이번 시간에는 명제의 참과 거짓을 진리집합을 이용해 정리해 보려고 한다. 수학에서는 발견된 사실을 명제로 표현하고, 명제의 참과 거짓을 판단하는 증명의 과정을 거친다. 이 과정을 논리학이라고 하고 고등학교 수학을 학습하기 위해 매우 중요한 과정이다.
개요
명제
‘옳고 그름을 판정할 수 있는 문장이나 식’
예를들어 “맞꼭지각의 크기는 서로 같다”는 참인 명제이다.
명제는 주로 $p,q,r$을 이용해 나타낸다.
[개념주의]
바로 다음 학습하는 조건도 주로 $p,q,r$을 이용해 나타내는 경우가 많다.
조건$p,q$에 대하여 ‘$p$이면 $q$이다.’는 문장도 명제이다.
명제의 부정
명제 ‘$P$’의 부정은 ‘$p$가 아니다’이고,
기호로 ‘$\sim p$’ 로 나타낸다.
‘$\sim p$’는 ‘$p$가 아니다.’ 또는 ‘not $p$.’로 읽는다.
앞의 예시 부정하면 “맞꼭지각의 크기는 서로 같지 않다.”이다. 이를 통해 다음과 같은 사실을 알 수 있다.
명제의 부정에 관한 성질
$p$가 참 이면 $\sim p$은 거짓이다.
$p$가 거짓 이면 $\sim p$는 참이다.
조건
‘$x \in U$ 값에 따라 참 거짓이 결정되는 문장이나 식.’을
전체집합 ‘$U$에서 정의된 조건’ 또는 ‘집합 $U$에서의 조건’ 또는 ‘조건’ 이라한다.
기호
$x$에 대한 조건임을 강조하여 $p(x),q(x),r(x)$ 나타내거나
$x$에 대한 언급이 없어도 될 때 $p,q,r$로 표기한다.
진리집합
진리집합은 어떤 조건에 대한 진리집합으로 정의하고 정의는 다음과 같다.
‘전체집합 $U$에서 조건$p(x)$에 대하여 조건 $p(x)$가 참이 되게 하는 $U$의 모든 원소들의 집합’을 조건 $p(x)$의 진리집합 이라고 한다.
기호
‘조건 $p(x)$의 진리집합’은 대문자(집합표기) ‘$P$’로 나타낸다.
조건제시법 표기
$P=\left\{x|x \in U,\; p(x)가\;참\;\right\}$ 또는
간단히 $P=\left\{x|x \in U,\; p(x)\right\}$
혼동이 없다면 $P=\left\{x|p(x)\right\}$로 표기한다.
조건의 부정
‘$p$가 아니다.’를 ‘조건 $p$의 부정’이라 하고
기호로 $\sim p$로 나타낸다.
조건 $\sim p$의 성질
‘$\sim p$의 진리집합’은 $P^c$ 이다.
‘$\sim p$의 부정’은 $\sim (\sim p)=p$이고,
‘$\sim p$의 진리집합’은 $p$의 진리집합($P$)이다.
조건 ‘$p$ 또는 $q$’ , ‘$p$ 그리고 $q$’
조건 $p,q$에 대해
‘$p$ 또는 $q$’ , ‘$p$ 그리고 $q$’도 조건이다.
‘$p$ 또는 $q$’ , ‘$p$ 그리고 $q$’ 성질
조건 $p,q$의 진리집합을 각 각 $P, Q$라고 할 때 다음이 성립한다.
조건’$p$ 또는 $q$’의 진리 집합 $=$ $P \cup Q$
조건’$p$ 그리고 $q$’의 진리 집합 $=$ $P \cap Q$
‘$p$ 또는 $q$’ , ‘$p$ 그리고 $q$’의 부정
‘$p$ 또는 $q$’의 부정 $=$ ‘$\sim p$ 그리고 $\sim q$’
‘$p$ 그리고 $q$’의 부정 $=$ ‘$\sim p$ 또는 $\sim q$’
명제 $p \rightarrow q$
명제 ‘$p$이면 $q$이다.’
두 조건 $p,q$에 대하여 ‘$p$이면 $q$이다.’는 명제이고,
$p$를 ‘명제의 가정’, $q$를 ‘명제의 결론’ 이라고 한다.
기호
‘$p$이면 $q$이다.’를 $p \rightarrow q$로 표기한다.
명제 $p \rightarrow q$의 참 거짓
$p \rightarrow q$ 는 명제로 참, 거짓이 분명하고 참, 거짓을 다음과 같이 표기한다.
기호
$p \rightarrow q$ 이 참 : $p \Rightarrow q$
$p \rightarrow q$ 이 거짓 : $p \not \Rightarrow q $
$p \rightarrow q$ 와 $q \rightarrow p$ 모두 참 : $p \Leftrightarrow q$
$p \rightarrow q$의 참 거짓과 진리집합
두 조건 $p,q$와 각 조건의 진리집합 $P,Q$에 대하여 다음은 필요충분조건이다.
$p \Rightarrow q$ $\Leftrightarrow$ $P\subset Q$
$p \not \Rightarrow q $ $\Leftrightarrow$ $P \not \subset Q$
$p \Leftrightarrow q$ $\Leftrightarrow$ $P=Q$