정비례의 정의 관계식 그래프의 성질

이번 시간에는 예시를 통해 정비례의 정의를 학습하고 이를 토대로 성질, 일반형 관계식, 그래프, 그래프의 성질을 정리해 보려고 한다. 공식처럼 외우면 간단한 내용일 수 있지만 체계적으로 정리하며 학습하는 것이 수학에 대한 흥미를 잃지 않는 방법이다. 이번 기회에 정비례를 체계적으로 정리해 보길 바랍니다.

정비례 예시

정비례 관계에 대해 수학적으로 정리하기 전에 먼저 다음 예시를 통해 두 변수($x,\;y$) 사이의 관계에 대해 살펴보자.

• 사탕 $1$개의 가격이 $300$원이라고 할 때
  사탕 $x$ 개를 구매하고 지불해야 하는 금액 $y$ 사이의 관계.

$\begin{align} x=&\;\;1\quad \quad 2\;\;\;\quad 3\quad \; \quad 4\quad \quad\;\; 5  \quad \cdots\\[1em]
y=\;&300\quad 600\quad 900\quad 1200\quad 1500\; \cdots \\[1em]\end{align}$

사탕의 개수($x$)와 지불할 금액($y$) 사이의 관계를 정리하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

$x\;:\;y=1:300=2:600=3:900\;\cdots\\[1em]$
$\begin{cases}1:300\xrightarrow[\;y:\;2\text{배}\;]{\;x:\;2\text{배}\;}2:\;\;600\\[1em]
1:300\xrightarrow[\;y:\;3\text{배}\;]{\;x:\;3\text{배}\;}3:\;\;900\\[1em]
\quad \cdots \end{cases}$

위의 결과를 통해 두 변수 사이의 관계는 다음을 만족하고 함수임을 알 수 있다.

• $x$값이 $2$배, $3$배, $4$배 $\cdots$ 이면
  $y$값도 $2$배, $3$배, $4$배 $\cdots$ 가 되는 관계

이러한 조건을 만족하는 관계를 정비례 관계라고 한다. 이제 정비례의 정의와 성질에 대해 정리해 보기로 하자.

정비례의 정의와 성질

정비례의 정의

두 변수 $x$, $y$에 대하여 다음과 같은 성질을 만족하는 관계를 ‘정비례’라고 한다.

• $x$값이 $2$배, $3$배, $4$배, $\cdots $ 됨에 따라
  $y$값도 $2$배, $3$배, $4$배 $\cdots$ 가 되는 $\bbox[#ffff00]{\text{함수}}$관계

정비례 관계는  $x$값에 따라 $y$값이 오직 하나로 결정되기 때문에 $\bbox[#ffff00]{\text{함수}}$이다.

정비례의 성질

$\bbox[#ffff00]{x\text{값}}$이 $2$배, $3$배, $4$배 $\cdots\ \bbox[#ffc5fd]{\square}$배 됨에 따라 $\bbox[#dcff8c]{y\text{값}}$도 $2$배, $3$배, $4$배$\cdots\ \bbox[#ffc5fd]{\square}$배 가 될 때 다음과 같은 이유로 비율이 항상 일정하다.

$\bbox[#ffff00]{x\text{값}}$과 $\bbox[#dcff8c]{y\text{값}}$의 비율$\\[1em]$
$\dfrac{\bbox[#dcff8c]{y}}{\bbox[#ffff00]{x}} \;\xrightarrow[]{x,\;y\;\text{값}\;\bbox[#ffc5fd]{\square}\text{배}\;}\dfrac{\bbox[#dcff8c]{y} \times \bbox[#ffc5fd]{\square}}{\bbox[#ffff00]{x}\times \bbox[#ffc5fd]{\square}} = \dfrac{y}{x}\; \text{일정}$

정비례 관계식

사탕 $1$개의 가격이 $300$원이라고 할 때 사탕 $x$ 개를 구매하고 지불해야 하는 금액 $y$ 에 대하여 정비례 관계식을 구하는 방법에 대해 알아보자.

• $x:y=1:300=2:600\;\cdots$ 일정 ( 정비례 성질)
• 관계식 : $y=300x$

위의 내용을 바탕으로 정비례 관계식을 일반형으로 표현해 보자.

정비례 일반형 관계식

위의 사실을 통해 $x,\;y$가 정비례 관계이면 두 변수 사이의 비율($\dfrac{y}{x}$)이 일정한 값을 갖는다는 것을 알 수 있다.  이를 수식으로 정리하면 다음과 같다.

$\dfrac{y}{x}=a \; (a\neq 0\;:\;\text{상수, 일정})$

따라서 정비례 관계식의 일반형은 다음과 같다.

• 정비례 일반형 : $y=ax\;(a\neq 0\;:\;\text{상수})$

이제 함수 $y=ax$의 그래프를 그리고 그래프의 성질에 대해 정리해 보기로 하자.

정비례 그래프

정비례 관계식 $y=ax$ 를 이용해 대응표를 채우고 그래프를 그려 성질을 정리해 보자.

$y=ax\;\;(a>0)$ 그래프

$y=ax\;(a>0)$의 그래프를 그리는 과정을 $y=2x,\; y=x,\; y=\dfrac{1}{2}x$를 이용해 살펴보면 다음과 같다.

그래프 그리기

1단계 : 대응표 그리기

먼저 그래프를 쉽게 그리기 위해 아래의 대응표를

2단계 : 순서쌍 만들기

대응표를 이용해 $(x,y)$의 순서쌍을 만든다.

3단계 : 점찍기

순서쌍을 이용해 점을 찍고,  $x$값을 확장하면 유리수를 대입하면  대응표에 주어진 $x$값들 사이에 무수히 많은 $x$값을 추가할 수 있다. 유리수까지 고려하여 점을 찍으면 그래프는 아래와 같은 직선이 됨을 알 수 있다.

$y=ax\;\;(a<0)$ 그래프

이번에는 $y=ax\;(a<0)$의 그래프를 그리는 과정을 $y=-2x,\; y=-x,\; y=-\dfrac{1}{2}x$를 이용해 살펴보자.

그래프 그리기

그래프를 그리는 과정은 위와 동일하다. 그래프를 그리는 것이 익숙해 졌다면 순서쌍을 구하는 과정은 생략하고 대응표를 이용해 바로 좌표평면에 점을 찍어 그려보기로 하자.

앞서 그려본  $y=ax\; (a\neq0)$의 그래프를 통해 성질을 정리해 보자.

$y=ax$ 그래프 성질

$a>0,\; a<0$일 때 그래프의 성질을 표로 정리 하면 다음과 같다.

공통성질

$y=ax\;(a\neq0)$의 그래프는 $a$의 부호와 관계 없이 다음과 같은 성질을 갖는다.

• 원점을 지난다.
• $x=1$에서 함숫값은 $y=a$이다.
• $a$의 절댓값이 클수록 $y$축에 가깝다.
• $a$의 절댓값이 작을수록 $x$축에 가깝다.

정리

정비례의 정의

• $x$값이 $2$배, $3$배, $4$배, $\cdots $ 됨에 따라
  $y$값도 $2$배, $3$배, $4$배 $\cdots$ 가 되는
  $\bbox[#ffff00]{\text{함수}}$관계

정비례의 성질

• $x:y=(\text{일정한 비})$
• $\dfrac{y}{x}=\text{일정 비율}\rightarrow a\;: \text{상수}$

정비례의 일반형 관계식

• $y=ax\;(a\neq0)$

이상으로 정비례에 대한 정리를 마무리 하도록 하겠다.