동위각 엇각 증명 평행선의 성질과 평행할 조건 증명

• 엇각이 같으면 동위각도 같다.
  • $e=c$(엇각이 같다) 일 때, $c=a$(맞꼭지각) 이므로 $\bbox[#ffff00]{e}=c=\bbox[#ffff00]{a}$ 따라서 $a=e$ 즉 동위각도 같다.
• 동위각이 같으면 엇각도 같다.
  • $a=e$(동위각이 같다) 일 때 $a=c$(맞꼭지각) 이므로 $a=\bbox[#ffff00]{e}=\bbox[#ffff00]{c}$ 따라서 $e=c$ 즉 엇각도 같다.

위의 사실을 직접 보이는 것은 쉽지 않기 때문에 다음과 같은 논리를 사용하도록 하겠습니다.

• $a+b\neq180^\circ$이면 말이 안된다 따라서 $a+b=180^\circ$이다.

$a+b\neq180^\circ$인 경우는 다음의 두 가지 경우 뿐이므로 두 경우 모두 말이 안됨을 보이면 $a+b=180^\circ$라고 할 수 있습니다.

1. $a+b<180^\circ$이면 $\triangle{ABP}$를 만들 수 있습니다.
2. $a+b>180^\circ$이면 $c+d<180^\circ$이고, $\rightarrow \triangle{CDQ}$가 만들 수 있습니다.

위의 사실은 $l \pa m$이기 때문에 말이 안됩니다. 따라서 $a+b=180^\circ$입니다.

동위각과 엇각의 기본 성질에 의해 한 쌍의 엇각이 같음을 보이면 충분하다.

• $e+h=180^\circ$ (평각)
• $c+h=180^\circ$ ($l\pa m$)
• $e=c$ (엇각이 같다)

먼저 텃 번째 조건, 한 쌍의 동위각이 같으면 두 직선이 평행함을 보여보자. 이 증명도 다음과 같은 논리를 이용해 보겠습니다.

• 한 쌍의 동위각이 같을 때 두 직선이 평행하지 않는다면 말이 안된다. 따라서 평행하다.

$\angle{a}=\angle{e}=\angle{c}$이고 $l,\;m$이 평행하지 않는다면 오른쪽 또는 왼쪽에서 한 점에서 만나고 이 점을 각각 $P$또는 $Q$ 라고 두도록 하겠습니다.

1. $l,\;m$이 오른쪽에서 만나는 경우 : 교점 $P$가 있어서
   • $\triangle{CHP}$가 존재하고 $c+h<180^\circ,\;e+h=180^\circ$이고 $c<e$입니다.
     하지만 조건에서 동위각 $b=h$가 같으므로 $e=c$ 이고 이는 말이 안됩니다.
   • 따라서 $l,\;m$은 오른쪽에서 만날 수 없다.
2. $l,\;m$이 왼쪽에서 만나는 경우 : 교점 $Q$로 두어도 말이 안되는 상황이 발생합니다. 따라서 왼쪽에서도 만날 수 없습니다.

따라서 $l\pa m$일 수 밖에 없습니다.

$\bbox[#ffff00]{\text{엇각과 동위각 사이의 관계}}$와 $\bbox[#dcff8c]{\text{동위각이 같으면 두 직선이 평행하다}}$는 사실을 이용하면 다음과 같이 증명할 수 있다.

• 엇각이 같으면 동위각도 같다. 따라서 조건1 증명에 의해 두 직선이 평행합니다.

따라서 엇각이 같아도 두 직선이 평행합니다.