지수법칙 지수의 확장 자연수 정수 증명

지수법칙은 중학교에서 자연수 범위에서 다루고 지수의 확장을 통해 고등학교 에서는 정수, 유리수 범위 까지 확장되며, 지수함수를 통해 지수의 범위는 실수까지 확장된다.

여기서는 자연수 범위에서 지수법칙을 검증하고 정수 범위로 확장되는 과정에 대한 증명을 자세히 다뤄 보도록 하겠다.

지수법칙 (지수가 자연수)

실수 $a,b$ 와 자연수 $m,n$에 대하여 다음이 성립한다.

1. $a^m \times a^n=a^{m+n}$
2. $a\neq0$ 일 때
   $a^m \div a^n=\dfrac{a^m}{a^n}=
   \begin{cases}
   (m>n)\;a^{m-n}\; \cdots\; (1)\\[1em]
   (m=n)\; 1\; \cdots\cdots\; (2)\\[1em]
   (m<n)\; \dfrac{1}{a^{n-m}}\; \cdots\; (3)\\[1em]
   \end{cases}\\[3em]$
3. $(a^m) ^n=a^{mn}$
4. $(ab)^n=a^nb^n$
5. $\left( \dfrac{b}{a} \right)^n=\dfrac{b^n}{a^n}$

법칙이 사실인지 확인 하는 과정은 다음과 같다.

지수가 자연수인 지수법칙 검증

1. $a^m \times a^n=a^{m+n}$
   $\begin{align}a^2 \times a^3=\{a \times a\} \times \{a \times a \times a\}=a^{2+3}\end{align}\\[1em]$
2. $a\neq0$ 일 때 $a^m \div a^n$의 결과를 자연수 지수로 정의 하면
   $a^m \div a^n=\dfrac{a^m}{a^n}=
   \begin{cases}
   (m>n)\;a^{m-n}\; \cdots\; (1)\\[1em]
   (m=n)\; 1\; \cdots\cdots\; (2)\\[1em]
   (m<n)\; \dfrac{1}{a^{n-m}}\; \cdots\; (3)\\[1em]
   \end{cases}\\[5em]$
   • $(1)\;a^3 \div a^2=\dfrac{a \times a \times a}{a \times a}=a^{3-2}\\[1em]$
   • $(2)\;a^3 \div a^3=\dfrac{a \times a \times a}{a \times a \times a}=1\\[1em]$
   • $(3)\;a^2 \div a^3=\dfrac{a \times a}{a \times a \times a}=\dfrac{1}{a^{3-2}}\\[2em]$
3. $(a^m) ^n=a^{mn}$
   $(a^2)^3=(a^2) \times (a^2) \times (a^2)=a^{2+2+2}=a^{2\times3}\\[1em]$
4. $(ab)^n=a^nb^n\\[1em]$
   $\begin{align}&(ab)^3=(a \times b)\times (a \times b)\times (a \times b)\\[1em]
   &=(a \cdot a \cdot a)\times(b \cdot b \cdot b)=a^3b^3\end{align}\\[3em]$
5. $\left( \dfrac{b}{a} \right)^n=\dfrac{b^n}{a^n}\\[2em]$
   $\begin{align}\left(\dfrac{3}{2}\right)^3=\dfrac{3}{2} \times \dfrac{3}{2} \times \dfrac{3}{2}=\dfrac{3\times 3\times 3}{2\times 2\times 2}=\dfrac{3^3}{2^3}\end{align}\\[1em]$

$a^0$, $a^{-n}$ 정의

지금까지는 지수가 자연수(양의 정수)인 경우를 다루었다. 이제 우리의 목표는 지수가 정수 일 때도 지수법칙이 성립하도록 하는 것이다.

$\begin{align}3^2& \times 3^0 =3^{2+0}=3^2\;\; \therefore \;3^0=1\\[1em]
&\rightarrow a \neq 0\;일\;때\;a^0=1\;정의\end{align}\\[1em]$

$\begin{align}3^2& \times 3^{-2} =3^{2-2}=3^0=1 \;\; \therefore \; 3^{-2}=\dfrac{1}{3^2}\\[1em]
&\rightarrow a\neq0\;일\;때\;a^{-n}=\dfrac{1}{a^n} 정의\end{align}\\[1em]$

정의

실수 $a(\neq 0)$, 양의 정수 $n$에 대하여

• $a^0=1$
• $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$

이제 지수가 자연수일 때 두 번째 지수법칙을 다음과 같이 정리 할 수 있다.

$a\neq0$ 일 때
$a^m \div a^n=\dfrac{a^m}{a^n}=
\begin{cases}
(m>n)\;a^{m-n}\\[1em]
(m=n)\;1=a^0\rightarrow a^{m-n}\\[1em]
(m<n)\;\dfrac{1}{a^{n-m}}\rightarrow a^{m-n}\\[1em]
\end{cases}\\[3em]$

정의를 약속하면 지수가 정수일 때 지수법칙에 대해 다음과 같이 정리 할 수 있다.

