명제와 진리집합 P이면 q이다

명제의 부정

명제 ‘$P$’의 부정은 ‘$p$가 아니다’이고,
기호로 ‘$\sim p$’ 로 나타낸다.
‘$\sim p$’는 ‘$p$가 아니다.’ 또는 ‘not $p$.’로 읽는다.

앞의 예시 부정하면 “맞꼭지각의 크기는 서로 같지 않다.”이다. 이를 통해 다음과 같은 사실을 알 수 있다.

명제의 부정에 관한 성질

$p$가 참 이면 $\sim p$은 거짓이다.
$p$가 거짓 이면 $\sim p$는 참이다.

기호

$x$에 대한 조건임을 강조하여 $p(x),q(x),r(x)$ 나타내거나
$x$에 대한 언급이 없어도 될 때 $p,q,r$로 표기한다.

진리집합

진리집합은 어떤 조건에 대한 진리집합으로 정의하고 정의는 다음과 같다.

‘전체집합 $U$에서 조건$p(x)$에 대하여 조건 $p(x)$가 참이 되게 하는 $U$의 모든 원소들의 집합’을 조건 $p(x)$의 진리집합 이라고 한다.

조건의 부정

‘$p$가 아니다.’를 ‘조건 $p$의 부정’이라 하고
기호로 $\sim p$로 나타낸다.

조건 ‘$p$ 또는 $q$’ , ‘$p$ 그리고 $q$’

조건 $p,q$에 대해
‘$p$ 또는 $q$’ , ‘$p$ 그리고 $q$’도 조건이다.

‘$p$ 또는 $q$’ , ‘$p$ 그리고 $q$’ 성질

조건 $p,q$의 진리집합을 각 각 $P,Q$라고 할 때 다음이 성립한다.
조건’$p$ 또는 $q$’의 진리 집합 $=$ $P\cup Q$
조건’$p$ 그리고 $q$’의 진리 집합 $=$ $P\cap Q$

‘$p$ 또는 $q$’ , ‘$p$ 그리고 $q$’의 부정

‘$p$ 또는 $q$’의 부정 $=$ ‘$\sim p$ 그리고 $\sim q$’
‘$p$ 그리고 $q$’의 부정 $=$ ‘$\sim p$ 또는 $\sim q$’

명제 ‘$p$이면 $q$이다.’

두 조건 $p,q$에 대하여 ‘$p$이면 $q$이다.’는 명제이고,
$p$를 ‘명제의 가정’, $q$를 ‘명제의 결론’ 이라고 한다.

기호

‘$p$이면 $q$이다.’를 $p\to q$로 표기한다.

명제 $p\to q$의 참 거짓

$p\to q$ 는 명제로 참, 거짓이 분명하고 참, 거짓을 다음과 같이 표기한다.

기호

$p\to q$ 이 참 : $p\Rightarrow q$
$p\to q$ 이 거짓 : $p\nRightarrow q$
$p\to q$ 와 $q\to p$ 모두 참 : $p\iff q$

$p\to q$의 참 거짓과 진리집합

두 조건 $p,q$와 각 조건의 진리집합 $P,Q$에 대하여 다음은 필요충분조건이다.

$p\Rightarrow q$ $\iff$ $P\subset Q$
$p\nRightarrow q$ $\iff$ $P\not\subset Q$
$p\iff q$ $\iff$ $P=Q$