곱셈공식 변형식 정리 중3 고1

이번 시간에는 곱셈공식 변형식에 대해 정리해 보기로 하자. 먼저 곱셈공식을 정리하고 본론으로 들어가자.

곱셈공식 정리

곱셈공식은 중학교 3학년과 고등학교 1학년에 배운다. 아래의 식이 기억나지 않는다면 복습을 하고 학습을 이어가길 바란다.

중학교 곱셈공식 (중3) (복습)

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\[1em]$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\[1em]$
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2\\[1em]$
$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\\[1.5em]$
$\begin{align}(ax&+b)(cx+d)\\
&=acx^2+(ad+bc)x+bd\end{align}$

고등학교 곱셈공식 (고1) (복습)

$\begin{align}(a+&b+c)^2\\
&=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\end{align}\\[2em]$
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\[1em]$
$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2+b^3\\[1em]$
$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\\[1em]$
$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\\[1em]$
$\begin{align}(a+&b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\\
&=a^3+b^3+c^3-3abc\end{align}\\[2em]$
$\begin{align}(a^2&+ab+b^2)(a^2-b+b^2)\\
&=a^4+a^2b^2+b^4\end{align}\\[2em]$

곱셈공식 변형식

암기할 내용의 수가 많으면 암기할 내용을 분류하여 분류 기준을 생각한 다음 암기 하는 것이 도움이 된다.

곱셈공식 변형식을 제곱식과 세제곱식으로 나누어 학습해 보기로 하자.

제곱식 변형

먼저 제곱식에 관한 변형식을 유도 하는 과정을 정리해 보자.

두개 항

1. 제곱식 이항 변형
   $\begin{align}(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \cdots (1)\\[1em]
   \rightarrow a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\end{align}$
2. 제곱식 이항 변형
   $\begin{align}(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \cdots (2)\\[1em]
   \rightarrow a^2+b^2=(a-b)^2+2ab\end{align}\\$
3. 제곱식 합, 차
   $\left\{\begin{matrix}
   (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\cdots(1)\\[1em]
   (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\cdots(2)
   \end{matrix}\right.\\[2em]$
   • 제곱식 합 $(1)+(2)$
     $ (a+b)^2+(a-b)^2=2a^2+2b^2\\$
   • 제곱식 차 $(1)-(2)$
     $(a+b)^2-(a-b)^2=4ab\\$

세개 항

1. 제곱식 이항
   $\begin{align}(a+&b+c)^2\\
   &=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\end{align}\\[2em]$
   $\rightarrow\begin{pmatrix}a^2+b^2+c^2\\
   =(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)\end{pmatrix}$
2. 유도과정 생략 (복습)
   $\begin{align}a^2&+b^2+c^2-ab-bc-ca\\[1em]
   &=\dfrac{1}{2}\{ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\}\end{align}$
3. 유도과정 생략 (복습)
   $\begin{align}a^2&+b^2+c^2+ab+bc+ca\\[1em]
   &=\dfrac{1}{2} \{ (a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2\}\end{align}$

세제곱식 변형

1. 세제곱 합 변형식
   $\begin{align}(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\[1em]
   \rightarrow (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\\[1em]
   \rightarrow a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\end{align}$
2. 세제곱 차 변형식
   $\begin{align}(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\\[1em]
   \rightarrow (a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)\\[1em]
   \rightarrow a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)\end{align}$
3. $3abc$ 공식 변형식
   $\begin{align}(a&+b+c)^3\\[1em]
   &=\left\{ \begin{matrix}
   (a+b+c) \\
   \;\times \\
   \bigstar (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\\
   +\\
   \;\;\;3abc\\[1em]
   \end{matrix} \right\}\end{align}$

곱셈공식 변형식 정리 (고1)

지금까지 배운 곱셈공식의 변형식을 한번에 정리하고 이번 시간 학습을 마무리 하도록 하겠다.

$\bigstar\; a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$
이 식은 곱셈공식의 변형식에서 두 번 등장하므로 두 변형식을 연결하여 정리해 두어야 한다.

$\begin{bmatrix}
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\\[1.5em]
a^2+b^2=(a-b)^2+2ab
\end{bmatrix}\\[3em]$
$\begin{bmatrix}
(a+b)^2+(a-b)^2=2a^2+2b^2\\[1.5em]
(a+b)^2-(a-b)^2=4ab
\end{bmatrix}\\$

$\begin{bmatrix}
a^2+b^2+c^2\\[1em]
\;\;=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)
\end{bmatrix} \\[3em]$
$\begin{bmatrix}
\bigstar \;a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\\[1em]
\;\;=\dfrac{1}{2} \{ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\}
\end{bmatrix}\\[3em]$
$\begin{bmatrix}
a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\\[1em]
\;\;=\dfrac{1}{2} \{ (a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2\}
\end{bmatrix}\\$

$\begin{bmatrix}
(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\\[1em]
\;a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)
\end{bmatrix} \\[3em]$
$\begin{bmatrix}
(a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)\\[1em]
\;a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)
\end{bmatrix} \\[3em]$
$\begin{align}(a&+b+c)^3\\[1em]
&=\left\{ \begin{matrix}
(a+b+c) \\
\;\times \\
\bigstar (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\\
+\\
\;\;\;3abc\\[1em]
\end{matrix} \right\}\end{align}$