수학에서 수를 이해하는 가장 직관적인 방법 중 하나는 수직선을 이용하는 것입니다. 우리가 알고 있는 모든 수는 수직선 위의 한 점으로 나타낼 수 있으며, 반대로 수직선 위의 모든 점도 하나의 실수와 대응됩니다. 즉, 수직선은 유리수와 무리수를 포함한 실수 전체를 표현하는 도구라고 할 수 있습니다.
특히 제곱근과 같은 무리수는 분수나 소수로 정확히 나타낼 수 없기 때문에 처음 배우는 학생들에게는 다소 추상적으로 느껴질 수 있습니다. 하지만 수직선을 이용하면 이러한 수들도 기하적으로 나타내고 위치를 이해할 수 있습니다.
이 글에서는 먼저 실수와 수직선의 관계를 살펴보고, 제곱근을 수직선 위에 작도하는 방법을 정리하고, 제곱근이 포함된 수들의 대소관계를 비교하는 방법, 제곱근표를 이용해 근사값을 계산하는 방법, 대소관계 심화문제 까지 함께 정리해 보겠습니다.
실수와 수직선
실수는 수직선에 존재하는 수를 의미하고, 따라서 모든 유리수와 무리수는 수직선 위에 있다고 할 수 있습니다.
- 수직선은 실수(유리수, 무리수)로 완전히 채울 수 있다.
- 모든 실수는 수직선 위의 점과 1:1로 대응한다.
- 모든 수직선 위의 점은 실수와 1:1로 대응한다.
- 서로 다른 두 실수 사이에는 무수히 많은 실수가 있다.
- 수직선을 유리수 또는 무리수 만으로 완전히 채울 수 없다.
수직선에 제곱근 나타내기
$\sqrt{\text{자연수}}$는 제곱수를 이용해 수직선에 작도할 수 있습니다.
$\sqrt{3}$을 수직선에 나타내기
$\sqrt{3}=\sqrt{1^2+1^2+1^2}$이므로 다음과 같이 수직선에 작도할 수 있습니다.
- $\sqrt{2}$를 수직선에 작도하기(제곱근의 뜻과 표현)
- $\sqrt{2}$를 이용해 $\sqrt{3}$을 작도하기
확인
$\sqrt{5}$을 수직선에 나타내기
$\sqrt{5}=\sqrt{1^2+2^2}$이므로 다음과 같이 수직선에 작도할 수 있습니다.
확인
실수의 대소관계
실수와 수직선은 서로 1:1로 대응하므로 기본적으로 다음이 성립합니다.
- 수직선에서 오른쪽에 있는 수가 더 크고, 왼쪽에 있는 수는 더 작습니다.
실수는 수직선에 있는 수이기 때문에 크기는 다음과 같이 비교할 수 있습니다.
- 기본적인 대소관계 판단
- $(\text{음수})\ <\ 0\ <\ (\text{양수})$
- 양수끼리: 절댓값이 큰 수가 크다.
- 음수끼리: 절댓값이 작은 수가 크다.
- 부호가 같고, 절댓값 비교가 힘들때
- $a-b>0 \ \Rightarrow \ a>b$
- $a-b<0 \ \Rightarrow \ a<b$
- $a-b=0 \ \Rightarrow \ a=b$
- $a<b$이고 $b<c$이면 $a<c$임을 이용
제곱근이 포함된 $A,\ B$의 크기를 비교할 때는 다음과 같은 방법을 사용할 수 있습니다.
- $A,\ B$를 제곱근으로 고쳐서 비교
- $A,\ B$의 제곱근을 제곱근 표를 이용해 소수로 바꾸기
- $A-B$의 부호 $=$ 두 양수의 뺄셈 부호 $=$ 제곱한 수의 뺄셈 부호(심화)
대소관계
제곱근 표를 이용하지 않고 $A=2+\sqrt{3},\ B=1+\sqrt{5}$의 크기를 비교하여라.
풀이
- $A-B =1+\sqrt{3}-\sqrt{5}$의 부호결정
- $\bbox[#ffff00]{1+\sqrt{3}}-\bbox[#dcff8d]{\sqrt{5}}$을 두 양수의 뺄셈으로 생각
- 두 양수의 뺄셈의 부호: 제곱한 수의 뺄셈과 부호가 동일
- $(\bbox[#ffff00]{1+\sqrt{3}})^2-(\bbox[#dcff8d]{\sqrt{5}})^2=2\sqrt{3}-1>0$
- $A-B>0$이고 따라서 $A>B$