완전제곱식은 이차식을 다룰 때 매우 자주 등장하는 기본 형태입니다. 단순히 $(a+b)^2$을 전개하는 공식에 그치지 않고, 이차식이 완전제곱식이 되는 조건을 알면 이차방정식의 풀이, 근의 공식의 유도, 이차함수의 그래프와 최대·최소 등 여러 내용으로 자연스럽게 연결할 수 있습니다. 이번 글에서는 완전제곱식의 정의와 전개 구조를 살펴보고, $ax^2+bx+c$가 완전제곱식이 되기 위한 필요충분조건 $b^2=4ac$을 유도한 뒤, 이를 이용해 빠진 항이나 계수를 구하는 방법까지 정리해 보겠습니다.
완전제곱식
정의
완전제곱식은 상수항과 문자가 포함된 제곱항의 곱으로 이루어진 식을 의미합니다.
- 완전제곱식 : $k(a+b)^2$, $(k\neq0)$, ($k$ : 상수)
위의 식은 $b$에 $-b$가 오는 $k(a-b)^2$ 경우도 포함하고 있습니다.
완전제곱식의 성질
완전제곱식의 구조를 알아보기 위해 아래 식을 전개해 봅시다.
- $k(a+b)^2=\bbox[#dcff8d]{ka^2}+\bbox[#ffff00]{2kab}+\bbox[#dcff8d]{kb^2}$
우변의 $a,\ b$에 대한 대칭구조를 생각하면 완전제곱식의 성질은 동일한 색상의 식들 사이의 관계식을 유도해야 함을 알 수 있습니다.
- $(\bbox[#ffff00]{2kab})^2=4\times \l(\bbox[#dcff8d]{ka^2}\r)\times \l(\bbox[#dcff8d]{kb^2}\r)$
$\bbox[#dcff8d]{ka^2}+\bbox[#ffff00]{2kab}+\bbox[#dcff8d]{kb^2}$을 $a$에 대한 이차식으로 생각할 때 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
- $(\bbox[#ffff00]{일차항})^2=4\times (\bbox[#dcff8d]{이차항})\times (\bbox[#dcff8d]{일차항})$
$ax^2+bx+c$과 완전제곱식
이차식 $ax^2+bx+c$꼴은 이차방정식과 이차함수 이차곡선 원의방정식 등에서 자주 등장하기 때문에 특별히 이차식 $ax^2+bx+c$에 대한 완전제곱식의 성질과 조건은 자세히 정리할 필요가 있습니다.
완전제곱식 $ax^2+bx+c$의 성질
$x$에 대한 이차식 $ax^2+bx+c$과 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 판별식 $D=b^2-4ac=0$에 대하여 다음이 성립합니다.
- $ax^2+bx+c$가 완전제곱식 $\Longrightarrow$ 판별식 $D=b^2-4ac=0$
설명
$x$에 대한 이차식 $ax^2+bx+c$이 완전제곱식이면 $ax^2+bx+c=0$은 중근을 갖습니다. 아래의 근의 공식에 이 사실을 적용하면 다음과 같은 결론을 얻을 수 있습니다.
- $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
중근이 되려면 $\pm\sqrt{b^2-4ac}$이 $0$이 되어야하고, 따라서 $b^2-4ac=0$이 됩니다.
$ax^2+bx+c$이 완전제곱식일 조건
$x$에 대한 이차식 $ax^2+bx+c$과 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 판별식 $D=b^2-4ac=0$에 대하여 다음이 성립합니다.
- $D=b^2-4ac=0$ $\Longrightarrow$ $ax^2+bx+c$는 완전제곱식
설명
$ax^2+bx+c=0$이 $b^2=4ac$을 만족한다고 하면 다음과 같이 식을 변형할 수 있습니다.
$ax^2+bx+c$$=a(x^2+\dfrac{b}{a}x)+c$
$=a\{x^2+\dfrac{b}{a}x+(\dfrac{b}{2a})^2\}+c-\dfrac{b^2}{4a}$
$=a(x+\dfrac{b}{2a})^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a}$
위의 과정은 항등식 변형이므로 항상 성립하고, 주어진 조건에 의해 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
$ax^2+bx+c=a(x+\dfrac{b}{2a})^2$
($D=b^2-4ac=0$)
따라서 $D=b^2-4ac=0$ 이면 $ax^2+bx+c$는 완전제곱식이 됩니다.