지수의 확장 (지수가 정수)

실수 $a(\neq 0),b (\neq 0)$와 정수 $m.n$에 대하여 다음이 성립한다.

1. $a^m\times a^n=a^{m+n}$
2. $a^m\div a^n=a^{m-n}$
3. $(a^m)^n=a^{mn}$
4. $(ab)^n=a^nb^n$
5. $\left( \dfrac{a}{b} \right)^n=\dfrac {a^n}{b^n}$

지수가 정수인 지수법칙 증명

이번에는 수를 대입하여 식을 검증하는 방법대신 일반적인 문자를 이용해 지수법칙을 증명해 보기로 하자. 증명은 지수가 자연수인 경우에 성립하는 지수법칙과 앞서 정의한 $a^0=1, a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$을 이용해 보일 수 있다.

$a^m\times a^n=a^{m+n}$ 증명

실수 $a(\neq 0),b (\neq 0)$와 정수 $m.n$에 대하여 보이면 된다.
이미 자연수에 대해 보였으므로 여기서는 $m< 0, n < 0$일 때 만 보이고 나머진 독자에게 맡기도록 하겠다.

자연수 $p,q$ 가 존재하여 $m=-p,n=-q$ 를 만족한다.
$\begin{align}a^ma^n=a^{-p}a^{-q}=\dfrac{1}{a^p} \dfrac{1}{a^q}=\dfrac{1}{a^{p+q}}\\[1em]
=a^{-(p+q)}=a^{-p}a^{-q}=a^{m+n}\end{align}$

$a^m\div a^n=a^{m-n}$ 증명

실수 $a(\neq 0),b (\neq 0)$와 정수 $m.n$에 대하여
$a^m \div a^n=a^m \times \dfrac{1}{a^{-n}}=a^m \times a^{-n}=a^{m-n}$

$(a^m)^n=a^{mn}$ 증명

실수 $a(\neq 0),b (\neq 0)$와 정수 $m.n$에 대하여
$m<0,n<0$인 경우에 대해서 보이고 나머지는 독자에게 맡기도록 하겠다.

자연수 $p,q$ 가 존재하여 $m=-p,n=-q$ 를 만족한다.
$\begin{align}(a^m)^n&=\left(a^{-p}\right)^{-q}=\left(\dfrac{1}{a^p}\right)^{-q}= \left(\dfrac{1}{\frac{1}{a^p}}\right)^q\\[1em]
&=(a^p)^q=a^{pq}=a^{(-p)(-q)}=a^{mn}\end{align}$

$(ab)^n=a^nb^n$ 증명

실수 $a(\neq 0),b (\neq 0)$와 정수 $n$에 대하여 위의 식이 성립함을 보이는 것은
$n \leq 0$인 경우에 대해 보이면 충분하다.

$n<0$이면 $n=-p$인 자연수 $p$ 가 존재하고
$\begin{align} (ab)^n&=(ab)^{-p}=\left(\dfrac{1}{ab} \right)^p=\dfrac{1^p}{(ab)^p}\\
&=\dfrac{1}{a^p}\dfrac{1}{b^p}=a^{-p}b^{-p}=a^nb^n \end{align}$

$n=0$인 경우는 독자에게 맡기도록 하겠다.

$\left( \dfrac{a}{b} \right)^n=\dfrac {a^n}{b^n}$ 증명

실수 $a(\neq 0),b (\neq 0)$와 정수 $n$에 대하여 위의 식이 성립함을 보이는 것은
$n \leq 0$인 경우에 대해 보이면 충분하다.

$n<0$이면 $n=-p$인 자연수 $p$ 가 존재하고
$\begin{align}\left( \dfrac{a}{b} \right)^n&=\left( \dfrac{a}{b} \right)^{-p}=\left( \dfrac{b}{a} \right)^p=\dfrac{b^p}{a^p}\\[1em]
&=\dfrac{\dfrac{1}{b^{-p}}}{\dfrac{1}{a^{-p}}}=\dfrac{a^{-p}}{b^{-p}}=\dfrac{a^n}{b^n} \end{align}$

$n=0$인 경우는 독자에게 맡기도록 하겠다.

지수법칙 지수의 확장(정수지수)

확장된 지수법칙을 다시한번 정리하고 학습을 마무리 하도록 하자.

실수 $a(\neq 0),b (\neq 0)$와 정수 $m.n$에 대하여 다음이 성립한다.

1. $a^m\times a^n=a^{m+n}$
2. $a^m\div a^n=a^{m-n}$
3. $(a^m)^n=a^{mn}$
4. $(ab)^n=a^nb^n$
5. $\left( \dfrac{a}{b} \right)^n=\dfrac {a^n}{b^n}$