직각삼각형에서 각의 크기가 달라지면 변의 길이 비율도 함께 달라집니다. 이번 글에서는 좌표평면 위에 그린 사분원을 이용해 임의의 예각의 삼각비 값을 구하는 방법과, 0°·90°처럼 특별한 각에서의 삼각비 값, 그리고 각의 크기에 따라 삼각비의 값이 어떻게 변하는지를 차례로 살펴보겠습니다. 마지막으로 삼각비의 표를 읽는 방법까지 함께 정리해 보겠습니다.
예각의 삼각비의 값
정사각형과 정삼각형을 이용하면 특수각에 대한 삼각비를 구할 수 있습니다. 그렇다면, 예각 $40^\circ$에 대한 삼각비의 값은 어떻게 구할 수 있을까요?
삼각비는 각도가 주어지면 일정한 비율을 유지하는 성질이 있습니다. 따라서 한 예각의 크기가 $40^\circ$인 직각삼각형 중에서 빗변의 길이가 1인 직각삼각형을 그리면 높이의 길이는 $\sin 40^\circ$, 밑변의 길이는 $\cos 40^\circ$의 값과 같습니다. 비슷한 방법으로 $\tan 40^\circ$의 값은 분모인 밑변이 1이되는 직각삼각형의 높이의 길이와 같게 됩니다.
따라서 $40^\circ$에 대한 삼각비의 값은 위의 그림에서 다음 선분의 길이인 다음과 같습니다.
- $\sin 40^\circ=\overline{AB}=0.6428$
- $\cos 40^\circ=\overline{OB}=0.7660$
- $\tan40^\circ=\overline{CD}=0.8391$
위와 같은 방법으로 예각의 삼각비값은 사분원을 이용해 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
참고로 사분원이란 중심각의 크기가 90°인 부채꼴, 즉 원을 4등분한 부채꼴을 말합니다.
삼각비의 값
좌표평면 위에 원점 O를 중심으로 반지름의 길이가 1인 사분원을 그리면, 임의의 예각 $x$에 대한 삼각비의 값을 분모의 값이 1이되는 삼각형을 이용해 다음과 같이 길이로 계산 할 수 있습니다.
- $\sin x $, $\cos x $의 값은 $\triangle{AOB}$를 이용해 분모를 1로 만들면, 선분의 길이로 계산할 수 있습니다.
- $\sin x $$= \dfrac{\overline{AB}}{\overline{OA}} $$= \dfrac{\overline{AB}}{1} $$= \overline{AB}$
- $\cos x $$= \dfrac{\overline{OB}}{\overline{OA}} $$= \dfrac{\overline{OB}}{1} $$= \overline{OB}$
- $\tan x $의 값은 $\triangle{COD}$를 이용해 분모를 1로 만들면, 선분의 길이로 계산할 수 있습니다.
- $\tan x $$= \dfrac{\overline{CD}}{\overline{OD}} $$= \dfrac{\overline{CD}}{1} $$= \overline{CD}$
이처럼 임의의 예각에 대한 삼각비의 값은 사분원과 분모가 되는 변의 길이가 1인 직각삼각형을 이용하면 선분의 길이로 간단히 구할 수 있습니다.
$0°, 90°$ 삼각비의 값
이제 예각의 삼각비의 값을 통해 0˚, 90˚의 삼각비의 값을 추측해 봅시다.
$0°, 90°$ 에서 $\sin,\ \cos$값
0°, 90°에서 $\sin,\ \cos$값은 빗변이 1이되는 $\triangle{AOB}$에서 높이와 밑변의 길이가 어떻게 변하는지 확인하여 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
직각삼각형 AOB에서 ∠AOB의 크기가 0°에 가까워지면 $\overline{AB}$의 길이는 0에 가까워지고 $\overline{OB}$의 길이는 1에 가까워지므로, 0°에 대한 삼각비의 값은 $\sin 0° = 0$, $\cos 0° = 1$로 정할 수 있습니다. 반대로 ∠AOB의 크기가 90°에 가까워지면 $\overline{AB}$의 길이는 1에 가까워지고 $\overline{OB}$의 길이는 0에 가까워지므로 $\sin 90° = 1$, $\cos 90° = 0$이 됩니다.
$0°, 90°$에서 $\tan$값
0°, 90°에서 $\tan$값은 밑변이 1이되는 $\triangle{COD}$에서 높이가 어떻게 변하는지 확인하여 아래와 같이 정리할 수 있습니다.