정리
$x$에 대한 이차식 $ax^2+bx+c$과 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$에 대한 판별식($D=b^2-4ac$)에 대하여 다음이 성립합니다.
- 완전제곱식 $\Longleftrightarrow$ 판별식($D=b^2-4ac=0$)
완전제곱식 필요충분조건 변형식
$x$에 대한 이차식 $ax^2+bx+c$ 이 완전 제곱식이 되는 필요충분조건을 변형하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.
- $a=\dfrac{b^2}{4c}$
- $c=\dfrac{b^2}{4a}$
- $b=\pm\sqrt{4ac}$
설명
$b^2-4ac=0$을 한 문자에 대해 정리하면 다음과 같습니다.
- $a$에 대해 정리하면, $a=\dfrac{b^2}{4c}$
- $c$에 대해 정리하면, $c=\dfrac{b^2}{4a}$
- $b$에 대해 정리하면, $b=\pm\sqrt{4ac}$
a=1일 때 상수항 조건
$x^2+bx+c$이 완전제곱식이 되도록 상수항$c$을 구하는식이 가장 많이 등장하니 꼭 정리해 두어야 합니다.
- $c=\dfrac{b^2}{4}=\l( \dfrac{b}{2} \r)^2$
즉, $(상수항)=(일차항계수의\ 절반)^2$
연습문제
$x^2+10x+\boxed{\strut \qquad}$이 완전제곱식이 되도록 $\boxed{\strut \qquad}$를 채워봅시다.
설명
- $(일차항계수의\ 절반)^2=(\dfrac{10}{2})^2=25$
$a^2+8ab+\boxed{\strut \qquad}$이 완전제곱식이 되도록 $\boxed{\strut \qquad}$를 채워봅시다.
설명
(준식)이 이차항의 계수가 1인 $a$에 대한 이차식 이므로 이므로 일차항 계수($8b$)를 이용해 상수항을 계산하면 충분합니다.
- $(일차항계수\;절반)^2=(\dfrac{8b}{2})^2=16b^2$
$x^2+\boxed{\strut \qquad}x+\dfrac{1}{25}$이 완전제곱식이 되도록 $\boxed{\strut \qquad}$를 채워봅시다.
설명
$\boxed{\strut \qquad}$를 $B$로 두고 $B^2=4AC$ 식을 적용하여 정리하면 다음과 같습니다.
- $B^2=4\times1\times\dfrac{1}{25}=\dfrac{4}{25}$
따라서 $B=\pm\dfrac{2}{5}$입니다.
$a^2+\boxed{\strut \qquad}+49b^2$이 완전제곱식이 되도록 $\boxed{\strut \qquad}$를 채워봅시다.
설명
$\boxed{\strut \qquad}$를 $B$로 두고 $B^2=4AC$식을 적용하면,
- $B^2=4\times(a^2)\times(49b^2)$
$B=\pm\sqrt{14^2a^2b^2}=\pm14\times\left|a\right|\times\left|b\right|=\pm 14ab$
루트와 제곱을 절댓값으로 풀어야 함에 유의하고, 마지막 과정에서 절댓값은 $\pm$가 있으므로 없어도 식이 성립함을 꼭 생각하고 넘어가도록 하자.
이차식 $x^2-(k+2)x+(k+5)$가 완전제곱식이 되도록 하는 실수 $k$의 값을 구해 봅시다.
풀이
준식이 완전제곱식이 되려면 이차방정식 $x^2-(k+2)x+(k+5)=0$이 중근을 가져야 하므로 판별식을 $D$라 할 때,
- $D=(k+2)^2-4(k+5)=0$
$k^2-16=0$이고 $(k+4)(k-4)=0$이므로, $k=-4$ 또는 $k=4$입니다.
완전제곱식은 전개했을 때 이차항, 일차항, 상수항 사이에 일정한 관계가 나타나며, $x$에 대한 이차식 $ax^2+bx+c$ $(a\ne0)$에서는 $b^2=4ac$가 완전제곱식이 되기 위한 필요충분조건이 됩니다. 특히 이차항의 계수가 $1$인 $x^2+bx+c$에서는 상수항이 $\left(\dfrac{b}{2}\right)^2$이 되어야 한다는 사실을 익혀 두면 완전제곱식을 빠르게 만들 수 있습니다. 이러한 구조를 정확히 이해하면 이후 이차방정식을 완전제곱식으로 변형하거나 근의 공식을 유도하는 과정도 훨씬 자연스럽게 이해할 수 있습니다.