동위각과 엇각은 평행선과 관련된 각의 크기를 구할 때 가장 기본적으로 사용되는 성질입니다. 하지만 실제 문제에서는 단순히 동위각과 엇각을 찾는 것에서 끝나지 않고, 동측내각의 성질이나 각의 이등분선, 보조선, 종이접기와 같은 여러 조건이 함께 등장하는 경우가 많습니다. 이번 글에서는 동위각과 엇각의 성질을 활용하는 대표적인 문제 유형을 정리하고, 평행한 보조선을 이용한 풀이부터 종이접기, 심화 문제, 실생활과 연결된 문제까지 차례로 살펴보겠습니다.
동위각 엇각 문제
동측내각의 성질
평행한 두 직선 $l,\;m$과 직선 $n$이 한점에서 만날 때 주어진 $\angle{a},\; \angle{b}$와 두 각의 이등분 선의 교점 $C$에 대하여 다음이 성립 합니다.
- $a+b=180 ^\circ$
- $\angle{c}=90^\circ$
$l \pa m$ 이므로 동측내각의 합은 $180˚$입니다. 따라서 $a+b=180˚$ 임은 자명합니다. (동위각 엇각)
2. 증명
$l \pa m$ 이면 동측내각의 합 $a+b=180˚$ 이고, 동측내각의 이등분선의 교점 $C$를 포함하는 $\triangle ABC$에 대하여 다음이 성립합니다.
- $\angle CAB=\dfrac{a}{2}$, $\angle ABC=\dfrac{b}{2}$
- $\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{2}=90˚$
따라서 $\angle ACB=90˚$ 입니다.
평행한 보조선 그리기
보조선 1개
평행한 직선 $l$, $m$과 평행선 사이의 점 $A$를 지나는 두 반직선에 대하여 $A$를 지나고 $l$, $m$과 평행한 직선 $n$을 그리면 다음과 같은 사실을 정리할 수 있습니다.
- 엇각의 성질을 이용하여 $\angle{A}$의 크기를 구할 수 있다.
- 동측내각의 합을 적용하면 $a+b+c=360^\circ$
보조선 여러개
앞서 배운 유형을 확장하면 평행한 두 직선 $l,\;m$에 대하여 다음이 성립합니다.
종이접기
평행선이 포함된 종이접기는 다음과 같은 특징을 갖습니다.
- 접힌각은 크기가 같다.
- 동위각, 엇각의 크기가 같다.
직사각형 모양의 종이 $\square{ABCD}$를 접어서 만든 도형에 대하여 다음에 답하시오.
- $\angle{DEG}=a,\;\angle{AEF}=b$라고 할 때 $x,\;y$를 $a,\;b$에 대한 식으로 나타내어라.
- $\triangle EFG$가 이등변삼각형 임을 보여라.
- 점 $E$, $F$, $G$의 교각을 모두 $a,\;b$로 나타내어라.
1. 풀이
접힌각이 같아야 하므로 $\angle{GED’}=\angle{GED}=\angle{a}$ 이고 $\angle x$, $\angle y$는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
- $\angle{x}=\angle{AEG}=b+a$
- $\angle{y}=\angle{DEF}=2a$
2. 풀이
$\triangle EFG$의 내각에 접힌각과 엇각의 크기가 같음을 적용하면 다음과 같습니다.
- 접힌각: $\angle DEG =\angle FEG$
- 엇각: $\angle DEG =\angle EGF$
따라서 $\angle FEG= \angle EGF$ 이고 $\triangle EFG$은 이등변 삼각형 입니다.
3. 풀이
심화 문제
평행한 두 직선 $l,\;m$에 대하여 $\angle{ABC}=125^\circ$이고 다음을 만족할 때$\angle{ADC}$의 크기를 구해 봅시다.
- $3\angle{DAB}=2\angle{DAP}$
- $3\angle{BCQ}=5\angle{DCQ}$
풀이
주어진 조건을 기준(1)로 비교하여 비를 정리하면 다음과 같습니다.
- $3\angle{DAB}=2\angle{DAP}=1$
- $\angle{DAB}=\dfrac{1}{3}$, $\angle{DAP}=\dfrac{1}{2}$
- $\angle{DAB}:\angle{DAP}=\dfrac{1}{3}:\dfrac{1}{2}=2:3$
- $\angle{DAB}=2x,\;\angle{DAP}=3x$
- $3\angle{BCQ}=5\angle{DCQ}=1$
- $\angle{BCQ}=\dfrac{1}{3}$, $\angle{DCQ}=\dfrac{1}{5}$
- $\angle{BCQ}:\angle{DCQ}=\dfrac{1}{3}:\dfrac{1}{5}=5:3$
- $\angle{BCQ}=5y,\;\angle{DCQ}=3y,\;\angle{BCD}=2y$
점 $B,\; D$를 지나고 직선 $l,\; m$과 평행한 보조선을 그리면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
- $\angle{ABC}=5x+5y=125^\circ$
- $\angle{ADC}=3x+3y$
$5x+5y=125˚$이므로 $x+y=25˚$ 따라서 $\angle{ADC}$는 다음과 같습니다.
$\angle{ADC}$$=3x+3y$$=3(x+y)$$=3\times 25˚$$=75˚$
실생활 문제
카메라의 조리개를 조였을 때 오른쪽과 같이 작은 각들이 모여 점차적으로 $360˚$를 이루고 빛의 양을 줄여준다. 여기에는 동위각과 엇각의 원리가 숨어 있습니다.
평행한 두 직선 $l,\;m$에 대하여 $a+b+c+d+e+f$값을 구하는 문제를 생각해 봅다.
조리개의 구조를 이해하고 있다면 $a+b+c+d+e+f$는 조리개의 절반이기 때문에 $180˚$가 됨을 추측할 수 있습니다.
수학적으로 맞는지 풀어 봅시다.
풀이
주어진 각의 꼭짓점을 지나고 $l,\;m$에 평행인 보조선을 그리면 다음과 같이 동위각을 이용해 문제를 풀 수 있다.
$a+b+c+d+e+f=180^\circ$
이 과정은 정다각형의 외각의 크기 합이 $360^\circ$로 일정하다는 사실을 증명하는 과정의 일부입니다.
동위각과 엇각 문제를 잘 해결하려면 주어진 그림에서 같은 크기의 각을 바로 찾는 것뿐만 아니라, 필요한 경우 꼭짓점을 지나 평행한 보조선을 그려 각의 관계를 새롭게 만드는 것이 중요합니다. 동측내각의 합, 각의 이등분선, 종이접기에서 생기는 같은 각과 함께 활용하면 복잡해 보이는 문제도 여러 개의 기본 성질로 나누어 해결할 수 있습니다. 또한 카메라 조리개와 같은 실생활 구조에서도 평행선과 각의 성질이 활용되는 모습을 확인할 수 있습니다. 다양한 문제를 풀면서 어떤 위치에 보조선을 그어야 하는지, 어떤 동위각과 엇각을 이용해야 하는지를 스스로 판단하는 연습을 해보는 것이 좋습니다.