text{배}\;]{\;y:\;\dfrac{1}{3}\text{배}\;}3\times20\\[1em]
\quad \cdots \end{cases}$

위의 결과를 통해 두 변수 $x,\;y$사이의 관계를 정리해 보면 다음과 같다.

$x$값이 $2$배, $3$배, $4$배 $\cdots$ 이면
$y$값은 $\dfrac{1}{2}$배, $\dfrac{1}{3}$배, $\dfrac{1}{4}$배 $\cdots$ 가 되는 관계

위와 같은 성질을 만족하는 두 변수 사이의 관계를 반비례 관계라고 한다.

반비례의 정의와 성질

반비례의 정의

두 변수 $x$, $y$에 대하여 다음과 같은 성질을 만족하는 관계를 ‘반비례’라고 한다.

$x$값이 $2$배, $3$배, $4$배 $\cdots$ 이면
$y$값은 $\dfrac{1}{2}$배, $\dfrac{1}{3}$배, $\dfrac{1}{4}$배 $\cdots$ 가 되는 관계

반비례 관계는 $x(\neq0)$값에 따라 $y$값이 오직 하나($\bbox[#94feff]{x\text{값의 역수}}$)로 결정되기 때문에 $\bbox[#ffff00]{\text{함수}}$이다.

반비례의 성질

두 변수의 곱이 일정하다.

$\bbox[#ffff00]{x\text{값}}$이 $2$배, $3$배, $4$배 $\cdots\ \bbox[#ffc5fd]{\square}$배 됨에 따라 $\bbox[#dcff8c]{y\text{값}}$은 $\dfrac{1}{2}$배, $\dfrac{1}{3}$배, $\dfrac{1}{4}$배 $\cdots\ \bbox[#ffc5fd]{\dfrac{1}{\square}}$배 가 된다 따라서 두 변수의 곱을 정리하면 일정함을 알 수 있다.

$\bbox[#dcff8c]{x}\times \bbox[#ffff00]{y}\;\xrightarrow[y\text{값}:\;\dfrac{1}{\square}\text{배}\;]{x\text{값}:\;\square\text{배}} \bbox[#dcff8c]{x \times \square} \times \bbox[#ffff00]{y\times \dfrac{1}{\square}} = \bbox[#ffff00]{x} \times \bbox[#dcff8c]{y}$

$\therefore \; \bbox[#ffff00]{x\text{값}}\times \bbox[#dcff8c]{y\text{값}}= \text{일정}\\[1em]$

반비례 관계식

예로 들었던 상황을 관계식으로 정리하면 다음과 같다.

넓이가 60인 직사각형의 가로($x$)의 길이와 세로 ($y$)의 길이 사이 관계
- $x\times y=60\xrightarrow[\text{양변}\;\div x]{\text{등식의 성질}} y=\dfrac{60}{x}$

반비례 일반형 관계식

$x\times y$의 값이 일정하고, 일정한 값(상수)을 $a(\neq0)$로 두면 다음과 같이 표현 할 수 있다.

$x\times y= a \; ,(\text{단}, a\neq0)$
$\therefore \; y=\dfrac{a}{x}\;(\text{단}, \;a\neq0)$

여기서$a(\neq0)$조건은 $x,\;y$가 0이 될 수 없음을 알려 준다. $x\neq0$이므로 등식의 양변을 $x$나누어 정리할 수 있고, 반비례의 일반형 관계식을 얻을 수 있다.

이제 반비례 관계의 그래프에 대하여 정리해 보기로 하자.

반비례 그래프

반비례 관계식 $y=\dfrac{a}{x}\;(\text{단}, \;a\neq0)$의 그래프에 대해 학습해 보자.

$y=\dfrac{a}{x}\;(a>0)$ 그래프

$y=\dfrac{a}{x}\;(a>0)$의 그래프를 $y=\dfrac{1}{x},\; y=\dfrac{2}{x},\;y=\dfrac{1}{2x}$를 이용해 정리해 보자.

참고사항 $y=\dfrac{1}{2x}$은 반비례 이다.
- $y=\dfrac{a}{x}\xrightarrow[]{a=\dfrac{1}{2}} y= a \times \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2x}$

1단계: 대응표 그리기

$y=\dfrac{1}{x},\; y=\dfrac{2}{x},\;y=\dfrac{1}{2x}$ 관계식을 이용해 대응표 만들면 아래와 같다. 연산에 취약한 학생은 $x$ 값을 대입하여 계산하면서 나눗셈의 생략 표현과 역수를 이용한 계산을 연습하길 바란다.

$\begin{align}y=\dfrac{a}{x} &\xrightarrow[]{\div \text{부활}} y=a \div x\\[1em]
&\xrightarrow[]{\div \rightarrow \text{역수의 곱}} y=a \times (x\text{의 역수})\end{align}$