곱셈 나눗셈 생략 식의 값 번분수

이번 시간에는 문자와 식의 기본이 되는 곱셈과 나눗셈 생략, 식의 값 계산에 대해 학습해 보려고 한다.

곱셈 생략

(수)$\times$(문자), (문자)$\times$(수)

1. 곱셈생략, 수를 문자 앞
   $2\times x=2x,\;\;x\times(-3)=-3x$
2. $(\pm1) \times \text{(문자)}=\pm\text{(문자)}$
   $1\times x=x,\;\;(-1)\times a=-a$

다음에 주의하자.

• $0.1 \times a \neq 0.a$
  $0.1$은 $\pm1$ 이 아니기 때문에 곱셈을 생략할 수 없다.

(문자)$\times$ (문자)

1. 곱셈 생략, 알파벳 순서
   $(- x) \times a =(-1)\times \bbox[#ffff00]{x \times a}=-\bbox[#ffff00]{ax}$
2. 중복된 문자: 거듭제곱
   \begin{flalign}
   &x\times y \times (-1) \times x\\[1em]
   &=(-1)\times x\times x\times y\;\;\\[1em]
   &=-x^2y
   &&\end{flalign}

(수)$\times$(식), (식)$\times$(수) 곱셈 생

1. 곱셈 생략, 수를 괄호식 앞
   $(3x-2)\times(-5)=(-5)\times(3x-2)=-5(3x-2)$
2. $(\pm1) \times \text{(식)}=\text{(식)} \times (\pm1) \rightarrow \pm\text{(식)}$
   $(x+y)\times (-5)=(-5)(x+y)=-5(x+y)$

나눗셈 생략

초등학교에서 나눗셈을 분수(나눗셈 생략)로 나타내는 방법에 대해 배웠다. 이를 확장하여 분자와 분모가 정수인 경우에도 다음과 같이 나눗셈을 생략하기로 하자.

• 초등학교 : $2\div 3=\dfrac{2}{3}$
• 중학교 : 유리수 $a,\;b$에 대하여 $a\div b=\dfrac{a}{b}\;(b\neq0)$

이 때 나누는 수($b\neq0$)의 조건은 다음과 같이 생각할 수 있다.

• 피자 한 판을 나누는 상황으로 생각해 보자.
  • $\dfrac{1}{2}$개씩 나누면 2명에게 줄 수 있다.
  • $\dfrac{1}{4}$개씩 나누면 4명에게 줄 수 있다.
    $\cdots$
  • $0$ 개씩 나누면 무한 명에게 나누어 줄 수 있다.

이와 같은 이유로 나누는 수($b$)는 $0$이 되면 안된다.

나눗셈 분수 표기와 계산결과

이번 에는 $-(2\div3)$, $(-2)\div3$, $2\div(-3)$의 표기법과 계산 결과를 비교하여 분수 표기법과 계산결과 사이의 관계를 정리해 보자.

• $-(2\div3)=\bbox[#ffff00]{-\dfrac{2}{3}}\\[2em]$
• $(-2)\div3=\begin{cases} \text{분수표기: } \dfrac{(-2)}{3}\\
  \text{계산: } (-2)\times\dfrac{1}{3}=\bbox[#ffff00]{-\dfrac{2}{3}}\\
  \end{cases}\\[4em]$
• $2\div(-3)=\begin{cases} \text{분수표기: } \dfrac{2}{(-3)}\\
  \text{계산: } 2\times\dfrac{1}{-3}=\bbox[#ffff00]{-\dfrac{2}{3}}\\
  \end{cases}$

위의 식에서 $\dfrac{(-2)}{3}$, $\dfrac{2}{(-3)}$은 엄밀하게 말하자면 나눗셈을 생략한 표기법이다. 따라서 답을 쓸 때는 계산이 완료되어 부호와 숫자로 구분된 $-\dfrac{2}{3}$으로 작성하여야 한다.

위의 사실을 일반화 하여 위의 관계를 정리하면 다음과 같다.

• $-\left(\dfrac{a}{b}\right)=\dfrac{-a}{b}=\dfrac{a}{-b}\;\;(b\neq0)$

이를 통해 분수의 부호는 분자, 분모, 분수식 앞쪽으로 자유롭게 이동 가능함을 알 수 있다.

곱셈과 나눗셈 생략 예제

[문제] $y\div3\times x$를 간단히 하여라.

\begin{flalign}
y\div3\times x&=\dfrac{y}{3} \times \dfrac{x}{1}\\[1em]
&=\dfrac{y\times x}{3}\\[1em]
&=\dfrac{xy}{3}
&&\end{flalign}

주의 : $y\div3\times x\neq y\div (3x)$

[문제] $\dfrac{x}{1}=x$임을 보여라.

\begin{flalign}
&\dfrac{x}{1}=x\div 1=x\times \dfrac{1}{1}=x\\[1em]
&\therefore\; \dfrac{x}{1}=x
&&\end{flalign}

[문제] $\dfrac{y}{3x}$을 곱셈, 나눗셈을 생략하기 전 식으로 나타내라.

$\dfrac{y}{3x}=\begin{cases} \neq y\div 3\times x\cdots(1)\\[1em]
=(y) \div (3\times x)\cdots(2)\end{cases}$

(1)은 $y\div3$을 먼저 연산하고, (2)는 $(3\times x)$를 먼저 연산하기 때문에 다른식이다. 좌측과 같은 분수식을 나눗셈으로 고칠 때는 (2)와 같이 분자, 분모를 괄호로 묶어서 계산해야 한다.