한편 직각삼각형 COD에서 ∠COD의 크기가 0°에 가까워지면 $\overline{CD}$의 길이는 0에 가까워지므로 $\tan 0° = 0$이지만, ∠COD의 크기가 90°에 가까워지면 $\overline{CD}$의 길이가 한없이 길어지기 때문에 $\tan 90°$의 값은 정할 수 없습니다.
참고로 고등학교에서는 $\tan 90˚$값을 무한대($\infty$)로 정의 합니다.
$0° \leq x \leq 90°$ 삼각비의 값
각 $x$의 범위가 $0° \leq x \leq 90°$일 때 삼각비의 값의 범위는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
- $0 \leq \sin x \leq 1$
- $0 \leq \cos x \leq 1$
- $\tan x \geq 0$
각의 크기에 따른 삼각비
특수각과 0°, 90°를 포함한 삼각비의 값을 표로 정리하면 아래와 같습니다. 이를 이용해 각도에 따른 삼각비의 변화와 각 $x$의 구간에 따른 삼각비의 대소 관계를 정리해 봅시다.
| 각도 | $0˚$ | $30˚$ | $45˚$ | $60˚$ | $90˚$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | 0 | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | 1 |
| $\cos x$ | 1 | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ | $\dfrac{1}{2}$ | 0 |
| $\tan x$ | 0 | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ | 1 | $\sqrt{3}$ | $\infty$ |
각도에 따른 삼각비 값
각 $x$가 0°에서 90°로 증가함에 따라 삼각비의 값은 다음과 같이 변화함을 알 수 있습니다.
- $\sin x$: 0에서 1까지 증가
- $\cos x$: 0에서 1까지 감소
- $\tan x$: 0에서 무한히 증가
구간별 삼각비의 대소관계
각 $x$의 구간에 따라 세 삼각비의 크기를 비교하면 다음과 같습니다.
| 각의 범위 | 대소 관계 |
|---|---|
| $0° \leq x < 45°$ | $\sin x < \cos x$ |
| $x = 45°$ | $\sin x = \cos x < \tan x$ |
| $45° < x < 90°$ | $\cos x < \sin x < \tan x$ |
삼각비의 표
삼각비의 표란 0°에서 90°까지의 각을 1° 간격으로 나누어 각 각도에 대한 삼각비의 값을 소수점 아래 다섯째 자리에서 반올림하여 정리한 표입니다. 표에서 가로줄과 세로줄이 만나는 지점의 값을 읽으면 원하는 각의 삼각비 값을 바로 확인할 수 있습니다.
예를 들어 아래 표에서 15°의 가로줄과 $\sin$의 세로줄이 만나는 곳을 읽으면 $\bbox[#ffff00]{\sin 15°} = 0.2588$이고, 같은 방법으로 $\bbox[#ffff00]{\cos 15°} = 0.9659$, $\bbox[#ffff00]{\tan 15°} = 0.2679$임을 알 수 있습니다.
| 각도 | 사인(sin) | 코사인(cos) | 탄젠트(tan) |
|---|---|---|---|
| $0°$ | $0.0000$ | $1.0000$ | $0.0000$ |
| $1°$ | $0.0175$ | $0.9998$ | $0.0175$ |
| ⋮ | ⋮ | ⋮ | ⋮ |
| $\bbox[#ffff00]{15°}$ | $\bbox[#ffff00]{0.2588}$ | $\bbox[#ffff00]{0.9659}$ | $\bbox[#ffff00]{0.2679}$ |
| $16°$ | $0.2756$ | $0.9613$ | $0.2867$ |
| ⋮ | ⋮ | ⋮ | ⋮ |
표에 실린 삼각비의 값은 대부분 반올림한 근삿값이기 때문에 정확히 같지는 않지만, 편의상 등호 =를 사용해 나타냅니다.
지금까지 살펴본 것처럼 예각의 삼각비는 반지름이 1인 사분원을 이용해 정의되며, 0°와 90°처럼 특별한 각에서도 값을 정할 수 있습니다. 또한 각이 커질수록 sin과 tan은 증가하고 cos은 감소한다는 흐름만 기억해 두면, 삼각비의 표나 계산기를 이용할 때도 값이 대략 어느 범위에 있을지 쉽게 가늠할 수 있습니다. 처음에는 낯설게 느껴지더라도 사분원 그림을 직접 그려보면서 각 삼각비가 어떤 변의 길이에 해당하는지 확인해 보면 개념이 훨씬 명확해질 것입니다.