원주각의 활용 문제 유형 정리

원주각의 개념은 단순하지만 원주각 활용과 관련된 문제는 쉽지 않다. 이번 시간에는 활용 문제에 자주 등장하고, 수학적으로 의미 있는 유형을 정리하여 활용문제에 대한 자신감을 끌어 올려보자.

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학습목표

원주각의 활용을 유형별로 정리하여 다양한 상황에 응용할 수 있도록 한다.

원주각 기본이론 복습

원 위의 점에 대해 아래와 같은 성질이 항상 성립한다.

동일한 호에대한 원주각의 크기가 같다.
원에 내접하는 사각형의 한 외각은 내대각의 크기와 같다.
접선과 현이 이루는 각은 내부의 호에 대한 원주각과 같다.

이를 토대로 원주각의 문제 유형에 대하여 살펴보자.

복습 링크

원주각에 대한 복습이 필요한 학생은 다음의 링크를 활용하길 바란다.

한 원에서 원주각의 활용 유형

유형1

$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{CD}$의 원주각 : $\angle{DAC}=\angle{DBC}=a$
$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{AB}$의 원주각 : $\angle{DAC}=\angle{DBC}=b$
삼각형의 닮음 : $\triangle{EAD}\sim\triangle{EBC}$
내부 점 $E$ 에서 방멱의 정리 : $ac=bd$

유형2

$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{AD}$의 원주각 : $\angle{ABD}=\angle{ACD}=c$
$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{BC}$의 원주각 : $\angle{BAC}=\angle{BDC}=d$
삼각형의 닮음 : $\triangle{EAB}\sim\triangle{EDC}$
내부 점 $E$ 에서 방멱의 정리 : $ac=bd$

유형3

유형1, 유형2 의 성질을 모두 만족하고 추가로 다음을 만족한다.

원에 내접 하는 $\square{ABCD}$ : $x+y+z+w=180^{\circ}$
내대각 : $\angle{FAB}=\angle{BCD}=y+w$, $\angle{FBA}=\angle{CDA}=y+z$
$\triangle{ABC}$에서 $\angle{FBA}=y+z$
$\triangle{ABD}$에서 $\angle{FAB}=y+w$
$\triangle{FBD}$에서 $\angle{DFB}=x-y$
삼각형의 닮음 : $\triangle{FAB}\sim\triangle{FCD}$
외부의 점 $F$에서 방멱의 정리 : $ad=bc$

유형4

내대각 : $\angle{DAB}=\angle{DCE}=\angle{DAB}=a$ $\angle{ABC}=\angle{CDE}$=b
$\angle{ADC}=\angle{CBF}=d$
삼각형의 닮음 : $\triangle{EAB}\sim\triangle{ECD}$ , $\triangle{FAD}\sim\triangle{FCB}$
외부의 점 $F$에서 방멱의 정리 : $\overline{ED}\times\overline{EA}=\overline{EC}\times\overline{EB}$
외부의 점 $E$에서 방멱의 정리 : $\overline{FB}\times\overline{FA}=\overline{FC}\times\overline{FD}$

한 원에서 원주각을 활용하는 유형에 대하여 살펴보았다 다음으로 두 원에서 원주각을 활용하는 유형에 대해 살펴보자.

두 원에서 원주각의 활용 유형

두 원이 만나면 원주각을 활용하여 다음과 같은 사실을 알 수 있다.

두 원이 한 점에서 만날 때

유형1. $\overline{AB}//\overline{CD}$

접현각: $\angle{ABQ}=\angle{AQP}=\angle{CQR}=\angle{QDC}$
$\angle{ABQ}=\angle{QDC}$ $\;$ $\therefore\overline{AB}//\overline{CD}$
추가 정리
$\angle{BAQ}=\angle{BQR}=\angle{PQD}=\angle{QCD}$
닮음 : $\triangle{QAB}\sim\triangle{QCD}$

유형2. $\overline{AB}//\overline{CD}$

접현각: $\angle{DQR}=\angle{QCD}=\angle{QAB}$
$\angle{QCD}=\angle{QAB}$ $\;$ $\therefore\overline{AB}//\overline{CD}$
추가 정리
$\angle{CQP}=\angle{CDQ}=\angle{ABQ}$
닮음 : $\triangle{QAB}\sim\triangle{QCD}$

두 원이 두 점에서 만날 때

유형1. $\overline{AB}//\overline{EF}$

내대각 : $\angle{BAD}=\angle{DCE}=\angle{DFG}$
$\angle{BAD}=\angle{DFG}$ $\;$ $\therefore \overline{AB}//\overline{EF}$
추가 정리
$\angle{BCD}=\angle{DFE}$

유형2. $\overline{AB}//\overline{EG}$

내대각 : $\;$ $\angle{BAD}=\angle{DCF}$
접현각: $\angle{DCF}=\angle{DFG}$
$\angle{BAD}=\angle{DFG}$ $\;$ $\overline{AB}//\overline{EG}$
추가 정리
$\angle{ABC}=\angle{CDF}=\angle{CFE}$
$\triangle{FCD}\sim\triangle{FAB}$
원 밖의 한 점 $P$에서 방멱 정리

유형3. $\overline{AB}//\overline{EF}$

내대각 : $\angle{BAD}=\angle{DCG}$
$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{DF}$의 원주각: $\angle{DCG}=\angle{DEF}$
$\angle{BAG}=\angle{GEF}$ $\;$ $\therefore\overline{AB}//\overline{EF}$
추가 정리
$\angle{ABC}=\angle{CDG}=\angle{GEF}$
$\triangle{GAB}\sim\triangle{GCD}\sim\triangle{GEF}$
원 밖의 한 점$G$에서 방멱의 정리

심화유형

심화유형1

두 원의 교점 $B,D$와 할선 $\overline{AE},\overline{AC}, \overline{DG}, \overline{CG}$이 다음과 같을 때 $\overline{AE}//\overline{CG}$이 성립한다.

$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{BE}$의 원주각: $\angle{BAE}=\angle{BDE}$
$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{BG}$의 원주각: $\angle{BDG}=\angle{BCG}$
$\overline{AD}//\overline{FC}$ ($\because\angle{BAE}=\angle{BCG}$)

심화유형2

두 원의 교점 $B,D$와 할선 $\overline{AD}, \overline{BD}\overline{AC}$ 작은 원의 접선 $\overline{DF}$가 다음과 같을 때$\overline{AD}//\overline{FC}$이 성립한다.

접현각: $\angle{DAB}=\angle{BDF}$
$\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{BF}$의 원주각: $\angle{BDF}=\angle{BCF}$
$\angle{DAB}=\angle{BCF}$ $\therefore\overline{AD}//\overline{FC}$

정리

원주각의 뜻은 단순하지만, 원주상의 어떤 점에서도 생각할 수 있기에 활용의 범위가 매우 넓다. 여기서는 자주 등장하는 유형만 다루고 있다. 유형마다 숨겨진 원리를 이해한다면 더 복잡한 문제도 잘 해결할 수 있을 것이라 확신한다.

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