식의 값

식의 값에서 식은 문자를 사용한 식을 의미하고, 값은 계산 결과 값을 의미한다. 문자를 사용한 식을 숫자로 계산하기 위해 문자대신 숫자를 넣어야 하고 이 과정을 대입이라고 한다. 이를 정리하면 아래와 같다.

• $\bbox[#ffff00]{\text{식의 값}}\rightarrow \begin{cases}\text{문자를 사용한 } \bbox[#ffff00]{\text{식}}\\[1em]
  \text{문자} \rightarrow \text{숫자}\cdots \bbox[#dcff8c]{\text{대입}}\\[1em]
  \text{계산한} \bbox[#ffff00]{\text{값}}\end{cases}$

대입 규칙

문자대신 수를 대입하는 과정에 대해 더 자세히 정리해 보면 다음과 같다.

• 생략된 곱셈, 나눗셈 기호 부활
• 음수를 대입 : 괄호 사용 $\rightarrow \bbox[#ffce8a]{(\text{음수}})\\[1em]$
• 분수식에 분수를 대입$\begin{cases}\text{나눗셈}\\[1em]
  \text{번분수 계산}\end{cases}$

먼저 문자가 포함된 식은 곱셈과 나눗셈을 생략하여 간단히 나타내기 때문에 수를 대입할 때 연산기호를 부활 시켜 대입해야 한다. 그리고 음수를 대입할 때는 연산기호과 음의 부호가 붙은 ‘음수’를 구분하기 위해 문자자리에 괄호를 이용해 $\bbox[#ffce8a]{(\text{음수}})$로 대입한다. 간단한 예를 들어 살펴보자.

• $3a+5\xrightarrow[]{a=-2} 3\times\bbox[#ffce8a]{(-2)}+5=-1$
• $3a+5\overset{\underset{\mathrm{a=-2}}{}}{=} 3\times\bbox[#ffce8a]{(-2)}+5=-1$

일반적으로 문자에 숫자를 대입하는 경우 $\xrightarrow[]{a=-2}\;,\;\overset{\underset{\mathrm{a=-2}}{}}{=}$를 이용해 식을 표현한다. 위의 식에서 대입을 통해 계산된 값 $\bbox[#ffff00]{-1}$을 식의 값이라고 한다.

이제 분수식에 분수를 대입하는 과정에 대해 살펴보자.

분수식에 분수를 대입

먼저 다음 문제를 나눗셈으로 계산하고 번분수에 대한 내용을 정리해 보기로 하자.

$\dfrac{b}{a}\xrightarrow[a=\dfrac{2}{3}]{b=\dfrac{4}{9}}\begin{cases}
\text{계산}: \dfrac{4}{9}\div\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}\times\dfrac{3}{2}=\dfrac{\bbox[#ffff00]{4\times 3}}{\bbox[#94feff]{9\times2}}\\[2em]
\text{번분수}: \dfrac{\;\dfrac{\bbox[#ffff00]{4}}{\bbox[#94feff]{9}}\;}{\;\dfrac{\bbox[#94feff]{2}}{\bbox[#ffff00]{3}}\;}=\dfrac{\bbox[#ffff00]{4\times 3}}{\bbox[#94feff]{9\times2}}\\
\end{cases}$

처음 나눗셈 계산을 통해 얻은 결과와 $\dfrac{\bbox[#ffff00]{4\times 3}}{\bbox[#94feff]{9\times2}}$ 번분수로 표현된 결과가 같아야 한다. 따라서 앞으로 번분수는 다음과 같이 계산하기로 하자.

• $\dfrac{\;\dfrac{\bbox[#ffff00]{d}}{\bbox[#94feff]{c}}\;}{\;\dfrac{\bbox[#94feff]{b}}{\bbox[#ffff00]{a}}\;}=\dfrac{\bbox[#ffff00]{d\times a}}{\bbox[#94feff]{c\times b}}$

다음 예제를 풀고 학습을 마무리 하도록 하자.

• $\dfrac{2b}{5a}\xrightarrow[a=\dfrac{2}{3}]{b=-\dfrac{10}{3}} \;\;\text{식의 값}?$

[나눗셈 풀이]
$\begin{align}2b\div 5a&= \left\{ 2\times \left(-\dfrac{10}{3}\right)\right\}\div \left\{ 5\times \left(\dfrac{2}{3}\right)\right\}\\[1em]
&=-\dfrac{2\times10}{3}\times\dfrac{3}{5\times 2}\\[1em]
&=-2\end{align}$

[번분수 풀이]

$\begin{align}\dfrac{2\times\left(-\dfrac{10}{3}\right)}{5\times\dfrac{2}{3}}&=\dfrac{\bbox[#ffc5fd]{-}\dfrac{\bbox[#ffff00]{2\times10}}{\bbox[#94feff]{3}}}{\dfrac{\bbox[#94feff]{5\times2}}{\bbox[#ffff00]{3}}}\\[1em]
&=\bbox[#ffc5fd]{-}\dfrac{\bbox[#ffff00]{2\times10\times3}}{\bbox[#94feff]{3\times 5\times2}}\\[1em]
&=-2\end{align}$

이상으로 문자와 식을 다루는 기초인 곱셈 나눗셈 생략, 식의 값과 번분수 계산에 대한 정리를 마무리 하도록 하겠습니다.